Cho phương trình : ( m- 1 ). x\(^2\) - 3x + 2 = 0
a) m= ? để phương trình đã cho có hai nghiệm x\(_1\), x\(_2\) thỏa mãn : \(\dfrac{1}{x_1}\) + \(\dfrac{1}{x_2}\) =3
Cho phương trình : ( m- 1 ). x\(^2\) - 3x + 2 = 0
a) m= ? để phương trình đã cho có hai nghiệm x\(_1\), x\(_2\) thỏa mãn : \(\dfrac{1}{x_1}\) + \(\dfrac{1}{x_2}\) =3
TH1: m=1
Pt sẽ là -3x+2=0
hay x=2/3(loại)
TH2: m<>1
\(\text{Δ}=\left(-3\right)^2-4\left(m-1\right)\cdot2=9-8\left(m-1\right)=-8m+17\)
Để phương trình có hai nghiệm thì -8m+17>=0
hay m<=17/8
Ta có: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{m-1}=3\cdot\dfrac{2}{m-1}=\dfrac{6}{m-1}\)(vô lý)
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
\(x^2-x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-10=0\)
\(x^2-x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-10=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-10=0\)
Đặt \(t=x+\dfrac{1}{x}\)
\(\Leftrightarrow t^2-2=x^2+\dfrac{1}{x^2}\)
Thế vào ta dược : \(t^2-t-12=0\)
Tới đây dễ r .
Cho y = (m-3)x2 (P)
a. Tìm m để hàm số trên đồng biến khi x>0
b. Vẽ P khi m\(=-\dfrac{1}{2}\)
a: Để hàm số đồng biến khi x>0 thì m-3>0
hay m>3
b: Khi m=-1/2 thì \(y=\dfrac{-7}{2}x^2\)
Khi x=0 thì y=0
Khi x=1 hoặc x=-1 thì y=-7/2
Khi x=2 hoặc x=-2 thì y=-14
Đến đây bạn chỉ cần vẽ đồ thị là xong.
cho 2 phương trình : \(ax^2+bx+c=0
\) (1) và \(cx^2+bx+a \) (2). trong đó a>=c>0
Giả sử (1) (2) cùng vô nghiệm . CMR: b< a+c
cho b và c là 2 số thỏa mãn hệ thức : \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\)
CMR: Trong 2 phuong trình sau phải có ít nhất 1 phương trình có nghiệm:
\(x^{2}+bx+c=0\) và \(x^{2}+cx+b=0\)
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử với điều kiện đã cho thì cả hai PT vô nghiệm. Tức là:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta_1=b^2-4c<0\\ \Delta_2=c^2-4b< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2< 4c\\ c^2< 4b\end{matrix}\right.\) (1)
Vì \(b^2,c^2>0\) nên từ \((1);(2)\Rightarrow b,c>0\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(b>c\Rightarrow \frac{1}{b}< \frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{b}< \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\\ \frac{2}{c}> \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b>4\\ c<4\end{matrix}\right.(2)\)
Khi đó từ (1) và \((*)\) suy ra \(b^2< 4c< 4.4\Rightarrow b< 4\) (mâu thuẫn với \((*)\) )
Do đó điều giả sử sai. Tức là luôn tồn tại ít nhất một trong hai giá trị \(\Delta\) không âm, tức là ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm (đpcm)
từ hệ thức: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b;c\ne0\\2\left(b+c\right)=bc\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=b^2-4c\\\Delta_2=c^2-4b\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
\(\Delta=\Delta_1+\Delta_2=b^2+c^2-4\left(b+c\right)=b^2+c^2-2bc=\left(b-c\right)^2\ge0\)(3)
Delta >0 => delta1 hoặc delta 2 >=0 => dpcm
giải pt;2X2+6X=3.PHƯƠNG trình bậc nhất 1 ẩn
Giải theo cách lớp 9 thì cũng đơn giản
\(2x^2+6x=3\)
\(\Rightarrow x^2+3x=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+3x+\dfrac{9}{4}=\dfrac{15}{4}\)
\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{15}{4}\)
\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{3}{2}-\sqrt{\dfrac{15}{4}}\right)\left(x+\dfrac{3}{2}+\sqrt{\dfrac{15}{4}}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{\dfrac{15}{4}}-\dfrac{3}{2}\\x=-\sqrt{\dfrac{15}{4}}-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Tìm m, n để 2 phương trình sau tương đương:
x2 + (4m+3n)x - 9 = 0
x2 + (2m + 4n)x + 3n = 0
+Xét pt (1), ac < 0 => pt luôn có 2 nghiệm pb
Để 2 pt tương đương thì trước hết pt (2) cũng có 2 nghiệm pb
<=> 3n < 0 <=> n <0
+ Theo định lý Vi-et:
pt (1) : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m-3n\\x_1x_2=-9\end{matrix}\right.\)
pt (2) : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+4n\\x_1x_2=3n\end{matrix}\right.\)
pt (1) và (2) tương đương => \(\left\{{}\begin{matrix}-4m-3n=2m+4n\\3n=-9\end{matrix}\right.\)
(bạn tự giải tiếp nhé ^^!, tìm n từ phương trình dưới rồi thay vào pt trên tìm m)
x^2 +(4m+3n)x -9 =0 (1)
x^2 +(2m +4n)x +3n =0 (2)
\(\Delta_1=\left(4m+3n\right)^2+36\)> 0 với mọi m;n => (1) luôn có hai nghiệm
có tích hai nghiệm = -9 không phụ thuộc m;n
để tương đương => (2) phải có hai nghiệm giống (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_2'=\left(m+2\right)^2-3n>0\\x_1..x_2=3n=-9=>n=n=-3\end{matrix}\right.\) với n=-3 \(\Delta_2'=\left(m+2\right)^2+9>0\) đúng với m => nhận n =-3
tổng hai nghiệm bằng nhau
<=>\(x_{11}+x_{12}=x_{12}+x_{22}\Leftrightarrow\left(4m-9\right)=\left(2m-8\right)\Leftrightarrow2m=1;m=\dfrac{1}{2}\)
kết luận
\(\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{1}{2}\\n=-3\end{matrix}\right.\)
bài 1 ; giải pt
a,\(\left(2x-3\right)^2=\left(x+1\right)^2\)
b, \(\left(x+2\right)\left(5-3x\right)=x^2+4x+4\)
c,\(x^2-9x+20=0\)
d,\(x^2+8x+16=25\)
a,\(\left(2x-3\right)^2=\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)^2-\left(x+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3+x+1\right)\left(2x-3-x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-2\right)\left(x-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-2=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\x=4\end{matrix}\right.\)
Vậy...
b,\(\left(x+2\right)\left(5-3x\right)=x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(5-3x\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(-4x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\-4x+3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy...
Cho phương trình : \(x^2-2\left(m+1\right)x+3m-5=0\)(1) (m là tham số)
a, Chứng minh rằng phương trình(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
b, Gọi \(x_1,x_2\) là các nghiệm của phương trình (1). Tìm các giá trị cuả tham số m để biểu thức \(A=\dfrac{-4}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
a) tự làm
b) kq câu a) => pt luôn có 2 nghiệm--> áp viets ta có
\(A=\dfrac{-4}{x^2_1+x^2_2-6x_1.x_2}=\dfrac{-4}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}=\dfrac{-4}{4\left(m+1\right)^2-8\left(3m-5\right)}\)\(A=\dfrac{-4}{4\left(m+1\right)^2-8\left(3m-5\right)}=\dfrac{-1}{\left(m^2+2m+1\right)-6m+10}\)\(A=\dfrac{-1}{\left(m-2\right)^2+7}\)
\(\left(m-2\right)^2+7\ge7\Rightarrow\dfrac{1}{\left(m-2\right)^2+7}\le\dfrac{1}{7}\)
\(A\ge\dfrac{-1}{7}\)
giải phương trình :
\(\dfrac{1}{5x^2}+\dfrac{1}{x^2-9x+36}=\dfrac{1}{x^2-4x^2+16}\)
chỉnh đề: \(\dfrac{1}{5x^2}+\dfrac{1}{x^2-9x+36}=\dfrac{1}{x^2-4x+16}\)
\(\dfrac{1}{5x^2}+\dfrac{1}{x^2}.\dfrac{1}{1-\dfrac{9}{x}+\dfrac{36}{x^2}}=\dfrac{1}{x^2}.\dfrac{1}{1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{16}{x^2}}\)nhân hai vế cho x^2 khác 0
đặt [-1/x +4/x^2 ] =t
<=>\(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{1+9t}=\dfrac{1}{1+4t}\)
<=>( 9t+1)(4t+1) +5(4t+1) =5(9t +1)
<=>( 4t+1)[(9t+6) =5(9t +1)
<=> 36t^2 -12t +1 =(6t -1)^2 =0
= > t =1/6
[-1/x +4/x^2 ] =1/6
x^2 +6x-24 =0
9+24 =33
\(\left[{}\begin{matrix}x_1=-3-\sqrt{33}\\x_2=-3+\sqrt{33}\end{matrix}\right.\)