Phương trình chứa căn - Hỏi đáp

.

\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{x-\sqrt{x}+1}\le1\)

\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\ge0\)

Vật Min B = 0 khi x = 0 và Max = 1 khi x = 1

Đk x \(\le\dfrac{7}{4}\) và y² \(\le6x^2\)

Vì x \(\in Z^+\) => x = 1

Thay x = 1 ta có 2\(\sqrt{3}\) + \(\sqrt{6-y^2}\) = \(\sqrt{3}y\)

<=> \(\sqrt{6-y^2}\) = \(\sqrt{3}\left(y-2\right)\) (Đk y \(\ge2\) )

<=> 6 - y² = 3(y² - 4y +4)

<=> 4y² - 12y + 6 = 0

<=> 2y² - 6y + 3 = 0

<=> y = \(\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{2}\)

Vì y \(\ge2\) => y = \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\)

Vậy x = 1 y = \(\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}\)

Điều kiện \(x\in R\)

Lập phương 2 vế phương trình đã cho ta được :

\(2x-1+x-1+3\sqrt[3]{2x-1}\left(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}\right)=3x-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{2x-1}\sqrt[3]{x-1}\left(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}\right)=1\)

mà \(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x+1}\) nên ta có :

\(\sqrt[3]{2x-1}\sqrt[3]{x-1}\sqrt[3]{3x+1}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-1\right)\left(3x+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0;\frac{7}{6}\right\}\)

Thử lại ta thấy \(x=\frac{7}{6}\) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho 

Vì \(x^2+x+2>0\forall x\)

Nên để hàm số y xác định buộc \(\left|2x-1\right|+x-2>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1+x-2>0\\1-2x+x-2>0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< 1\end{matrix}\right.\)

Vậy với x>1 hoặc x<1 thì hàm số đã cho xác định

vô lý vì nếu a=1 thì không xảy ra

d) \(5\sqrt{x}+\dfrac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\dfrac{1}{2x}+4\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+4=5\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2-1\right]-5\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2-5\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)+2=0\)

Đặt \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=a\left(a\ge\sqrt{2}\right)\)

\(\Rightarrow2a^2-5a+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(2a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\left(\text{nhận}\right)\\a=\dfrac{1}{2}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=2\)

\(\Leftrightarrow2x-4\sqrt{x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\\sqrt{x}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2}\\x=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

a) \(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3\)

Đặt \(\sqrt{x^2-3x+3}=a;\sqrt{x^2-3x+6}=b\left(a;b>0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\b^2-a^2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\\left(b+a\right)\left(b-a\right)=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+a=3\\b-a=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\a=1\end{matrix}\right.\) (nhận)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-3x+3}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+3=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\) (nhận)

b) \(\sqrt{3-x+x^2}-\sqrt{2+x-x^2}=1\)

Đặt \(\sqrt{3-x+x^2}=a;\sqrt{2+x-x^2}=b\left(a;b>0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+1\\\left(b^2+2b+1\right)+b^2-5=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+1\\2\left(b-1\right)\left(b+2\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\) (vì \(b+2>0\)) (nhận)

\(\Rightarrow\sqrt{2+x-x^2}=1\)

\(\Leftrightarrow2+x-x^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

Lời giải:

Đặt \(\sqrt{x}=a; \sqrt{1-x}=b(a,b\geq 0)\)

Khi đó ta thu được hpt sau:

\(\left\{\begin{matrix} 1+\frac{2}{3}ab=a+b\\ a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3+2ab=3(a+b)\\ a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+2+2ab=3(a+b)\)

\(\Leftrightarrow (a+b)^2-3(a+b)+2=0\)

\(\Leftrightarrow (a+b-1)(a+b-2)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+b=1\\ a+b=2\end{matrix}\right.\)

+) Nếu $a+b=1$ thì \(ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{1-1}{2}=0\)

Theo định lý Viet đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt: \(x^2-x=0\Rightarrow (a,b)=(1,0)\) và hoán vị

+) Nếu $a+b=2$ thì \(ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}\)

Theo định lý Viet đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt:
\(x^2-2x+\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow (x-1)^2+\frac{1}{2}=0\) (vô lý)

Vậy \((a,b)=(1,0)\) và hoán vị kéo theo \(x=(1,0)\)

kéo xuống xem có nhiều link ko Giải phương trình - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán

\(\sqrt{5x^2+14x+9}\) chơ