Phương trình chứa căn - Hỏi đáp

theo mình thì giải thế này

đặt \(x+1=a\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a+1}=\sqrt[3]{2x^2}+\sqrt[3]{2x^2+1}\)

xét hàm suy ra \(f\left(a\right)=f\left(2x\right)\)

hay 2x = a hay x+1 = 2x suy ra x=1

vậy S = (1)

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{2x^2-6x+8}+8=4x+4\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(4\sqrt{2x^2-6x+8}-5x+4\right)+\left(x+4-4\sqrt{x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{7\left(x-4\right)^2}{4\sqrt{2x^2-6x+8}+5x-4}+\frac{\left(x-4\right)^2}{x+4+4\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2\left(\frac{7}{4\sqrt{2x^2-6x+8}+5x-4}+\frac{1}{x+4+4\sqrt{x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=4\)

\(\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}B\ge0\\A=B^2\end{matrix}\right.\)

Cái đầu là thừa

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^2-3x-3\right)=\left(x-3\right)\left(x-2+5\sqrt{x-3}\right).\frac{\left(x-4\right)}{\sqrt{x-3}+1}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x^2-3x-3=\frac{\left(x-3\right)\left(x-2+5\sqrt{x-3}\right)}{\sqrt{x-3}+1}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^2-3x-3\right)\sqrt{x-3}+x^2-3x-3=x^2-5x+6+\left(5x-15\right)\sqrt{x-3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-8x+12\right)\sqrt{x-3}+2x-9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-8x+12\right)\left(\sqrt{x-3}-x+4\right)+x^3-12x^2+46x-57=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^2-9x+19\right)-\frac{\left(x^2-8x+12\right)\left(x^2-9x+19\right)}{\sqrt{x-3}+x-4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-9x+19\right)\left(x-3-\frac{x^2-8x+12}{\sqrt{x-3}+x-4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-9x+19=0\Rightarrow x=...\\x-3=\frac{x^2-8x+12}{\sqrt{x-3}+x-4}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-3\right)\sqrt{x-3}+x^2-7x+12=x^2-8x+12\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\sqrt{x-3}=-x\) (vô nghiệm do \(x\ge3\) nên vế trái không âm, vế phải luôn âm)

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

- Với \(x=0\) ko phải là nghiệm

- Với \(x\ne0\) phương trình tương đương:

\(-\frac{x^2+1}{x}+\frac{\left(m+2\right)\sqrt{x\left(x^2+1\right)}}{x}+m-6=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}-\left(m+2\right)\sqrt{\frac{x^2+1}{x}}-m+6=0\)

Đặt \(\frac{x^2+1}{x}=t\Rightarrow t\ge2\) pt trở thành:

\(t^2-\left(m+2\right)t-m+6=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-2m+6=m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2-2t+6}{t+1}=m\)

Xét \(f\left(t\right)=\frac{t^2-2t+6}{t+1}\) với \(t\ge2\)

\(f\left(t\right)=t-3+\frac{9}{t+1}=t+1+\frac{9}{t+1}-4\ge2\sqrt{\frac{9\left(t+1\right)}{t+1}}-4=2\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge2\Rightarrow m\ge2\)

Lời giải:

PT tương đương \(\sqrt{(4+x)(6-x)}=-(4+x)(6-x)+12\)

\(\Leftrightarrow (4+x)(6-x)+\sqrt{(4+x)(6-x)}-12=0\)

\(\Leftrightarrow [\sqrt{(4+x)(6-x)}-3][\sqrt{(4+x)(6-x)}+4]=0\)

Ta thấy ngoặc vuông thứ 2 luôn lớn hơn 0 với mọi $x$ nằm trong tập xác định, do đó \(\sqrt{(4+x)(6-x)}-3=0\)

\(\Leftrightarrow (4+x)(6-x)=9\)

\(\Leftrightarrow 24+2x-x^2=9\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-15=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\) (đều thỏa mãn)

Lời giải:

ĐK: $-1\leq x\leq 1$

Đặt $\sqrt{1-x}=a; \sqrt{1+x}=b\Rightarrow a^2+b^2=2; b^2-a^2=2x$

PT trở thành:

$3+2\sqrt{1-x}+2x+(1+x)=5\sqrt{1+x}+\sqrt{(1-x)(1+x)}$

$\Leftrightarrow 3+2a+b^2-a^2+b^2=5b+ab$

$\Leftrightarrow 2b^2-b(a+5)+(3+2a-a^2)=0$

$\Leftrightarrow (a-b+1)(a+2b-3)=0$

$\Rightarrow a-b+1=0$ hoặc $a+2b-3=0$

Nếu $a-b+1=0$

$\Leftrightarrow b=a+1\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{1-x}+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}=1$

$\Rightarrow 2-2\sqrt{1-x^2}=1$ (bình phương 2 vế)

$\Leftrightarrow 2\sqrt{1-x^2}=1$

$\Rightarrow x=\frac{\pm \sqrt{3}}{2}$

Thử lại thì $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Nếu $a+2b-3=0$. Ta cũng làm tương tự TH trên thì tìm được $x=0$ hoặc $x=\frac{24}{25}$

Vậy.........

\(\text{Đặt:}a-b=x;b-c=y;c-a=z\)

\(\text{Khi đó: }x+y+z=0;\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}=\sqrt{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\text{ là 1 số hữu tỉ}\)

x=3 hoặc x=1

Bằng 1 phép so sánh đơn giản \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}>\frac{1}{\sqrt{x+100}+10}\) ; \(\forall x\ge-1\)

Ta suy ra luôn pt này vô nghiệm

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[6]{3-4x}=a\ge0\\2x=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^3+2a^2b-3b^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+3ab+3b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[6]{3-4x}=2x\) 

\(\Leftrightarrow2x-1+1-\sqrt[6]{3-4x}=0\)

\(\Leftrightarrow2x-1+\frac{2\left(2x-1\right)}{\left(1+\sqrt[6]{3-4x}+\sqrt[3]{3-4x}\right)\left(\sqrt{3-4x}+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(1+\frac{2}{\left(1+\sqrt[6]{3-4x}+\sqrt[3]{3-4x}\right)\left(\sqrt{3-4x}+1\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

ĐKXĐ: \(x\ge\frac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+x-3+\left(2-\sqrt[3]{9-x}\right)+\left(2x-\sqrt{5x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x+3\right)+\frac{x-1}{4+2\sqrt[3]{9-x}+\sqrt[3]{\left(9-x\right)^2}}+\frac{\left(x-1\right)\left(4x-1\right)}{2x+\sqrt{5x-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x+3+\frac{1}{4+2\sqrt[3]{9-x}+\sqrt[3]{\left(9-x\right)^2}}+\frac{4x-1}{2x+\sqrt{5x-1}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (ngoặc to luôn dương)