Phương trình bậc hai một ẩn - Hỏi đáp

Lời giải:

a) Để PT có một nghiệm thì có 2TH sau:

TH1: \(m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

PT trở thành \(6x=0\Leftrightarrow x=0\) (thỏa mãn)

TH2: \(m+1\neq 0\). Khi đó để pt co 1 nghiệm thì\((m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0\) phải có nghiệm kép.

Điều kiện: \(\Delta '=(m+4)^2-(m+1)^2=0\)

\(\Leftrightarrow 3(2m+5)=0\Leftrightarrow m=\frac{-5}{2}\)

Vậy để pt có 1 nghiệm duy nhất thì \(m\in\left\{-1;\frac{-5}{2}\right\}\)

b) Để pt có hai nghiệm thì trước tiên \(m+1\neq 0\Leftrightarrow m\neq -1\)

Điều kiện để pt bậc 2 có hai nghiệm:

\(\Delta'=(m+4)^2-(m+1)^2>0\)

\(\Leftrightarrow 3(2m+5)>0\Leftrightarrow m>\frac{-5}{2}\)

Vậy điều kiện là \(m\neq -1; m> \frac{-5}{2}\)

c) Tương tự như phần b, trước tiên để pt có hai nghiệm thì \(m\neq -1; m> \frac{-5}{2}\)

Khi đó áp dụng hệ thức Viete, để pt có hai nghiệm âm thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-2(m+4)}{m+1}< 0\\ x_1x_2=1>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{2(m+4)}{m+1}>0\) (1)

Nếu \(m+4< 0\Rightarrow m< -4< -\frac{5}{2}\) (vô lý) . Do đó \(m+4>0\) (2)

Từ (1);(2) suy ra \(m+1>0\Leftrightarrow m> -1\)

Tổng hợp lại, suy ra điều kiện để pt có hai nghiệm âm là \(m> -1\)

Lời giải:

Ta có: \(x^4-2(m+1)x^2+2m+1=0\)

\(\Leftrightarrow (x^4-x^2)-(2m+1)x^2+2m+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x^2-1)-(2m+1)(x^2-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-1)(x^2-2m-1)=0\)

Hiển nhiên pt đã có hai nghiệm \(x=\pm 1\)

Để pt có 4 nghiệm phân biệt thì \(x^2-2m-1=0(*)\) phải có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$

Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} 2m+1>0\\ 2m+1\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m> -\frac{1}{2}\\ m\neq 0\end{matrix}\right.\)

Khi đó $(*)$ có hai nghiệm \(\left[\begin{matrix} x=\sqrt{2m+1}\\ x=-\sqrt{2m+1}\end{matrix}\right.\)

PT có nghiệm 4 nghiệm khác $0$ là: \(1,-1, \sqrt{2m+1}, -\sqrt{2m+1}\)

Bài toán sẽ đẹp hơn nếu sắp xếp thứ tự của $x_1,x_2,x_3,x_4$. Nhưng vì không sắp xếp nên buộc ta phải xét TH.

Nếu $x_1,x_3$ là hai nghiệm đối nhau thì hoàn toàn vô lý vì \(2x_2\neq 0\)

Do đó: \(\left[\begin{matrix} x_1+x_3=1-\sqrt{2m+1}\\ x_1+x_3=1+\sqrt{2m+1}\\ x_1+x_3=-1+\sqrt{2m+1}\\ x_1+x_3=-1-\sqrt{2m-1}\end{matrix}\right.\)

\(\bullet x_1+x_3=1+\sqrt{2m+1}>0\) mà \(x_2\in\left\{-1; -\sqrt{2m+1}\right\}<0\) nên loại

\(\bullet x_1+x_3=-1-\sqrt{2m+1}<0\) mà \(x_2\in\left\{1; \sqrt{2m+1}\right\}>0\) nên loại

\(\bullet x_1+x_3=1-\sqrt{2m+1}\)

Nếu \(x_2=\sqrt{2m+1}\Rightarrow 1-\sqrt{2m+1}=2\sqrt{2m+1}\)

\(\Rightarrow m=\frac{-4}{9}\) (thỏa mãn)

Nếu \(x_2=-1\Rightarrow 1-\sqrt{2m+1}=-2\Rightarrow m=4\) (thỏa mãn)

\(\bullet x_1+x_3=\sqrt{2m+1}-1\)

Nếu \(x_2=-\sqrt{2m+1}\Rightarrow \sqrt{2m+1}-1=-2\sqrt{2m+1}\)

\(\Rightarrow m=\frac{-4}{9}\) (t/m)

Nếu \(x_2=1\Rightarrow \sqrt{2m+1}-1=2\Rightarrow m=4\)

Tóm lại \(m=\frac{-4}{9}; m=4\)

Gọi pt có dạng \(ax^2+bx+c=0\) với a;b;c nguyên (\(a\ne0\))

Do \(2+\sqrt{3}\) là 1 nghiệm của pt nên:

\(a\left(2+\sqrt{3}\right)^2+b\left(2+\sqrt{3}\right)+c=0\)

\(\Leftrightarrow7a+4\sqrt{3}a+2b+\sqrt{3}b+c=0\)

\(\Leftrightarrow7a+2b+c=-\sqrt{3}\left(4a+b\right)\)

Vế trái hữu tỉ vế phải vô tỉ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}7a+2b+c=0\\4a+b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-c=0\\b=-4a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=a\\b=-4a\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt ban đầu: \(ax^2-4ax+a=0\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\)

THeo viet ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=4m-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=6\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-2\left(4m-3\right)=6\Leftrightarrow4m^2-8m=0\)

\(\Leftrightarrow4m\left(m-8\right)=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m=0\\m-8=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\m=8\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm pb khác 0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=1-\left(m-5\right)>0\\m-5\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 6\\m\ne5\end{matrix}\right.\)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)

\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{10}{9}\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{10}{9}\)

\(\Leftrightarrow9\left(x_1^2+x_2^2\right)=10\left(x_1x_2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow9\left(x_1+x_2\right)^2-18x_1x_2=10\left(x_1x_2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow36-18\left(m-5\right)=10\left(m-5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5\left(m-5\right)^2+9\left(m-5\right)-18=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m-5=-3\\m-5=\frac{6}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=\frac{31}{5}>6\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Em thử nhá, sai thì em chịu.

\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=8\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=8x_1^2x_2^2\) (với x1; x2 khác 0)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8x_1^2x_2^2\) (1)

Theo hệ thức Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-\left(m-1\right)}{2}\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{m}{4}\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1) suy ra: \(\frac{\left(m-1\right)^2}{4}+\frac{m}{2}=\frac{m^2}{2}\Leftrightarrow\frac{m^2-2m+1}{4}+\frac{2m}{4}-\frac{2m^2}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow-m^2+1=0\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=\pm1\)