Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

\(A=\dfrac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\dfrac{b}{4a}+b^2\)

\(\ge2a+\dfrac{1-a}{4a}+b^2=2a+\dfrac{1}{4a}-\dfrac{1}{4}+b^2\)

\(\ge a+\dfrac{1}{4a}-b+b^2+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{4a}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{4a}\right)+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\)

\(\ge1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của : P=$\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+1\right)-2x\sqrt{x^2+1}-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)-2x\sqrt{x^2+1}+x^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)^2-2^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}-x-2\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x+2=0\right)\)

TH1: \(\sqrt{x^2+1}-x-2=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2\ge0\\x^2+1=\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\4x=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=-\dfrac{3}{4}\)

TH2: \(\sqrt{x^2+1}-x+2=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\x^2+1=\left(x-2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\-4x=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}< 2\) (loại)

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=-\dfrac{3}{4}\)

?

Từ đề bài ta có:

\(2\sqrt{xy}\le x+y=1\)

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)

Ta có:

\(P=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)=\dfrac{1-x^2-y^2+x^2y^2}{x^2y^2}\)

\(=1+\dfrac{-\left(x+y\right)^2+2xy+1}{x^2y^2}\)

\(=1+\dfrac{2}{xy}\ge1+8=9\)

Vậy GTNN là A = 9 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{2x^2+16x+18}+\sqrt{x^2-1}=2x+4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+16x+18}-\left(2x+4\right)+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2+16x+18-\left(4x^2+16x+16\right)}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2+16x+18-4x^2-16x-16}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2+2}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2\left(x^2-1\right)}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}+\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-1}\left(1-\dfrac{2\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{2x^2+16x+18}+\left(2x+4\right)}\right)=0\)

Tới đây đơn giản rồi

Sai đề k bạn ??

* Để phương trình có 1 nghiệm x₁=2 thì \(2^2-4\left(m+3\right)+2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(-9-2m=0\) \(\Leftrightarrow\) \(m=\dfrac{-9}{2}\)

* Xét \(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(2m-1\right)=m^2+6m+9-2m+1\)

\(=m^2+4m+10>0\forall m\)

\(\Rightarrow\) P. trình luôn có 2 nghiệm \(\forall m\)

Khi đó áp dụng Vi-ét ta có \(x_1+x_2=2m+6=2.\dfrac{-9}{2}+6=-3\)

Mà x₁=2 => x₂=-5