Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+4>0\) phương trình luôn có 2 nghiệm pb

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=5\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2\left|x_1x_2\right|=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left|x_1x_2\right|=25\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)^2+8+8=25\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=\frac{9}{4}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m-1=\frac{3}{2}\\m-1=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{5}{2}\\m=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vì phương trình (1) có 1 nghiệm bằng 3 nên thay x=3 vào phương trình (1) ta có:

\(-2.3^2-\left(2m+3\right)x+4m-2=0\)

⇔ -18-3(2m+3)+4m-2=0

⇔ -18-6m-9+4m=2

⇔ -2m=29

⇔ m = \(\frac{-29}{2}\)

Vậy m=\(\frac{-29}{2}\)

Thay m=\(\frac{-29}{2}\)vào phương trình (1) ta có:

-2x²+26x+(-58)-2=0

⇔ -2x²+26x-60=0

⇔ -x²+13x-30=0

Ta có: Δ=13²-4.(-1).(-30)=49

=> \(\sqrt{\Delta}=7\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x₁=3

x₂=10 (Nhận)

Vậy nghiệm còn lại là 10.

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4.1.\left(m-1\right)=13-4m\) Pt có 2 nghiệm

\(\Delta>0\Rightarrow13-4m>0\Leftrightarrow m< \frac{13}{4}\)

Theo hệ thức vi-ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

x1 và x2 là độ dài 2 cạnh hình chữ nhật có diện tích là 2 \(\Rightarrow x_1x_2=2\)

\(\Leftrightarrow m-1=2\)

\(\Leftrightarrow m=3\left(TM\right)\)

sai đề rồi có diện tích là 2 đơn vị mới đúng

\(\Delta`=2m-2\)

Để hương trình có 2 nghiệm cùng âm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta`\ge0\\P>0\\S< o\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-2\ge0\\2m+2>0\\m^2+3< 0\end{matrix}\right.\) \(\left\{{}\begin{matrix}m\ge1\\m>-1\\vlí\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\)

Hoàng Tử Hà, Y, Trần Trung Nguyên, Nguyễn Thị Diễm Quỳnh, tran nguyen bao quan, Lightning Farron, Nguyễn Huy Thắng, Hoàng Đình Bảo, Dương Bá Gia Bảo, Vy Lan Lê, Luân Đào, Phạm Hoàng Hải Anh, Võ Thị Tuyết Kha, Nguyễn Phương Trâm, nà ní, ...

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

Đặt \(\sqrt{2x}=a\ge0\Rightarrow2x=a^2\) pt trở thành:

\(a^2+2+2a=2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-2< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x}=0\Rightarrow2x=0\Rightarrow x=0\)

Mk viet nham!

\(\sqrt{2m}\) là \(\sqrt{2x}\) nha!

Minh tinh ra x = 0, co dung khong?

Vì E là điểm nằm trên parabol y=\(\frac{-1}{2}x^2\) có hoành độ x = 2 nên:

y = \(\frac{-1}{2}.2^2\) = -2

\(\Rightarrow E\left(2;-2\right)\)

ĐK: a \(\ne\)1

Vì đồ thị hàm số bậc nhất y = (a-1)x + \(a^2\)-3 đi qua điểm E(2;-2) nên: -2 = (a-1).2 + \(a^2\) -3

\(\Leftrightarrow\) \(a^2\) +2a - 3 = 0

\(\Leftrightarrow\) (a-1)(a+3) = 0

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\a+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\left(loại\right)\\a=-3\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy a= -3

Ta có Δ = b² - 4ac = [-(m + 5)] - 4(-m + 6) = m² + 10m + 25 + 4m - 24

= m² + 14m + 1 = m² + 2*m*7 + 49 - 48 = (m+7)² - 48

Để pt trên có hai nghiệm x₁; x₂ thì Δ ≥ 0

⇔ (m+7)² - 48 ≥ 0

⇔ (m+7)² ≥ 48

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}m+7\ge\sqrt{48}=4\sqrt{3}\\m+7\le-\sqrt{48}=-4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}m\ge4\sqrt{3}-7\\m\le-4\sqrt{3}-7\end{matrix}\right.\)

bài này khá đơn giản nên mình hướng dẫn thoi nhé, thông cảm:

Thì ở cái dạng bài này thì bạn cũng lậpΔ vàΔ' như thường nhưng trước tiên nhớ xác định hệ số a,b,c cho dễ làm nhé

tiếp theo thì chỉ cần bạn biển đổi làm sao cho Δ hay Δ' ≥0 ( có nghiệm thì lớn hơn hoặc bằng 0 còn có nghiệm phân biệt thì đenta phải lớn hơn 0 )

ta cho đenta ≥0 rồi giải tìm m cái này dễ khỏi bàn

🔺 ´=(m-1)²+3+m =m²-2m+1+3+m =(m-¼)²+3.75>0 vs mọi m

vậy pt có 2 nghiệm phân biệt vs mọi m

b) để pt có 2 nghiệm trái dấu thì x₁x₂<0 hay c/a<0 ↔ -3-m<0↔ m>-3

Lời giải:

Để pt có hai nghiệm thì \(\Delta= m^2-4(m+3)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m-12>0\)

\(\Leftrightarrow (m+2)(m-6)>0\)

\(\Leftrightarrow m< -2\) hoặc \(m> 6\) (1)

Mặt khác, theo hệ thức Viete, nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình thì:

\(x_1x_2=m+3\). Để hai nghiệm trái dấu \(\Rightarrow x_1x_2=m+3< 0\Leftrightarrow m< -3\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(m< -3\)

\(\Delta=p^2-4q\ge0\)

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=p\\ab=q\end{matrix}\right.\)

Do \(a^3\) và \(b^3\) cũng là nghiệm nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3=p\\a^3b^3=q\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]=p\\\left(ab\right)^3=q\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p\left(p^2-3q\right)=p\\q^3=q\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}p\left(p^2-3q-1\right)=0\\q\left(q^2-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}p=0\\q\left(q-1\right)\left(q+1\right)=0\\p^2-4q\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(p;q\right)=\left(0;0\right);\left(0;-1\right)\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}p^2-3q-1=0\\q\left(q-1\right)\left(q+1\right)=0\\p^2-4q\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}q\left(q-1\right)\left(q+1\right)=0\\p^2=3q+1\\p^2\ge4q\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(p;q\right)=\left(1;0\right);\left(-1;0\right);\left(2;1\right);\left(-2;1\right)\)

Kết hợp điều kiện \(p;q\) là các số thực dương \(\Rightarrow\left(p;q\right)=\left(2;1\right)\)

Có đúng 1 cặp số thỏa mãn

Câu 3:

ĐKXĐ: \(x\ge-5\)

\(x^2+\sqrt{x+5}=5\)

Đặt \(\sqrt{x+5}=a\ge0\Rightarrow x+5=a^2\Rightarrow5=a^2-x\)

Phương trình trở thành:

\(x^2+a=a^2-x\)

\(\Leftrightarrow x^2-a^2+a+x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)+a+x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+a\right)\left(x-a+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-x\\a=x+1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+5}=-x\left(x\le0\right)\\\sqrt{x+5}=x+1\left(x\ge-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x-5=0\\x^2+x-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}\\x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

1/ \(2\left(x^2-x+1\right)^2+x^3+1=\left(x+1\right)^2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-x+1=a\\x+1=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a^2+ab-b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\2a=b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-x+1=-x-1\\2x^2-2x+2=x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+2=0\left(vn\right)\\2x^2-3x+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

2/

ĐKXĐ: \(x>-1\)

Đặt \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=a>0\)

\(\Rightarrow a^2=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}\)

Phương trình trở thành:

\(a=a^2-20\Leftrightarrow a^2-a-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=5\\a=-4< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}-3+\sqrt{x+1}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-3\right)}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\)