a) Gọi G là giao điểm của AC và MN
Xét ΔADC có MG//DC(MN//DC,G∈DC)
nên \(\frac{AM}{MD}=\frac{AG}{GC}\)(định lí Ta lét)(1)
Xét ΔABC có GN//AB(MN//AB,G∈MN)
nên \(\frac{BN}{CN}=\frac{AG}{GC}\)(định lí Ta lét)(2)
Ta có: MD=3MA(gt)
nên \(\frac{MA}{MD}=\frac{1}{3}\)(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\frac{NB}{NC}=\frac{1}{3}\)
b) Xét ΔADC có MG//DC(MN//DC,G∈MN)
nên \(\frac{AM}{AD}=\frac{MG}{DC}\)(hệ quả của định lí Ta lét)(4)
Ta có: MA+MD=AD(M nằm giữa A và D)
⇔MA+3MA=AD
⇔4MA=AD
hay \(\frac{MA}{AD}=\frac{1}{4}\)(5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\frac{MG}{DC}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow MG=\frac{DC}{4}=\frac{20}{4}=5cm\)
Xét ΔCAB có NG//AB(NM//AB,G∈MN)
nên \(\frac{CN}{BC}=\frac{GN}{AB}\)(hệ quả của định lí Ta lét)(6)
Ta có: \(\frac{NB}{NC}=\frac{1}{3}\)(cmt)
hay \(NB=\frac{NC}{3}\)
Ta có: NB+NC=BC(N nằm giữa B và C)
hay \(\frac{NC}{3}+NC=BC\)
\(\Leftrightarrow NC\left(\frac{1}{3}+1\right)=BC\)
hay \(NC=\frac{BC}{\frac{4}{3}}=\frac{3BC}{4}\)
⇒\(NC=\frac{3}{4}\cdot BC\)
hay \(\frac{NC}{BC}=\frac{3}{4}\)(7)
Từ (6) và (7) suy ra \(\frac{GN}{AB}=\frac{3}{4}\)
⇔\(GN=\frac{3\cdot AB}{4}=\frac{3\cdot8}{4}=6cm\)
Ta có: GM+GN=MN(G nằm giữa M và N)
hay MN=5cm+6cm=11cm
Vậy: MN=11cm
