a) Xét ΔABH có BI là đường phân giác ứng với cạnh AH(gt)
nên \(\frac{AI}{IH}=\frac{AB}{HB}\)
hay \(IA\cdot BH=IH\cdot AB\)(đpcm)
b)
Sửa đề: Chứng minh \(AH^2=HB\cdot HC\)
Xét ΔAHB và ΔCHA có
\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ABH}=\widehat{CAH}\)(cùng phụ với \(\widehat{HAB}\))
Do đó: ΔAHB∼ΔCHA(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{HA}\)
hay \(AH^2=BH\cdot CH\)(đpcm)
c) Ta có: \(\frac{AI}{IH}=\frac{AB}{HB}\)
\(\Rightarrow\frac{IH}{IA}=\frac{HB}{AB}\)(1)
Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)
nên \(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\)(tính chất đường phân giác của tam giác)(2)
Xét ΔAHB và ΔCAB có
\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{ABH}\) chung
Do đó: ΔAHB∼ΔCAB(g-g)
⇒\(\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{CB}\)(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\frac{HI}{IA}=\frac{AD}{DC}\)(đpcm)
