Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

a. Hai đường thẳng cắt nhau khi:

\(-3\ne2m+1\Leftrightarrow m\ne-2\)

b. Hai đường thẳng song song khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m+1=-3\\3k-4\ne5k\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-2\\k\ne-2\end{matrix}\right.\)

c. Hai đường thẳng trùng nhau khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m+1=-3\\3k-4=5k\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-2\\k=-2\end{matrix}\right.\)

7a) \(\Delta=\left(3m+1\right)^2-4\left(2m^2+m-1\right)=m^2+2m+5=\left(m+1\right)^2+4>0\)

\(\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm phân biệt 

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3m+1\\x_1x_2=2m^2+m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2=\left(3m+1\right)^2-5\left(2m^2+m-1\right)\)

\(=-m^2+m+6=-\left(m^2-m-6\right)\)

Ta có: \(m^2-m-6=m^2-2.m.\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\)

\(=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\ge-\dfrac{25}{4}\Rightarrow-\left(m^2-m-6\right)\le\dfrac{25}{4}\)

\(\Rightarrow GTLN=\dfrac{25}{4}\) khi \(m=\dfrac{1}{2}\)

a) Ta có: \(x^2-\left(3m+1\right)x+2m^2+m-1\)

\(\Delta=\left(3m+1\right)^2-4\left(2m^2+m-1\right)\)

\(=9m^2+6m+1-8m^2-4m+4\)

\(=m^2+2m+5\)

\(=\left(m+1\right)^2+4>0\forall m\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3m+1\\x_1x_2=2m^2+m-1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(B=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)

\(=\left(3m+1\right)^2-5\left(2m^2+m-1\right)\)

\(=9m^2+6m+1-10m^2-5m+5\)

\(=-m^2+m+6\)

\(=-\left(m^2-m-6\right)\)

\(=-\left(m^2-2\cdot m\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{25}{4}\)

\(=-\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{25}{4}\le\dfrac{25}{4}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi \(m=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

Vì $\Delta'=(m-1)^2+2m+3=m^2+4>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2(m-1)\\ x_1x_2=-2m-3\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$(4x_1+5)(4x_2+5)+19=0$

$\Leftrightarrow 16x_1x_2+20(x_1+x_2)+44=0$

$\Leftrightarrow 4x_1x_2+5(x_1+x_2)+11=0$

$\Leftrightarrow 4(-2m-3)-10(m-1)+11=0$

$\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$ (chọn)

Gọi : a , b lần lượt là số xe máy và xe mô tô ba bánh ( x,y<19) 

Ta có : 

a + b = 19 

2a + 3b = 45 

=>

a = 12

b = 7

Vậy có : 12 chiếc xe máy

Do pt có 1 nghiệm là \(2-\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\left(2-\sqrt{3}\right)^2+a\left(2-\sqrt{3}\right)+b=0\)

\(\Leftrightarrow7-4\sqrt{3}+2a-a\sqrt{3}+b=0\)

\(\Leftrightarrow2a+b+7=\left(a+4\right)\sqrt{3}\)

Vế trái là số hữu tỉ, vế phải vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+4=0\\2a+b+7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=1\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
PT $\Leftrightarrow [x(2-x)]^2=3[(1-x)^2-1]-2$

$\Leftrightarrow [x(2-x)]^2=3[-x(2-x)]-2$

$\Leftrightarrow [x(2-x)]^2+3x(2-x)-2=0$

Đặt $x(2-x)=a$ thì: $a^2+3a-2=0$

$\Leftrightarrow a=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}$

$\Leftrightarrow x(2-x)=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}$

Đến đây là dạng PT bậc 2 đơn giản rồi. Bạn hoàn toàn có thể tự giải.

a.

⇔ \(5x^2-3x+\left(-7\right)-1=0\)

⇔ \(5x^2-3x-8=0\)

Δ=\(b^2-4ac\) \(=\left(-3\right)^2-4.5.\left(-8\right)=169\)>0

Vì Δ>0 nên pt có 2 nghiệm phân biệt:

\(x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+\sqrt{169}}{2.5}=\dfrac{8}{5}\)

\(x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{169}}{2.5}=-1\)

a) Ta có: \(\Delta=2^2-4\cdot m\cdot3=4-12m\)

Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta=0\)

\(\Leftrightarrow4-12m=0\)

\(\Leftrightarrow12m=4\)

hay \(m=\dfrac{1}{3}\)

Thay \(m=\dfrac{1}{3}\) vào phương trình, ta được:

\(\dfrac{1}{3}x^2+2x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+6x+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+3=0\)

hay x=-3

b) Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow4-12m\ge0\)

\(\Leftrightarrow-12m\ge-4\)

hay \(m\le\dfrac{1}{3}\)