Question

Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:

P = \(\frac{1+a^3}{1+ab^2}\)+\(\frac{1+b^3}{1+bc^2}\)+\(\frac{1+c^3}{1+ca^2}\)

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}{(ab^2+1)(bc^2+1)(ca^2+1)}}$

Ta sẽ đi chứng minh:

$(a^3+1)(b^3+1)(b^3+1)\geq (1+ab^2)^3(*)$

Thật vậy: theo AM-GM:

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{b^3+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a^3+1)(b^3+1)^2}}$

$\frac{1}{a^3}{a^3+1}+\frac{b^3}{b^3+1}+\frac{b^3}{b^3+1}\geq 3ab^2\sqrt[3]{\frac{1}{(a^3+1)(b^3+1)^2}}$

Cộng theo vế và thu gọn thì:

$3\geq 3.\frac{1+ab^2}{\sqrt[3]{(a^3+1)(b^3+1)^2}}$

$\Rightarrow (a^3+1)(b^3+1)^2\geq (1+ab^2)^3$

Do đó $(*)$ được chứng minh

Hoàn toàn tương tự:

$(b^3+1)(c^3+1)^2\geq (1+bc^2)^3(**)$

$(c^3+1)(a^3+1)^2\geq (1+ca^2)^3(***)$

Nhân theo vế các BĐT $(*); (**); (***)$ suy ra:
$(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\geq (1+ab^2)(1+bc^2)(1+ca^2)$

Do đó: $P\geq 3$

Vậy $P_{\min}=3$

Answer 2

Sau khi áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM. Ta đi chứng minh:

$$ \left( {a}^{3}+1 \right) \left( {b}^{3}+1 \right) \left( {c}^{3}+1
\right) \geqq \left( a{b}^{2}+1 \right) \left( b{c}^{2}+1 \right)
\left( {a}^{2}c+1 \right) $$

Ta có$:$ $$3(VT-VP)= \left( 2\,a{c}^{3}+b{c}^{3}+a+2\,b \right) \left( a-b \right) ^{2}+
\left( 2\,b{a}^{3}+c{a}^{3}+b+2\,c \right) \left( b-c \right) ^{2}+
\left( a{b}^{3}+2\,c{b}^{3}+2\,a+c \right) \left( -c+a \right) ^{2}\geqq 0$$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1.$

Giá trị nhỏ nhất của $\text{P}$ là $3.$