Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

\(\left(x+1\right)^2+\sqrt{2x\left(x+a+1\right)}=a^2+1+\left|x+a\right|\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+\sqrt{2x^2+2xa+2x}=a^2+\left|x+a\right|\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2ax+2x+\sqrt{2x^2+2xa+2x}=x^2+2ax+a^2+\left|x+a\right|\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x^2+2xa+2x}+\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(\left|x+a\right|+\dfrac{1}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+2xa+2x}=\left|x+a\right|\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2xa+2x=x^2+2xa+a^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x=a^2\)

Đồ thị hàm số:

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(0\le a^2\le8\Leftrightarrow-2\sqrt{2}\le a\le2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-m+\dfrac{2\left(x^2-2x-m\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{2x+m}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x-m\right)\left(1+\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{2x+m}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-m=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}-\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=m\)

Trong mp tọa độ, gọi \(A\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) ; \(B\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) và \(M\left(x;0\right)\) \(\Rightarrow AB=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(x+\dfrac{1}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(x-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\\BM=\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\end{matrix}\right.\)

Theo BĐT tam giác: \(\left|AM-BM\right|< AB=1\)

\(\Rightarrow\left|m\right|< 1\Rightarrow-1< m< 1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-8< \dfrac{5}{x^2+2x+2}-6\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-2< \dfrac{5}{x^2+2x+2}\)

Đặt \(x^2+2x+2=t\ge1\)

\(\Rightarrow t-4< \dfrac{5}{t}\Leftrightarrow t^2-4t-5< 0\)

\(\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-5\right)< 0\Leftrightarrow t< 5\)

\(\Rightarrow x^2+2x+2< 5\Rightarrow x^2+2x-3< 0\Rightarrow-3< x< 1\)

ĐKXĐ: \(\dfrac{\left|x-1\right|}{x+2}-1\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left|x-1\right|}{x+2}>1\)

Với \(x< -2\) ko thỏa mãn

Với \(x>-2\Rightarrow x+2>0\)

BPT tương đương: \(\left|x-1\right|>x+2\Rightarrow\left(x-1\right)^2>\left(x+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow6x< -3\Rightarrow x< -\dfrac{1}{2}\Rightarrow-2< x< -\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=-1\) là số nguyên duy nhất trong TXĐ của hàm số

\(\left|x^2-4x+3\right|=x^2-4x+3\Leftrightarrow x^2-4x+3\ge0\)

\(\Rightarrow x\in(-\infty;1]\cup[3;+\infty)\)

Lời giải:

Gọi trung điểm $AC$ là $M$.
Theo định lý cos:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. Mà theo đề thì $a=2c$ nên:

$\frac{-1}{2}=\cos 120^0=\frac{5c^2-b^2}{4c^2}$

$\Rightarrow b^2=7c^2$

Theo định lý đường trung tuyến:

$BM^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}=\frac{c^2+4c^2}{2}-\frac{7c^2}{4}=\frac{3}{4}c^2$

$AM^2=(\frac{b}{2})^2=\frac{7}{4}c^2$

Từ những số tính toán ở trên suy ra:

$c^2+\frac{3}{4}c^2=\frac{7}{4}c^2\Leftrightarrow AB^2+BM^2=AM^2$ nên theo định lý Pitago đảo thì $ABM$ vuông tại $B$

$\Rightarrow \overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{n_{BM}}=(1,1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(1,-1)$

PTĐT $AB$: $(x-3)-(y-1)=0\Leftrightarrow x-y-2=0$

$B$ vừa thuộc đt $x+y-2=0$ vừa thuộc ĐT $x-y-2=0$ nên dễ tính $B(2,0)$
---------------------

Gọi tọa độ $C$ là $(t,t')$ thì tọa độ $M$ là $(\frac{3+t}{2}; \frac{t'+1}{2})$

Vì $M\in (x+y-2=0)$ nên: $\frac{3+t}{2}+\frac{t'+1}{2}=0\Leftrightarrow t'=-t$

Theo đề:

$a=2c\Leftrightarrow a^2=4c^2\Leftrightarrow (t-2)^2+(-t)^2=4[(3-2)^2+(1-0)^2]$

$\Leftrightarrow t=1\pm\sqrt{3}$

Vậy............

a.

Thay số 12 từ pt trên xuống dưới:

\(x^3+2xy^2+y\left(x^2+8y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2y+2xy^2+8y^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(x^2-xy+4y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2y\\x=y=0\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu:

\(\left(-2y\right)^2+8y^2=12\Leftrightarrow y^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=-2\\y=-1\Rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)

b.

Thế số 1 từ pt trên xuống dưới:

\(x^7+y^7=\left(x^4+y^4\right)\left(x^3+y^3\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4y^3+x^3y^4=0\)

\(\Leftrightarrow x^3y^3\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\y=-x\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu: \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^3=1\\x^3=1\\x^3-x^3=1\left(vô-nghiệm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của hệ là: \(\left(x;y\right)=\left(1;0\right);\left(0;1\right)\)

a. ĐKXĐ: ..

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2\left(2x+5y\right)}-\sqrt{2\left(x+y\right)}=4\\x+2y+\dfrac{2\sqrt{\left(x+y\right)\left(2x+5y\right)}}{3}=24\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2\left(2x+5y\right)}=a\ge0\\\sqrt{2\left(x+y\right)}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=4\\\dfrac{a^2+b^2}{6}+\dfrac{ab}{3}=24\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=4\\\left(a+b\right)^2=144\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=4\\\left[{}\begin{matrix}a+b=12\\a+b=-12\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(8;4\right)\\\left(a;b\right)=\left(-4;-8\right)\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(2x+5y\right)=64\\2\left(x+y\right)=16\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\)

b.

Thế pt trên xuống dưới:

\(x^4+6y^4=\left(x+2y\right)\left(x^3+3y^3-2xy^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^3y-2x^2y^2-xy^3=0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(2x^2-2xy-y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\y=-\left(1+\sqrt{3}\right)x\\y=\left(-1+\sqrt{3}\right)x\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu ...

Đề cho hơi xấu, nếu pt đầu là \(x^3+3y^3-2x^2y=1\) thì đẹp hơn nhiều

Câu a pt đầu là \(x^2+2xy^2=3\) hay \(x^3+2xy^2=3\) vậy nhỉ? Nhìn \(x^2\) chẳng hợp lý chút nào

b. \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\left(xy+1\right)-y\left(xy+1\right)+xy+1=2\\\left(x^4+y^2-2x^2y\right)+xy+1=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-y\right)\left(xy+1\right)+xy+1=2\\\left(x^2-y\right)^2+xy+1=2\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(\left(x^2-y\right)\left(xy+1\right)-\left(x^2-y\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)\left(xy+1-x^2+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)\left[y\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\left(1-x\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)\left(x+1\right)\left(y+1-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=x^2\\x=-1\\y=x-1\end{matrix}\right.\)

- Với \(y=x^2\) thế xuống pt dưới:

\(x^4+x^4-x^3\left(2x-1\right)=1\Leftrightarrow x^3=1\Leftrightarrow...\)

....

Hai trường hợp còn lại bạn tự thế tương tự