Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

Lời giải:

Trước tiên để pt có thể có 2 nghiệm thì \(2m-1\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{1}{2}\)

Với \(m\neq \frac{1}{2}\). PT có 2 nghiệm khi:

\(\Delta'=m^2-(2m-1)=(m-1)^2>0\Leftrightarrow m\neq 1\)

Áp dụng định lý Viete có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2m}{2m-1}\\ x_1x_2=\frac{1}{2m-1}\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(|x_1^2-x_2^2|=1\)

\(\Rightarrow |x_1^2-x_2^2|^2=1\)

\(\Leftrightarrow (x_1-x_2)^2(x_1+x_2)^2=1\)

\(\Leftrightarrow [(x_1+x_2)^2-4x_1x_2](x_1+x_2)^2=1\)

\(\Leftrightarrow [\frac{4m^2}{(2m-1)^2}-\frac{4}{2m-1}].\frac{4m^2}{(2m-1)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow 16(m-1)^2m^2=(2m-1)^4\)

\(\Leftrightarrow [4(m^2-m)-(2m-1)^2][4(m^2-m)+(2m-1)^2]=0\)

\(\Rightarrow 8m^2-8m+1=0\)

\(\Rightarrow m=\frac{2\pm \sqrt{2}}{4}\) (t/m)

\(\sqrt{2x^2+16x+18}+\sqrt{x^2-1}=2x+4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+16x+18}-\left(2x+4\right)+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2+16x+18-\left(4x^2+16x+16\right)}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2+16x+18-4x^2-16x-16}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2+2}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2\left(x^2-1\right)}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}\left(1-\dfrac{2\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}\right)=0\)

Tới đây đơn giản rồi

Sai đề k bạn ??

🔺 ´=(m-1)²+3+m =m²-2m+1+3+m =(m-¼)²+3.75>0 vs mọi m

vậy pt có 2 nghiệm phân biệt vs mọi m

b) để pt có 2 nghiệm trái dấu thì x₁x₂<0 hay c/a<0 ↔ -3-m<0↔ m>-3

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=\dfrac{m^2+1}{8}\end{matrix}\right.\)

\(x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3\\ \Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]\\ \Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(1-2x_1x_2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(1-x_1x_2\right)=0\\ \Leftrightarrow-\left(x_1-x_2\right)x_1x_2=0\Rightarrow x_1=x_2=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{m^2+1}{8}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m^2+1=2\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=\pm1\)

hun

Lời giải:

Ta thấy:

\(\Delta'=(-m)^2-(2m-3)=(m-1)^2+2>0, \forall m\in\mathbb{R}\)

Do đó pt luôn có hai nghiệm pb với mọi $m$

Áp dụng định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(A=x_1^2(1-x_2^2)+x_2^2(1-x_1^2)\)

\(=(x_1^2+x_2^2)-2(x_1x_2)^2\)

\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1x_2)^2\)

\(=4m^2-2(2m-3)-2(2m-3)^2\)

\(=-4m^2+20m-12=-(2m-5)^2+13\)

Vì \((2m-5)^2\geq 0\Rightarrow A\leq 0+13=13\)

Vậy $A$ đạt max bằng $13$ khi \((2m-5)^2=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{2}\)

Δ= 4m^2 - 4m^2 + 4m + 24 = 4m + 24

để pt có 2 nghiệm thì Δ ≥ 0 => 4m + 24 ≥ 0 <=> m ≥ -6

viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m\\x1\cdot x2=m^2-m+6\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x1+x2\right)^2=4m^2\\2x1\cdot x2=2m^2-2m+12\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x1^2+x2^2=4m^2-2x1\cdot x2\\2x1\cdot x2=2m^2-2m+12\end{matrix}\right.\)

|x1| + |x2| = 8

<=> (|x1| + |x2|)^2 = 64

<=> x1^2 + x2^2 + 2|x1|*|x2| = 64

<=> 4m^2 - 2m^2+2m-12 + 2m^2-2m+12 = 64

<=> 4m^2 = 64

<=> m = -4; m = 4

Nhầm một xíu, không cần mọi người giải nữa đâu nhé

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x^2+y^2=13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\\left(x+y\right)^2-2xy=13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\1-2xy=13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-y\\\left(1-y\right)y=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-y\left(1\right)\\y-y^2+6=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải phương trình (2) ta được y = 3 và y = -2.

Thay vào (1) ta được lần lượt x = -2 và x = 3

\(pt\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+\left(1-x\right)^2-13=0\)

\(\Rightarrow x^2+1-2x+x^2-13=0\)

\(\Rightarrow2x^2-2x-12=0\)

\(\Rightarrow x^2-x-6=0\)

\(\Delta=1^2-4.1.\left(-6\right)=1+24=25>0\)

\(\Delta>0\) thì pt có 2 nghiệm phân biệt: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1-5}{2}=-2\\x_2=\dfrac{1+5}{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=3\\y_2=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)\rightarrow\left(3;-2\right);\left(-2;3\right)\)

điểm cố định

D(0;2)

OD có pt là truc tung

=> m-1 =0 => m=1

y=2

m =1 là giá trị cần tìm

Lời giải:

Để pt có hai nghiệm: \(\Delta=(2m-1)^2-4(m^2+m)>0\)

\(\Leftrightarrow 1-8m>0\Leftrightarrow m< \frac{1}{8}(1)\)

Áp dụng định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m-1\\ x_1x_2=m^2+m\end{matrix}\right.\)

Để \(-2< x_1< x_2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1+2)(x_2+2)>0\\ x_1+x_2>-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1x_2+2(x_1+x_2)+4>0\\ x_1+x_2>-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2+5m+2>0\\ 2m-1>-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\) (2)

Để \(x_1< x_2< 4\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x_1-4)(x_2-4)> 0\\ x_1+x_2< 8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1x_2-4(x_1+x_2)+16>0\\ x_1+x_2< 8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-7m+20>0\\ 2m-1< 8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \frac{9}{2}\) (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra \(\frac{-5+\sqrt{17}}{2}< m< \frac{1}{8}\Rightarrow m=0\)

Do đó \(S=0\)