Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Gặp những dạng này bạn nên đưa về phương trình bậc nhất

\(\Rightarrow m^2-4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=2\end{matrix}\right.\)

x+2y=3\(\Rightarrow y=\dfrac{3-x}{2}\)(1)

Thế (1) vào E ta được : E=x\(^2\)+\(\dfrac{x^2-6x+9}{2}\)

\(\Leftrightarrow2E=2x^2+x^2-6x+9\Leftrightarrow2E=3x^2-6x+9\)

\(\Leftrightarrow2E=3\left(x^2-2x+1+2\right)\Leftrightarrow E=\dfrac{3}{2}\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\)

\(\Leftrightarrow E=\dfrac{3}{2}\left(x-1\right)^2+3\) . Do (x-1)\(^2\)\(\ge\)0\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x-1\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x-1\right)^2+3\ge3\Leftrightarrow E\ge3\) . Hay \(E_{min}=3\) .

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 3 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Điều kiện để $Q$ có nghĩa.

\(x>0; x\neq 1\)

\(Q=\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2.\frac{(\sqrt{x}+1)^2-(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{x-1}{\sqrt{x}}\right)^2.\frac{x+1+2\sqrt{x}-(x-2\sqrt{x}+1)}{x-1}\)

\(=\frac{1}{4}.\frac{(x-1)^2}{x}.\frac{4\sqrt{x}}{x-1}\)

\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\)

b)

\(Q=3\sqrt{x}-3\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x}}=3(\sqrt{x}-1)\)

\(\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}=3(\sqrt{x}-1)\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-3)=0\)

Vì \(x\neq 1\Rightarrow \sqrt{x}-1\neq 0\). Do đó:

\(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}-3=0\Rightarrow 3=2\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}\) (thỏa mãn)

ĐK : \(0\le x\le1\)

Bình phương hai vế phương trình .

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x-x^2}\right)^2=\left(x+1\right)^2\)

\(x^2+x+x-x^2+2\sqrt{\left(x^2+x\right)\left(x-x^2\right)}=x^2+2x+1\)

\(2\sqrt{x^2-x^4}=x^2+1\)

Bình phương hai vế

\(\Rightarrow4\left(x^2-x^4\right)=\left(x^2+1\right)^2\)

\(4x^2-4x^4=x^4+2x^2+1\)

\(5x^4-2x^2+1=0\)

\(4x^4+\left(x^4-2x^2+1\right)=0\)

\(4x^4+\left(x^2-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^4=0\\\left(x^2-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

Giải 2 phương trình => phương trình vô nghiệm

ĐK:\(\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x^2}=2\sqrt{x-x^2}\)

Đặt \(\sqrt{2x-1}=a; \sqrt{1-2x^2}=b(a,b\geq 0)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=2x-1+1-2x^2=2(x-x^2)\)

PT trở thành:
\(a+b=2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)

\(\Rightarrow (a+b)^2=4.\frac{a^2+b^2}{2}=2(a^2+b^2)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab=2(a^2+b^2)\)

\(\Rightarrow 2ab=a^2+b^2\Rightarrow (a-b)^2=0\Rightarrow a=b\)

\(\Rightarrow a^2=b^2\)

Hay \(2x-1=1-2x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-1=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{\pm \sqrt{5}-1}{2}\)

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra \(x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

\(\left(2x^2-x-1\right)-3=4x^2-2x+2\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x-1-3-4x^2+2x-2=0\)

\(\Leftrightarrow-2x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x^2-\dfrac{x}{2}+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x^2-2.x.\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}\right)-\dfrac{47}{8}=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{47}{2}=0\left(l\right)\)

Vậy ptvn!

\(ĐK:x\ge0\)

Đặt \(\sqrt{x^2+3}=a;a>0\)

\(\sqrt{x}=b;b\ge0\)

\(6\sqrt{x^2+3}+\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+3}}=5\sqrt{x}\)

\(6a+\dfrac{4b^2}{a}=5b\)

\(\Rightarrow6a^2+4b^2=5ab\)

\(6a^2-5ab+4b^2=0\)

Coi phương trình đã cho là phương trình bậc 2 ẩn a

\(\Delta=-71b^2< 0\) ( Vì \(b^2\ge0\Rightarrow-71b^2< 0\))

=> Phương trình vô nghiệm

\(\left(x+1\right)\sqrt{x^2-2x+3}=x^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\left(x^2-2x+3\right)=\left(x^2+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2-2x+3\right)=x^4+2x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^3+3x^2+2x^3-4x^2+6x+x^2-2x+3=x^4+2x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^4+4x+3=x^4+2x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^4+4x+3-x^4-2x^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow-2x^2+4x+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-1=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2+4.1=4+4=8>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}\\x_2=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy................

\(\left(x+1\right)\sqrt{x^2-2x+3}=x^2+1\) Điều kiện : x > -1

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\left(x^2-2x+3\right)=\left(x^2+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2-2x+3\right)=x^4+2x^2+1\)(1)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^3+3x^2+2x^3-4x^2+6x+x^2-2x+3=x^4+2x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-\sqrt{2}\\x=1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn điều kiện )

vậy x=\(\left\{{}\begin{matrix}1-\sqrt{2}\\1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) là nghiệm của phương trình (1)