Bài 1: Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\x^2y+xy^2=2m^2\end{matrix}\right.\)với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ trên có nghiệm.
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, A(-3;5) B(1;3) và đường thẳng d: 2x - y - 1 = 0, đường thẳng AB cắt d tại I. Tính tỉ số \(\frac{IA}{IB}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy\left(x+y\right)=2m^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=m^2\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo; x và y là nghiệm của: \(t^2-2t+m^2=0\) (1)
Để hệ có nghiệm \(\Leftrightarrow\) (1) có nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta'=1-m^2\ge0\Rightarrow-1\le m\le1\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)=2\left(2;-1\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AB: \(1\left(x+3\right)+2\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x+2y-7=0\)
Tọa độ I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x+2y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(\frac{9}{5};\frac{13}{5}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}=\left(-\frac{24}{5};\frac{12}{5}\right)=6\left(-\frac{4}{5};\frac{2}{5}\right)\\\overrightarrow{IB}=\left(-\frac{4}{5};\frac{2}{5}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{IA}=6\overrightarrow{IB}\Rightarrow\frac{IA}{IB}=6\)
