Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

* Để phương trình có 1 nghiệm x₁=2 thì \(2^2-4\left(m+3\right)+2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow\) \(-9-2m=0\) \(\Leftrightarrow\) \(m=\dfrac{-9}{2}\)

* Xét \(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(2m-1\right)=m^2+6m+9-2m+1\)

\(=m^2+4m+10>0\forall m\)

\(\Rightarrow\) P. trình luôn có 2 nghiệm \(\forall m\)

Khi đó áp dụng Vi-ét ta có \(x_1+x_2=2m+6=2.\dfrac{-9}{2}+6=-3\)

Mà x₁=2 => x₂=-5

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử với điều kiện đã cho thì cả hai PT vô nghiệm. Tức là:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta_1=b^2-4c<0\\ \Delta_2=c^2-4b< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^2< 4c\\ c^2< 4b\end{matrix}\right.\) (1)

Vì \(b^2,c^2>0\) nên từ \((1);(2)\Rightarrow b,c>0\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(b>c\Rightarrow \frac{1}{b}< \frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{b}< \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\\ \frac{2}{c}> \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b>4\\ c<4\end{matrix}\right.(2)\)

Khi đó từ (1) và \((*)\) suy ra \(b^2< 4c< 4.4\Rightarrow b< 4\) (mâu thuẫn với \((*)\) )

Do đó điều giả sử sai. Tức là luôn tồn tại ít nhất một trong hai giá trị \(\Delta\) không âm, tức là ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm (đpcm)

từ hệ thức: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b;c\ne0\\2\left(b+c\right)=bc\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1=b^2-4c\\\Delta_2=c^2-4b\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)

\(\Delta=\Delta_1+\Delta_2=b^2+c^2-4\left(b+c\right)=b^2+c^2-2bc=\left(b-c\right)^2\ge0\)(3)

Delta >0 => delta1 hoặc delta 2 >=0 => dpcm

a) 5x² + 2x = 4 – x ⇔ 5x² + 3x – 4 = 0; a = 5, b = 3, c = -4

b) x² + 2x – 7 = 3x + ⇔ x² – x - = 0, a = , b = -1, c = -

c) 2x² + x - √3 = √3 . x + 1 ⇔ 2x² + (1 - √3)x – 1 - √3 = 0

Với a = 2, b = 1 - √3, c = -1 - √3

^d) 2x² + m² = 2(m – 1)x ⇔ 2x² - 2(m – 1)x + m² = 0; a = 2, b = - 2(m – 1), c = m²

1) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}\ge0\\x-9\ne0\\\sqrt{x}-3\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne9\end{matrix}\right.\)\(A=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{x-9}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}\right):\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-3}{3}=\dfrac{3\sqrt{x}+3}{3\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{3\left(\sqrt{x}+1\right)}{3\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+3\right)}\)2) Để A=\(\dfrac{5}{6}\) thì \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{5}{6}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)6=\left(\sqrt{x}+3\right)5\Leftrightarrow6\sqrt{x}+6=5\sqrt{x}+15\Leftrightarrow\sqrt{x}=9\Leftrightarrow x=81\)

1. Ta có:

\(A=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{x-9}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}\right):\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)}{3\left(x-9\right)}+\dfrac{1}{3}\)

\(=\dfrac{2x-6\sqrt{x}}{3\left(x-9\right)}+\dfrac{x-9}{3\left(x-9\right)}\)

\(=\dfrac{3x-6\sqrt{x}-9}{3x-27}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}-3}{x-9}\)

<=>x²-25=y²+6y

<=>y²+6y-(x²-25)=0(1) . để phương trình có nghiệm nguyên thì đen ta phải là số chính phương .

đen ta phẩy = 9+x²-25 =x²-16 = n² ( n\(\in\)z )

<=>x²-n²=16<=>(x-n)(x+n)= 16 (*).Do (x-n) + (x+n) = 2x là số chẵn nên (x+n) và(x-n) phải cùn tính chẵn lẽ .từ (*) ta suy ra :(x+n) và (x-n) phải cùng tính chẵn .Mà x-n nhỏ hơn hoặc bằng x+n nên :

\(\left\{{}\begin{matrix}x-n=2\\x+n=8\end{matrix}\right.;\left\{{}\begin{matrix}x-n=4\\x+n=4\end{matrix}\right.\)

+ Nếu \(\left\{{}\begin{matrix}x-n=2\\x+n=8\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}n=3\\x=5\end{matrix}\right.\)thay x=5 vào phương trình (1) ta đc: y²+ 6y =0 => y=o hoặc y=-6 .

+Nếu cái thứ 2 tương tự . mk ngại vt dài quá .

\(x^3-2mx^2-x^2+3mx+12x-m-12=0\)

\(\left(x-1\right)\left(2x+1\right)m+x^2\left(x-1\right)+12\left(x-1\right)=0\)

\(\left(x-1\right)\left[x^2+\left(2x+1\right)m+12\right]=0\)

\(=>\left\{{}\begin{matrix}1+\left(2.1+1\right)m+12\ne0\Rightarrow m\ne\dfrac{13}{3}\\\Delta_{\left(x\right)}=m^2-m-12>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\m>4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}m< -3\\\left\{{}\begin{matrix}m>4\\m\ne\dfrac{13}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

x² - mx + m +1 =0

xét pt trên áp dụng hệ thức vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

Theo đè ta có x_1²+x_1²=6

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

\(\Leftrightarrow m^2-2\left(m+1\right)=6\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-4\right)\left(m+2\right)=0\)

\(\left[{}\begin{matrix}m-4=0\\m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)

vậy pt thỏa mảng x₁²+x₂²=6

\(x^2-mx+m+1=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:
\(x_1^2+x_2^2=6\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

\(\Leftrightarrow m^2-2\left(m+1\right)=6\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-4\right)\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-4=0\\m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy để phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=6\) thì m=4 hoặc m=-2

\(A=\dfrac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\dfrac{b}{4a}+b^2\)

\(\ge2a+\dfrac{1-a}{4a}+b^2=2a+\dfrac{1}{4a}-\dfrac{1}{4}+b^2\)

\(\ge a+\dfrac{1}{4a}-b+b^2+\dfrac{3}{4}\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{4a}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{4a}\right)+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\)

\(\ge1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của : P=$\frac{8a^{2}+b}{4a}+b^{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+1\right)-2x\sqrt{x^2+1}-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)-2x\sqrt{x^2+1}+x^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)^2-2^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+1}-x-2\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x+2=0\right)\)

TH1: \(\sqrt{x^2+1}-x-2=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2\ge0\\x^2+1=\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\4x=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=-\dfrac{3}{4}\)

TH2: \(\sqrt{x^2+1}-x+2=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\x^2+1=\left(x-2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\-4x=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\dfrac{3}{4}< 2\) (loại)

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=-\dfrac{3}{4}\)