Giải phương trình: \(x^y=y^x\).
Giải phương trình: \(x^y=y^x\).
\(x^y=y^x\)
\(\Rightarrow xy=yx\)
\(\Rightarrow xy:xy=xy:xy\)
\(\Rightarrow1=1\) (luôn đúng)
Nên phương trình luôn đúng với mọi \(x=y\)
⇒ \(x,y\in R\)
Anh ơi có thêm điều kiện gì không vậy ạ . Chẳng hạn như là : x;y thuộc \(Z^+\);........
Ô vậy nhưng mà nếu không có điều kiện gì thì lắm nghiệm lắm anh . Đầu tiên là chỉ cần x bằng y là đã có bao nhiêu nghiệm rồi ạ .
Đặt nhân tử :
a) 10x2 -29x+10
b) x2-4xy+3y2
c) 8-x3
d) 2x2 -11x+12
e) -2x2 +5x-3
f) x2-9x+20
h) 2a2-7a+3
i) a2-a-6
k) x2+x-12
m) 3(x+1)2-4x2-4x
n) 3x(1-2x) -10x+5
o) x2 +xy-xz-yz
a) \(10x^2-29x+10\)
\(=10x^2-4x-25x+10\)
\(=2x\left(5x-2\right)-5\left(5x-2\right)\)
\(=\left(5x-2\right)\left(2x-5\right)\)
\(\text{a) }10x^2-29x+10\\ =10x^2-25-4x+10\\ =5x\left(2x-5\right)-2\left(2x-5\right)\\ =\left(5x-2\right)\left(2x-5\right)\)
\(\text{b) }x^2-4xy+3y^2\\ =x^2-3xy-xy+3y^2\\ =x\left(x-3y\right)-y\left(x-3y\right)\\ =\left(x-y\right)\left(x-3y\right)\)
\(\text{c) }8-x^3=\left(2-x\right)\left(4+2x+x^2\right)\)
\(\text{d) }2x^2-11x+12\\ =2x^2-8x-3x+12\\ =2x\left(x-4\right)-3\left(x-4\right)\\ =\left(2x-3\right)\left(x-4\right)\)
\(\text{e) }-2x^2+5x-3\\ =-2x^2+2x+3x-3\\ =\left(2x-2x^2\right)-\left(3-3x\right)\\ =2x\left(1-x\right)-3\left(1-x\right)\\ =\left(2x-3\right)\left(1-x\right)\)
\(\text{f) }x^2-9x+20\\ =x^2-4x-5x+20\\ =x\left(x-4\right)-5\left(x-4\right)\\ =\left(x-5\right)\left(x-4\right)\)
\(\text{h) }2a^2-7a+3\\ =2a^2-a-6a+3\\ =a\left(2a-1\right)-3\left(2a-1\right)\\ =\left(a-3\right)\left(2a-1\right)\)
\(\text{i) }a^2-a-6\\ =a^2-3a+2a-6\\ =a\left(a-3\right)+2\left(a-3\right)\\ =\left(a+2\right)\left(a-3\right)\)\(\text{k) }x^2+x-12\\ =x^2+4x-3x-12\\ =x\left(x+4\right)-3\left(x+4\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x+4\right)\)\(\text{ m) }3\left(x+1\right)^2-4x^2-4x\\ =3\left(x+1\right)^2-\left(4x^2+4x\right)\\ =3\left(x+1\right)^2-4x\left(x+1\right)\\ =\left(3x+3-4x\right)\left(x+1\right)\\ =\left(3-x\right)\left(x+1\right)\) \(\text{n) }3x\left(1-2x\right)-10x+5\\ =3x\left(1-2x\right)+\left(5-10x\right)\\ =3x\left(1-2x\right)+5\left(1-2x\right)\\ =\left(3x+5\right)\left(1-2x\right)\)
\(\text{o) }x^2+xy-xz-yz\\ =x\left(x+y\right)-z\left(x+y\right)\\ =\left(x-z\right)\left(x+y\right)\)
Chứng minh rằng nếu \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}\\\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\\\dfrac{x}{a}=\dfrac{z}{c}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\bz=cy\\az=cx\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\bz-cy=0\\az-cx=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left(ax-by\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2x^2-2axby+b^2y^2\right)+\left(b^2z^2-2bzcy+c^2y^2\right)+\left(a^2z^2-2azcx+c^2x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2-\left(a^2x^2+b^2b^2+c^2y^2+2axby+2azcx+2bzcy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+y^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+z^2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+ab+cz\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\) ( theo bđt Bu-nhi-a Cop-xki )
Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\)
Vậy nếu \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
Áp dụng Bunyakovsky:
\(\left(ax+by+cz\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Dấu "=" khi: \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) hay \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\) thì thỏa mãn đẳng thức
p/s: Tham khảo,vì t biết lớp 8 chưa học Bunyakovsky,đúng ko Phùng Khánh Linh
Cho \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a^{2n+1}}+\dfrac{1}{b^{2n+1}}+\dfrac{1}{c^{2n+1}}=\dfrac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)^{2n+1}}\)
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}=\frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}\)
\(\Leftrightarrow (a+b)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)}=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b).\frac{(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0\)
Ta sẽ cm \(\frac{1}{a^{2n+1}}+\frac{1}{b^{2n+1}}+\frac{1}{c^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}(*)\)
Thật vậy: \((*)\Leftrightarrow \frac{a^{2n+1}+b^{2n+1}}{(ab)^{2n+1}}=\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}-\frac{1}{c^{2n+1}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^{2n+1}+b^{2n+1}}{(ab)^{2n+1}}=\frac{-(a^{2n+1}+b^{2n+1})}{c^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})}\)
\(\Leftrightarrow (a^{2n+1}+b^{2n+1})\left(\frac{1}{(ab)^{2n+1)}}+\frac{1}{c^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (a^{2n+1}+b^{2n+1}).\frac{c^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})+(ab)^{2n+1}}{(abc)^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a^{2n+1}+b^{2n+1})(c^{2n+1}+b^{2n+1})(c^{2n+1}+a^{2n+1})}{abc^{2n+1}(a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1})}=0\)
Thấy rằng
\((a^{2n+1}+b^{2n+1})(b^{2n+1}+c^{2n+1})(c^{2n+1}+a^{2n+1})=(a+b).X.(b+c).Y.(c+a).Z\)
\(=0\) (do \((a+b)(b+c)(c+a)=0\) )
Do đó đẳng thức $(*)$ cần chứng minh đúng.
-------------------
Ta tiếp tục chứng minh \(\frac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\frac{1}{(a+b+c)^{2n+1}}(**)\)
\(\Leftrightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1}\)
Thật vậy:
\((a+b)(b+c)(c+a)=0\)\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a+b=0\\ b+c=0\\ c+a=0\end{matrix}\right.\)
Không mất tổng quát giả sử \(a+b=0\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(-b)^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=c^{2n+1}\\ (a+b+c)^{2n+1}=(0+c)^{2n+1}=c^{2n+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1}\)
Do đó $(**)$ đúng
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có đpcm.
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Xét \(a=-b\) thì ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2n+1}}+\dfrac{1}{b^{2n+1}}+\dfrac{1}{c^{2n+1}}=\dfrac{1}{c^{2n+1}}\\\dfrac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\dfrac{1}{c^{2n+1}}\\\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)^{2n+1}}=\dfrac{1}{c^{2n+1}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^{2n+1}}+\dfrac{1}{b^{2n+1}}+\dfrac{1}{c^{2n+1}}=\dfrac{1}{a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}}=\dfrac{1}{\left(a+b+c\right)^{2n+1}}\)
Tương tự cho 2 bộ số còn lại ta được ĐPCM.
1) Giải phương trình:\(\sqrt{5x-x^2}+2x^2-10x+6=0\)
2) Giải hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=3\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\end{matrix}\right.\)
1/ Đặt \(\sqrt{5x-x^2}=a\ge0\)
Thì ta có:
\(a-2a^2+6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left(2a+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\\a=-\dfrac{3}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{5x-x^2}=2\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=4\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+xy=3\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+xy-2\sqrt{xy}=3\left(1\right)\\\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow xy-2\sqrt{xy}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}=1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{y}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) thế vô (2) ta được
\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}=2\)
\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1=0\)
\(\Rightarrow x=1\)
\(\Rightarrow y=1\)
Cách khác cách của anh Hung Nguyen
\(\sqrt{5x-x^2}+2x^2-10x+6=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{5x-x^2-\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}}+2x^2-10x+6=0\)
\(=\sqrt{5x+\left(-x^2\right)+\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{4}}+2x^2-10x+6=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(-x+-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}}+2x^2-10x+6=0\)
\(\Rightarrow\left|-x+-\dfrac{5}{2}\right|-\dfrac{5}{2}+2x^2-10x+6=0\)
\(\Rightarrow x-\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}+2x^2-10x+6=0\)
\(\Rightarrow x-5+2x^2-10x+6=0\)
\(\Rightarrow-9x+1+2x^2=0\)
Đến đây em bí r ạ:3
CHUYÊN MỤC: CÂU HỎI TOÁN HAY
Đề bài: Tìm x biết:
\(\left(x-3\right)^3+\left(x-2\right)^2+\left|x-1\right|+x=2013\)
Ai làm đúng sẽ được thưởng 2GP, đáp án sẽ có vào ngày 14/7/2017
Thôi giải luôn cái phương trình bậc 3 vậy.
\(x^3-8x^2+25x-2037=0\left(1\right)\)
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=b^2-3ac=-11< 0\\k=\dfrac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\sqrt{\left|\Delta\right|^3}}\approx746,83\end{matrix}\right.\)
Vì \(\Delta< 0\) nên pt có nghiệm duy nhất là:
\(x=\dfrac{\sqrt{\left|\Delta\right|}}{3a}.\left(\sqrt[3]{k+\sqrt{k^2+1}}+\sqrt[3]{k-\sqrt{k^2+1}}\right)-\dfrac{b}{3a}\approx15,2\)
Vì sai số nên đáp án chỉ là xấp xỉ thôi. Đúng phải là: 15,18632....
Làm biếng nghĩ lắm. Có công thức thì áp vô luôn cho khỏe.
\(\left(x-3\right)^3+\left(x-2\right)^2+\left|x-1\right|+x=2013\)
Xét 2 trường hợp :
TH1: \(\left|x-1\right|\ge1\) với \(x\ge1\)
Ta có:
\(\left(x-3\right)^3+\left(x-2\right)^2+x+1+x=2013\) (1)
\(\Leftrightarrow x^3-9x^2+27x-27+x^2-4x+4+x-1+x=2013\)\(\Leftrightarrow x^3-8x^2+25x-2037=0\)
Đặt \(t=x-\dfrac{8}{3}\) ta được:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(t+\dfrac{8}{3}\right)^3-8\left(t+\dfrac{8}{3}\right)^2+25\left(t+\dfrac{8}{3}\right)-2037=0\)\(\Leftrightarrow t^3+\dfrac{11}{3}t-\dfrac{54223}{27}=0\) (2)
Đặt \(y=\dfrac{t}{2.\dfrac{\sqrt{11}}{3}}=\dfrac{t}{\dfrac{2\sqrt{11}}{3}}\Rightarrow t=\dfrac{2\sqrt{11}}{3}y\)
Khi đó: \(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{2\sqrt{11}}{3}y\right)^3+\dfrac{11}{3}.\dfrac{2\sqrt{11}}{3}y-\dfrac{54223}{27}=0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{22\sqrt{11}}{27}\left(4y^3+3y-743,129529\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4y^3+3y-743,129529=0\) (3)
Giả sử \(y_0\) là nghiệm của phương trình , khi đó:
- Với \(y>y_0\) thì :
\(\left\{{}\begin{matrix}4y^3>4y_0^3\\3y>3y_0\end{matrix}\right.\Rightarrow4y^3+3y>4y_0^3+3y_0=743,129529\)\(\Rightarrow\) pt vô nghiệm
- Với \(y< y_0\) thì
\(\left\{{}\begin{matrix}4y^3< 4y^3_0\\3y< 3y_0\end{matrix}\right.\Rightarrow4y^3+3y< 4y_0^3+3y_0=743,129529\)\(\Rightarrow\) pt vô nghiệm
Vậy (3) nếu có nghiệm \(y_0\) thì nghiệm đó là duy nhất.
Đặt : \(a=\sqrt[3]{743,129529+\sqrt{743,129529^2+1}}\)
\(\alpha=\dfrac{1}{2}\left(a-\dfrac{1}{a}\right)\) ta được:
\(4\alpha^3+3\alpha=743,129529\) \(\Rightarrow\alpha=y\)là nghiệm của pt
\(\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\sqrt[3]{743,129529+\sqrt{743,129529^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{743,129529+\sqrt{743,129529^2+1}}}\right)\)\(=5,662228051\)
\(\Rightarrow\) \(t=\dfrac{2\sqrt{11}}{3}.5662228051=12,51965728\)
\(\Rightarrow x=12,51965728+\dfrac{8}{3}=15,18632395\)
TH2: \(\left|x-1\right|< 1\) với x < 1
Ta có:
\(\left(x-3\right)^3+\left(x-2\right)^2-x+1+x=2013\) (1)
\(\Leftrightarrow x^3-9x^2+27x-27+x^2-4x+4-x+1+x-2013=0\)\(\Leftrightarrow x^3-8x^2+23x-2035=0\)
Đặt \(t=x-\dfrac{8}{3}\Rightarrow x=t+\dfrac{8}{3}\) , ta đươc:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(t+\dfrac{8}{3}\right)^3-8\left(t+\dfrac{8}{3}\right)^2+23\left(t+\dfrac{8}{3}\right)-2035=0\)\(\Leftrightarrow t^3+\dfrac{5}{3}t-\dfrac{54313}{27}=0\) (2)
Đặt \(y=\dfrac{t}{2.\sqrt{\dfrac{5}{9}}}=\dfrac{t}{\dfrac{2\sqrt{5}}{3}}\Rightarrow t=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}y\)
Khi đó :
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{3}y\right)^3+\dfrac{5}{3}.\dfrac{2\sqrt{5}}{3}-\dfrac{54313}{27}=0\)
\(\Leftrightarrow4y^3+3y=2428,951201\) (3)
Chứng minh (3) có 1 nghiệm duy nhất ( cmtren)
Đặt \(a=\sqrt[3]{2428,951201+\sqrt{2428,951201^2+1}}\)
\(\alpha=\dfrac{1}{2}\left(a-\dfrac{1}{a}\right)\) , ta được:
\(4\alpha^3-3\alpha=2428,951201\Leftrightarrow y=\alpha\) là nghiệm của pt
Khi đó:
\(y=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt[3]{2428,951201+\sqrt{2428,951201^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{2428,951201+\sqrt{2428,951201^2+1}}}\right)\)=\(8,438583197\)
\(\Rightarrow t=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}.8,438583197=12,57949826\)
\(\Rightarrow x=12,57949826+\dfrac{8}{3}=15,24616493\)
Phần thưởng đã được trao cho anh Hùng nhé!
Chứng minh rằng, nếu \(\left|x\right|\ge3;\left|y\right|\ge3;\left|z\right|\ge3\) thì \(H=\dfrac{xy+yz+xz}{xyz}\le1\)
Ta có:
\(\left|H\right|=\left|\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\right|\le\dfrac{\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|}{\left|xyz\right|}=\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\le\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1\)
\(\Rightarrow H\le1\) (đpcm)