Question

Có bao nhiêu nghiệm nguyên m để hàm số f(x)= m(2020+x-2cosx) + sinx -x nghịch biến trên R

A .vô số B.2 C.1 D.0

Answer 1

\(f'\left(x\right)=m\left(1+2sinx\right)+cosx-1\)

\(f'\left(x\right)=2m.sinx+cosx+m-1\)

\(f'\left(x\right)\le\sqrt{\left(4m^2+1\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)}+m-1=\sqrt{4m^2+1}+m-1\)

Để hàm số nghịch biến trên R

\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)\le0;\forall x\)

\(\Rightarrow\sqrt{4m^2+1}+m-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4m^2+1}\le1-m\) (\(m\le1\))

\(\Rightarrow4m^2+1\le1-2m+m^2\)

\(\Rightarrow3m^2+2m\le0\Rightarrow-\frac{2}{3}\le m\le0\)

Có đúng 1 giá trị nguyên của m là \(m=0\) thỏa mãn