cho pt ẩn \(mx^2-2\left(m-1\right)x+m=0\)(m≠0). gọi \(x_1,x_2\)là nghiệm số của pt trên cmr nếu\(x_1^2+x_2^2=2\) thì pt trên có nghiệm kép
cho pt ẩn \(mx^2-2\left(m-1\right)x+m=0\)(m≠0). gọi \(x_1,x_2\)là nghiệm số của pt trên cmr nếu\(x_1^2+x_2^2=2\) thì pt trên có nghiệm kép
Lời giải:
Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của pt trên thì theo định lý Viete ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m}\\ x_1x_2=\frac{m}{m}=1\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x_1^2+x_2^2=2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=2\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}-2=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}=4\Rightarrow 4(m-1)^2=4m^2(*)\)
Khi đó:
\(\Delta=4(m-1)^2-4m^2=0\) theo $(*)$
Do đó pt đã cho có nghiệm kép.
Cho pt: \(x^4-2\left(m+1\right)x^2+2m+1=0\)
Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt t/mãn \(x_1+x_3=2x_2\)
Lời giải:
Ta có: \(x^4-2(m+1)x^2+2m+1=0\)
\(\Leftrightarrow (x^4-x^2)-(2m+1)x^2+2m+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2(x^2-1)-(2m+1)(x^2-1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-1)(x^2-2m-1)=0\)
Hiển nhiên pt đã có hai nghiệm \(x=\pm 1\)
Để pt có 4 nghiệm phân biệt thì \(x^2-2m-1=0(*)\) phải có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} 2m+1>0\\ 2m+1\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m> -\frac{1}{2}\\ m\neq 0\end{matrix}\right.\)
Khi đó $(*)$ có hai nghiệm \(\left[\begin{matrix} x=\sqrt{2m+1}\\ x=-\sqrt{2m+1}\end{matrix}\right.\)
PT có nghiệm 4 nghiệm khác $0$ là: \(1,-1, \sqrt{2m+1}, -\sqrt{2m+1}\)
Bài toán sẽ đẹp hơn nếu sắp xếp thứ tự của $x_1,x_2,x_3,x_4$. Nhưng vì không sắp xếp nên buộc ta phải xét TH.
Nếu $x_1,x_3$ là hai nghiệm đối nhau thì hoàn toàn vô lý vì \(2x_2\neq 0\)
Do đó: \(\left[\begin{matrix} x_1+x_3=1-\sqrt{2m+1}\\ x_1+x_3=1+\sqrt{2m+1}\\ x_1+x_3=-1+\sqrt{2m+1}\\ x_1+x_3=-1-\sqrt{2m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\bullet x_1+x_3=1+\sqrt{2m+1}>0\) mà \(x_2\in\left\{-1; -\sqrt{2m+1}\right\}<0\) nên loại
\(\bullet x_1+x_3=-1-\sqrt{2m+1}<0\) mà \(x_2\in\left\{1; \sqrt{2m+1}\right\}>0\) nên loại
\(\bullet x_1+x_3=1-\sqrt{2m+1}\)
Nếu \(x_2=\sqrt{2m+1}\Rightarrow 1-\sqrt{2m+1}=2\sqrt{2m+1}\)
\(\Rightarrow m=\frac{-4}{9}\) (thỏa mãn)
Nếu \(x_2=-1\Rightarrow 1-\sqrt{2m+1}=-2\Rightarrow m=4\) (thỏa mãn)
\(\bullet x_1+x_3=\sqrt{2m+1}-1\)
Nếu \(x_2=-\sqrt{2m+1}\Rightarrow \sqrt{2m+1}-1=-2\sqrt{2m+1}\)
\(\Rightarrow m=\frac{-4}{9}\) (t/m)
Nếu \(x_2=1\Rightarrow \sqrt{2m+1}-1=2\Rightarrow m=4\)
Tóm lại \(m=\frac{-4}{9}; m=4\)
Cho pt: \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-2=0\). Tìm m để:
1) Pt có 2 nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
2) Pt có 2 nghiệm t/mãn \(2x_1-x_2=-1\)
Lời giải:
Để pt có hai nghiệm thì: \(\Delta'=(m+1)^2-(m^2-2)>0\)
\(\Leftrightarrow 2m+3>0\Leftrightarrow m> \frac{-3}{2}(*)\)
Áp dụng định lý Viete có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=m^2-2\end{matrix}\right.\)
1)
Để pt có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2<0\\ x_1x_2< 0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(m+1)<0\\ m^2-2< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m< -1\\ -\sqrt{2}< m< \sqrt{2}\end{matrix}\right.\). Kết hợp với $(*)$ suy ra \(-\sqrt{2}< m< -1\)
2)
\(2x_1-x_2=-1\Leftrightarrow 3x_1-(x_1+x_2)=-1\)
\(\Leftrightarrow 3x_1-2(m+1)=-1\Leftrightarrow x_1=\frac{2m+1}{3}\)
\(\Rightarrow x_2=\frac{4m+5}{3}\)
Khi đó: \(m^2-2=x_1x_2=\frac{2m+1}{3}.\frac{4m+5}{3}\)
Giải pt ta dễ dàng suy ra \(m=7\pm 6\sqrt{2}\)
Kết hợp với $(*)$ thì \(m=7\pm 6\sqrt{2}\)
cho b và c là 2 số thỏa mãn hệ thức : \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\)
CMR: Trong 2 phuong trình sau phải có ít nhất 1 phương trình có nghiệm:
\(x^{2}+bx+c=0\) và \(x^{2}+cx+b=0\)
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử với điều kiện đã cho thì cả hai PT vô nghiệm. Tức là:
\(\left\{\begin{matrix} \Delta_1=b^2-4c<0\\ \Delta_2=c^2-4b< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2< 4c\\ c^2< 4b\end{matrix}\right.\) (1)
Vì \(b^2,c^2>0\) nên từ \((1);(2)\Rightarrow b,c>0\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(b>c\Rightarrow \frac{1}{b}< \frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{b}< \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\\ \frac{2}{c}> \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b>4\\ c<4\end{matrix}\right.(2)\)
Khi đó từ (1) và \((*)\) suy ra \(b^2< 4c< 4.4\Rightarrow b< 4\) (mâu thuẫn với \((*)\) )
Do đó điều giả sử sai. Tức là luôn tồn tại ít nhất một trong hai giá trị \(\Delta\) không âm, tức là ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm (đpcm)
từ hệ thức: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b;c\ne0\\2\left(b+c\right)=bc\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=b^2-4c\\\Delta_2=c^2-4b\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
\(\Delta=\Delta_1+\Delta_2=b^2+c^2-4\left(b+c\right)=b^2+c^2-2bc=\left(b-c\right)^2\ge0\)(3)
Delta >0 => delta1 hoặc delta 2 >=0 => dpcm