Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến.
a) Chứng minh DABD = DACD và (1điểm)
b) Cho AB = 10 cm, BC = 16 cm. Tính độ dài AD và so sánh các góc của tam giác ABD.
c) Vẽ đường trung tuyến CF của tam giác ABC cắt AD tại M. Tính độ dài AM.
d) Vẽ DH vuông góc AC tại H, trên cạnh AC và cạnh DC lần lượt lấy hai điểm E, K sao cho AE = AD và DK = DH. Chứng minh: .
a) Xét ΔABD và ΔACD có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AD chung
BD=CD(AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
Do đó: ΔABD=ΔACD(c-c-c)
b) Ta có: BD=CD(AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
mà BD+CD=BC=16cm(D nằm giữa B và C)
nên \(BD=CD=\frac{BC}{2}=\frac{16cm}{2}=8cm\)
Ta có: ΔABD=ΔACD(cmt)
\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{ADB}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
Áp dụng định lí pytago vào ΔADB vuông tại D, ta được:
\(AB^2=AD^2+BD^2\)
\(\Leftrightarrow AD^2=AB^2-BD^2=10^2-8^2=36\)
hay \(AD=\sqrt{36}=6cm\)
Xét ΔADB có AD<BD<AB(6cm<8cm<10cm)
mà góc đối diện với cạnh AD là \(\widehat{ABD}\)
và góc đối diện với cạnh BD là \(\widehat{BAD}\)
và góc đối diện với cạnh AB là \(\widehat{ADB}\)
nên \(\widehat{ABD}< \widehat{BAD}< \widehat{ADB}\)(định lí quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)
c) Xét ΔABC có
CF là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(gt)
AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)
AD\(\cap\)CF={M}
Do đó: M là trọng tâm của ΔABC(định lí ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒\(AM=\frac{2}{3}\cdot AD\)
hay \(AM=\frac{2}{3}\cdot6=4cm\)
Vậy: AM=4cm
