Phương trình chứa căn

Uyên Nguyễn
Xem chi tiết
Hung nguyen
24 tháng 4 2017 lúc 8:56

a/ \(M=\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}-\left(\sqrt{x}+2\right)\right].\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\)

\(=\dfrac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}=\sqrt{x}-x\)

b/ Chứng minh

\(\sqrt{x}-x\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x-4\sqrt{x}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\) (đúng)

Bình luận (0)
Thanh Tâm TK
Xem chi tiết
Phúc Cules
10 tháng 6 2018 lúc 20:02

Đề sai à :)

Bình luận (0)
mimi
Xem chi tiết
Chí Cường
8 tháng 6 2018 lúc 19:18

\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x-\sqrt{x}+1}\le1\)

\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\ge0\)

Vật Min B = 0 khi x = 0 và Max = 1 khi x = 1

Bình luận (0)
Sơn Junior
Xem chi tiết
Tung Nguyễn
Xem chi tiết
Ann
8 tháng 11 2017 lúc 15:13

a) \(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3\)

Đặt \(\sqrt{x^2-3x+3}=a;\sqrt{x^2-3x+6}=b\left(a;b>0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\b^2-a^2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\\left(b+a\right)\left(b-a\right)=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+a=3\\b-a=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\a=1\end{matrix}\right.\) (nhận)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-3x+3}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+3=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\) (nhận)

b) \(\sqrt{3-x+x^2}-\sqrt{2+x-x^2}=1\)

Đặt \(\sqrt{3-x+x^2}=a;\sqrt{2+x-x^2}=b\left(a;b>0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+1\\\left(b^2+2b+1\right)+b^2-5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+1\\2\left(b-1\right)\left(b+2\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\) (vì \(b+2>0\)) (nhận)

\(\Rightarrow\sqrt{2+x-x^2}=1\)

\(\Leftrightarrow2+x-x^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

Bình luận (0)
Ann
8 tháng 11 2017 lúc 15:25

d) \(5\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\dfrac{1}{2x}+4\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+4=5\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2-1\right]-5\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2-5\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)+2=0\)

Đặt \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=a\left(a\ge\sqrt{2}\right)\)

\(\Rightarrow2a^2-5a+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(2a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\left(\text{nhận}\right)\\a=\dfrac{1}{2}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=2\)

\(\Leftrightarrow2x-4\sqrt{x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\\sqrt{x}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}\\x=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

Bình luận (0)
Chí Cường
29 tháng 5 2018 lúc 9:47

c)DK:\(x\ge1\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}=\dfrac{x+3}{2}\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}+1\right|+\left|\sqrt{x-1}-1\right|=\dfrac{x+3}{2}\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=\dfrac{x+3}{2}\\x\ge2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=\dfrac{x+3}{2}\\1\le x\le2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Mai Quỳnh Trang
Xem chi tiết
Lightning Farron
13 tháng 5 2018 lúc 17:31

\(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\)

\(\ge2\sqrt{\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}}+1=3\)

Khi x=1

Bình luận (2)
Lap Vo
Xem chi tiết
Lightning Farron
28 tháng 12 2017 lúc 18:11

\(\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{13}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2x+2}-\dfrac{\sqrt{13}}{3}+\sqrt{x^2-2x+5}-\dfrac{2\sqrt{13}}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+2x+2-\dfrac{13}{9}}{\sqrt{x^2+2x+2}+\dfrac{\sqrt{13}}{3}}+\dfrac{x^2-2x+5-\dfrac{52}{9}}{\sqrt{x^2-2x+5}+\dfrac{2\sqrt{13}}{3}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{\left(3x+1\right)\left(3x+5\right)}{9}}{\sqrt{x^2+2x+2}+\dfrac{\sqrt{13}}{3}}+\dfrac{\dfrac{\left(3x+1\right)\left(3x-7\right)}{9}}{\sqrt{x^2-2x+5}+\dfrac{2\sqrt{13}}{3}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(3x+1\right)}{9}\left(\dfrac{3x+5}{\sqrt{x^2+2x+2}+\dfrac{\sqrt{13}}{3}}+\dfrac{3x-7}{\sqrt{x^2-2x+5}+\dfrac{2\sqrt{13}}{3}}\right)=0\)

Dễ thấy: \(\dfrac{3x+5}{\sqrt{x^2+2x+2}+\dfrac{\sqrt{13}}{3}}+\dfrac{3x-7}{\sqrt{x^2-2x+5}+\dfrac{2\sqrt{13}}{3}}>0\)

\(\Rightarrow3x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{3}\)

Bình luận (2)
Ngô Thanh Sang
Xem chi tiết
Lightning Farron
14 tháng 7 2017 lúc 23:00

đăng câu khác đi câu này nổi tiếng rồi

APMO 2005

Bình luận (1)
Neet
16 tháng 7 2017 lúc 10:57

Áp dụng BDT AM-GM:

\(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(a^2+2\right)\)

tương tự như thế, ta có:

\(VT=\sum\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(a^3+1\right)\left(b^3+1\right)}}\ge\sum\dfrac{4a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\)

Cần chứng minh \(\sum\dfrac{4a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\ge\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow\sum\dfrac{a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left[a^2\left(c^2+2\right)+b^2\left(a^2+2\right)+c^2\left(b^2+2\right)\right]\ge\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]\ge a^2b^2c^2+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+8\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge72\)

Điều này đúng theo AM-GM:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=48\\a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=12\end{matrix}\right.\)(abc=8)

Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=2

P/s : góp thêm đề :

1) \(\sum\sqrt{\dfrac{a}{b+3c}}\ge\dfrac{3}{2}\)

2)\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge5\)

3) \(a^3+b^3+c^3=3.\)CMR:\(\sum\dfrac{a}{b+2}\le1\)

4) CMr :\(\sum\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\ge\sum\dfrac{a}{a+b}\)

Bình luận (9)
Khánh Đoan
Xem chi tiết
Thu Huyền
Xem chi tiết
tân nguyễn
18 tháng 4 2018 lúc 9:01

cho mình hỏi đề bài là:

2\(\sqrt{x}+1...\)hay là 2\(\sqrt{x+1}\)....

Bình luận (1)