Phương trình chứa căn - Hỏi đáp

Bài làm

a, \(\sqrt{x^2-2x+5}=x^2-2x-1\)

Đặt \(\sqrt{x^2-2x+5}=t\ge0\) (*)

PT mới là\(t=t^2-6\Leftrightarrow t^2-t-6=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\left(tm\right)\\t=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

thay t=3 vào (*) xong bình phương hai vế được

\(x^2-2x-4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{5}\\x=1-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

thử lại vào đề bài thấy thỏa mãn cả hai nghiệm( đây là cách lớp 10 nha)

Câu b tương tự. chuyển x sang bên kia và bình phương thôi. nó sẽ ra bậc 4 . nếu lp 10 thì dùng sơ đồ hoocne nha

a) làm giống @ trước

sửa lại \(t\ge2\)

" t >=0 là sai"

b) BP lên gặp đại tá cấp cao không biết có ra không

cách khác

\(A=\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}}=\sqrt{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\left(\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right)^2}\) \(A=\left|\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\right|=\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}+\dfrac{1}{2}\left(đk:x\ge\dfrac{1}{4}\right)\)

pt trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{1}{4}\\\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{3}{2}-x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{4}\le x\le\dfrac{3}{2}\\x+\dfrac{1}{4}=x^2-3x+\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{4}\le x\le\dfrac{3}{2}\\x^2-4x+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{4}\le x\le\dfrac{3}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x=2-\sqrt{2}\\2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2-\sqrt{2}\)

Áp dụng BDT AM-GM:

\(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(a^2+2\right)\)

tương tự như thế, ta có:

\(VT=\sum\dfrac{a^2}{\sqrt{\left(a^3+1\right)\left(b^3+1\right)}}\ge\sum\dfrac{4a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\)

Cần chứng minh \(\sum\dfrac{4a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\ge\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow\sum\dfrac{a^2}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left[a^2\left(c^2+2\right)+b^2\left(a^2+2\right)+c^2\left(b^2+2\right)\right]\ge\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]\ge a^2b^2c^2+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+8\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge72\)

Điều này đúng theo AM-GM:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=48\\a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=12\end{matrix}\right.\)(abc=8)

Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=2

P/s : góp thêm đề :

1) \(\sum\sqrt{\dfrac{a}{b+3c}}\ge\dfrac{3}{2}\)

2)\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge5\)

3) \(a^3+b^3+c^3=3.\)CMR:\(\sum\dfrac{a}{b+2}\le1\)

4) CMr :\(\sum\dfrac{a^2}{a^2+b^2}\ge\sum\dfrac{a}{a+b}\)

đăng câu khác đi câu này nổi tiếng rồi

APMO 2005

đầu tiên ĐKXĐ: VT luôn dương ( min của 15x²-35x+23=31/12 )

=> VP>0 => Đk VP>0 ( tự làm bước này nhé )

bình phương hai vế

15x²-35x+23=x⁴-2x³-20x²+41x-14

chuyển vế ta được

x4 - 2x3-20x2+41x-14=0

bạn có máy tính ko??? chắc là có; z thì mò nghiệm thui!!!

tớ chỉ biết có từng đó, nếu sai mong bạn thông cảm cho@@

.

mấy câu này chắc xài giá trị tuyệt đối

đăng ít thôi bn sợ quá :))

a)iải phương trình sau: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán

b)giải pt: x^2 + 3x+1=(x+3)căn(x^2+1)? | Yahoo Hỏi & Đáp

c)chuyển vế bình

kéo xuống xem có nhiều link ko Giải phương trình - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán

\(\sqrt{5x^2+14x+9}\) chơ

pt2 <=> 4x^2 -4x+1+4y^2 -4y+1=18

<=>x^2+y^2-3=x+y+1

thay vào pt 1 ta đk

căn (x+2) +3 căn ( y-1) =căn ( 5(x+y+1))

đặt căn (x+2)=a căn (y-1)=b

pt1 <=> a+3b=căn (5a^2+5b^2)

bình phương hai vế ta đk

a^2 +6ab+9b^2 =5a^2+5b^2

<=>4a^2-6ab-4b^2=0

<=>(2a+b)(a-2b)=0

sau đó bạn giải từng trường hợp rồi thay ngược lại pt 2 mà giải ra x với y

Vì \(x^2+x+2>0\forall x\)

Nên để hàm số y xác định buộc \(\left|2x-1\right|+x-2>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1+x-2>0\\1-2x+x-2>0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< 1\end{matrix}\right.\)

Vậy với x>1 hoặc x<1 thì hàm số đã cho xác định