Cho biểu thức M=[\(\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)- \(\left(\sqrt{X}+2\right)\)]\(\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M Chứng minh M <=\(\dfrac{1}{4}\)
Cho biểu thức M=[\(\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)- \(\left(\sqrt{X}+2\right)\)]\(\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M Chứng minh M <=\(\dfrac{1}{4}\)
a/ \(M=\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}-\left(\sqrt{x}+2\right)\right].\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}=\sqrt{x}-x\)
b/ Chứng minh
\(\sqrt{x}-x\le\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x-4\sqrt{x}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\) (đúng)
Giải phương trinh:
\(x\sqrt{2x+3}+3\sqrt{x+5}=\sqrt{\left(2x^2+13x+15\right)}+\sqrt{2x+3}\)
tìm gtln gtnn của A=\(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\) và B=\(\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\)
\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x-\sqrt{x}+1}\le1\)
\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\ge0\)
Vật Min B = 0 khi x = 0 và Max = 1 khi x = 1
5*x^4-2*x^2-3*x^2 * căn bậc hai(x^2+2) = 4
giải các phương trình sau
a)\(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3\)
b)\(\sqrt{3-x+x^2}-\sqrt{2+x-x^2}=1\)
c)\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2}\)
d)\(5\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\dfrac{1}{2x}+4\)
a) \(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3\)
Đặt \(\sqrt{x^2-3x+3}=a;\sqrt{x^2-3x+6}=b\left(a;b>0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\b^2-a^2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\\left(b+a\right)\left(b-a\right)=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+a=3\\b-a=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\a=1\end{matrix}\right.\) (nhận)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2-3x+3}=1\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+3=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\) (nhận)
b) \(\sqrt{3-x+x^2}-\sqrt{2+x-x^2}=1\)
Đặt \(\sqrt{3-x+x^2}=a;\sqrt{2+x-x^2}=b\left(a;b>0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+1\\\left(b^2+2b+1\right)+b^2-5=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+1\\2\left(b-1\right)\left(b+2\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\) (vì \(b+2>0\)) (nhận)
\(\Rightarrow\sqrt{2+x-x^2}=1\)
\(\Leftrightarrow2+x-x^2=1\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)
d) \(5\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\dfrac{1}{2x}+4\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+4=5\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left[\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2-1\right]-5\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2-5\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)+2=0\)
Đặt \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=a\left(a\ge\sqrt{2}\right)\)
\(\Rightarrow2a^2-5a+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(2a-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\left(\text{nhận}\right)\\a=\dfrac{1}{2}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=2\)
\(\Leftrightarrow2x-4\sqrt{x}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\\sqrt{x}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}\\x=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)
c)DK:\(x\ge1\)
\(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\dfrac{x+3}{2}\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}+1\right|+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\dfrac{x+3}{2}\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\dfrac{x+3}{2}\\x\ge2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=\dfrac{x+3}{2}\\1\le x\le2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1\end{matrix}\right.\)
P = \(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
Tìm GTNN của P
\(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\)
\(\ge2\sqrt{\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}}+1=3\)
Khi x=1
Giải phương trình
\(\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{13}\)
\(\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{13}\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+2}-\dfrac{\sqrt{13}}{3}+\sqrt{x^2-2x+5}-\dfrac{2\sqrt{13}}{3}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+2x+2-\dfrac{13}{9}}{\sqrt{x^2+2x+2}+\dfrac{\sqrt{13}}{3}}+\dfrac{x^2-2x+5-\dfrac{52}{9}}{\sqrt{x^2-2x+5}+\dfrac{2\sqrt{13}}{3}}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{\left(3x+1\right)\left(3x+5\right)}{9}}{\sqrt{x^2+2x+2}+\dfrac{\sqrt{13}}{3}}+\dfrac{\dfrac{\left(3x+1\right)\left(3x-7\right)}{9}}{\sqrt{x^2-2x+5}+\dfrac{2\sqrt{13}}{3}}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(3x+1\right)}{9}\left(\dfrac{3x+5}{\sqrt{x^2+2x+2}+\dfrac{\sqrt{13}}{3}}+\dfrac{3x-7}{\sqrt{x^2-2x+5}+\dfrac{2\sqrt{13}}{3}}\right)=0\)
Dễ thấy: \(\dfrac{3x+5}{\sqrt{x^2+2x+2}+\dfrac{\sqrt{13}}{3}}+\dfrac{3x-7}{\sqrt{x^2-2x+5}+\dfrac{2\sqrt{13}}{3}}>0\)
\(\Rightarrow3x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}\)
Câu hỏi hay và khó :D
Bạn nào trả lời nhanh và đúng sẽ được thường 2GP. ( Mình không có quyền trao GP nên mong thầy phynit và các bạn CTV Nguyễn Huy Tú, Đức Minh,... giúp nhé )
Cho a, b, c là các số thực dương thõa mản điều kiện \(abc=8\). CMR:
\(\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(a^3+1\right)\left(b^3+1\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{\left(b^3+1\right)\left(c^3+1\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{\left(c^3+1\right)\left(a^3+1\right)}}\ge\dfrac{4}{3}\)
đăng câu khác đi câu này nổi tiếng rồi
APMO 2005
Áp dụng BDT AM-GM:
\(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(a^2+2\right)\)
tương tự như thế, ta có:
\(VT=\sum\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(a^3+1\right)\left(b^3+1\right)}}\ge\sum\dfrac{4a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\)
Cần chứng minh \(\sum\dfrac{4a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\ge\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow\sum\dfrac{a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left[a^2\left(c^2+2\right)+b^2\left(a^2+2\right)+c^2\left(b^2+2\right)\right]\ge\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]\ge a^2b^2c^2+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+8\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge72\)
Điều này đúng theo AM-GM:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=48\\a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=12\end{matrix}\right.\)(abc=8)
Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=2
P/s : góp thêm đề :
1) \(\sum\sqrt{\dfrac{a}{b+3c}}\ge\dfrac{3}{2}\)
2)\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge5\)
3) \(a^3+b^3+c^3=3.\)CMR:\(\sum\dfrac{a}{b+2}\le1\)
4) CMr :\(\sum\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\ge\sum\dfrac{a}{a+b}\)
\(\sqrt{ }\)x+1 \(\le\) 8 - \(\sqrt{ }\)3x+1 giải giúp em bài này với mọi người ạ
2\(\sqrt{ }\)x+1 +2,5x = 0,5x2 +7
Ai giải giúp mình bài này với!!! Càng nhiều cách càng tốt nha!!!!!
cho mình hỏi đề bài là:
2\(\sqrt{x}+1...\)hay là 2\(\sqrt{x+1}\)....