Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

\(tan\left(a+b\right)=\dfrac{tana+tanb}{1-tana.tanb}=1\)

\(\Rightarrow a+b=45^0\)

\(2x^3+x^2y+xy^2-y^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=0\)

\(\Rightarrow y=2x\)

Thế vào pt đầu:

\(\sqrt{x^2+2x+6}=2x+1\left(x\ge-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow x^2+2x+6=4x^2+4x+1\)

\(\Rightarrow3x^2+2x-5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=2\\x=-\dfrac{5}{3}< -\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Với mọi x, ta có:

\(\left|2014x-7\right|+\left|2015x-3\right|=\left|7-2014x\right|+\left|2015x-3\right|\ge\left|4+x\right|\)

\(\Rightarrow\left|2014-7\right|+\left|2015x-3\right|< \left|x+4\right|\) vô nghiệm

\(2x^2+30xy=5\left(x+5y\right)\sqrt{5xy}-50y^2\)\(\left(đk:x;y\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+30xy-5\left(x+5y\right)\sqrt{5xy}+50y^2=0\left(1\right)\)

\(đặt:\sqrt{5xy}=b\ge0\Rightarrow5xy=b^2\Rightarrow10xy=2b^2\)

\(x+5y=a\ge0\Rightarrow x^2+10xy+25y^2=â^2\)

\(\Rightarrow2a^2=2x^2+20xy+50y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow2a^2+2b^2-5ab=0\Leftrightarrow\left(2a-b\right)\left(a-2b\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2a\left(2\right)\\a=2b\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{5xy}=2x+10y\Leftrightarrow4x^2+35xy+100y^2=0\left(4\right)\)

\(với:y=0\) \(ko\) \(là\) \(nghiệm\)

\(với:y\ne0\Rightarrow\left(4\right)\Leftrightarrow4\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+35\left(\dfrac{x}{y}\right)+100=0\)\(\left(vô-lí\right)\)

\(do:4\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+35\left(\dfrac{x}{y}\right)+100>0\)

\(\left(3\right)\Rightarrow x+5y=2\sqrt{5xy}\Leftrightarrow x^2+10xy+25y^2=20xy\Leftrightarrow x^2-10xy+25y^2=0\Leftrightarrow\left(x-5y\right)^2=0\Leftrightarrow x=5y\)

\(thay:x=5y\) \(vào:2x^2+y^2=51\Rightarrow2\left(5y\right)^2+y^2-51=0\Leftrightarrow51y^2-51=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\left(tm\right)\Rightarrow x=5\left(tm\right)\\y=-1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m-3=m^2-2>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>\sqrt{2}\\m< -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2\ge2\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\ge2\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-2\left(2m+3\right)\ge2\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-1\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\m\le\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Kết hợp điều kiện delta ta được: \(\left[{}\begin{matrix}m>\sqrt{2}\\m\le\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

12.

\(M\left(0;2\right)\) ; \(N\left(2;4\right)\) ; \(\overrightarrow{CB}=\left(4;4\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(-2;2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AC}=-2.4+4.2=0\Rightarrow AC\perp BC\)

\(\Rightarrow C\) là hình chiếu vuông góc của A lên BC hay H trùng C

Do MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN||BC\Rightarrow MN\perp AC\)

\(\Rightarrow\Delta HMN\) vuông tại M

\(\Rightarrow\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH nhận trung điểm cạnh huyền NH hay NC là tâm

Gọi I là trung điểm NC \(\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\)

13.

Do I là giao của 2 đường chéo nên I đồng thời là trung điểm của AC và BD

Do I là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_I-x_A=7\\y_C=2y_I-y_A=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(7;3\right)\)

DO B thuộc d nên tọa độ có dạng: \(B\left(b;4-b\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(b-1;3-b\right)\\\overrightarrow{CB}=\left(b-7;1-b\right)\\\end{matrix}\right.\)

\(AB\perp BC\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}=0\)

\(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(b-7\right)+\left(3-b\right)\left(1-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(2b-10\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=1\\b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B\left(1;3\right)\\B\left(5;-1\right)\end{matrix}\right.\)

- Với \(B\left(1;3\right)\), do I là trung điểm BD nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_D=2x_I-x_B=7\\y_D=2y_I-y_B=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(7;1\right)\)

- Với \(B\left(5;-1\right)\) tương tự \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=2x_I-x_B=3\\y_D=2y_I-y_B=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(3;5\right)\)

đg thi hok có giúp đc

Để bất phương trình có tập nghiệm là R thì \(\left(m-2\right)^2-4\left(m+1\right)< 0\)

\(\Rightarrow m^2-4m+4-4m-4< 0\)

=>m(m-8)<0

=>0<m<8

Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R thì

\(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta\le0\end{matrix}\right.\) (với a là hệ số của x² và bằng 1, thỏa)

\(\Rightarrow\) (m-2)²-4.(m+1)\(\le\)0 \(\Leftrightarrow\) m²-8m\(\le\)0 \(\Leftrightarrow\) 0\(\le\)m\(\le\)8.