Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Nguyễn Thị Bích Du

cho hai số thực a,b thỏa mãn 0<a<b<1 và biểu thức P=\(\log_{\frac{a}{b}}\sqrt{a}-4\log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\)đạt giá trị nhỏ nhất . Tính S=a+b

Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 6 2020 lúc 17:00

\(P=\frac{1}{2}log_{\frac{a}{b}}a-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)=\frac{1}{2log_a\frac{a}{b}}-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)=\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-4log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\)

Ta có: \(a+\frac{b}{4}\ge2\sqrt{\frac{ab}{4}}=\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow log_a\left(a+\frac{b}{4}\right)\le log_a\sqrt{ab}\) (do \(0< a< 1\))

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-4log_a\sqrt{ab}=\frac{1}{2\left(1-log_ab\right)}-2\left(1+log_ab\right)\)

Đặt \(log_ab=x\Rightarrow0< x< 1\) \(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2\left(1-x\right)}-2\left(1+x\right)\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=\frac{1}{2\left(1-x\right)}-2\left(1+x\right)\) với \(0< x< 1\)

\(f'\left(x\right)=\frac{1}{2\left(1-x\right)^2}-2=0\Leftrightarrow\frac{1-4\left(1-x\right)^2}{2\left(1-x\right)^2}=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Từ BBT ta thấy \(f\left(x\right)_{min}=f\left(\frac{1}{2}\right)=-2\)

\(\Rightarrow P\ge-2\Rightarrow P_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}log_ab=\frac{1}{2}\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b^2\\a=\frac{b}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{16}\\b=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=\frac{5}{16}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
A Lan
Xem chi tiết
Thành Công
Xem chi tiết
trần nam
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Phương Huỳnh
Xem chi tiết
Thảob Đỗ
Xem chi tiết
Trần Đình Thuyên
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh
Xem chi tiết