Phân thức đại số - Hỏi đáp

Ta có: \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\) \(\ge\frac{3}{4}\) (Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\))

\(\Rightarrow A=\frac{1}{x^2-x+1}\ge\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi : \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\) (Vì \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\) ; \(\forall x\in R\) )

\(\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\) \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của biểu thức \(A=\frac{1}{x^2-x+1}\) là \(\frac{4}{3}\) tại \(x=\frac{1}{2}\)

\(A=\frac{1}{x^2-x+1}=\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\le\frac{1}{0+\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow A_{max}=\frac{4}{3}\) khi \(x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

\(\frac{x-3}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{18}{x^2-9}\)

ĐKXĐ : x \(\ne\) 3 ; x \(\ne\) - 3

\(\frac{x-3}{x+3}-\frac{x}{x-3}=\frac{18}{x^2-9}\)

<=> \(\frac{\left(x-3\right)^2}{x^2-9}-\frac{x\left(x+3\right)}{x^2-9}=\frac{18}{x^2-9}\)

Suy ra: (x - 3)² - x(x + 3) = 18

<=.> x² - 6x + 9 - x² - 3x = 18

<=> x² - 6x - x² - 3x = 18 - 9

<=> -9x = 9

<=> x = -1 (nhận)

Vậy S = {-1}

Thêm điều kiện đề: a, b, c > 0

Giải:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)+3abc\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]}{2}=0\)

Ta có a, b, c > 0 => a + b + c > 0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy ...

Chúc bạn học tốt!

\(4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=4x^2+1-8x+16x^2=20x^2-8x+1=20\left(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{20}\right)\)

\(=20\left[x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}+\frac{1}{100}\right]=20\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\ge\frac{1}{5}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)

BĐT$\Leftrightarrow 20x^2+5y^2\geq (4x+y)^2=16x^2+8xy+y^2\Leftrightarrow 2(x-y)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{5}$

Khai triển :

\(P=4x^2+4y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+8\)

Vì x,y dương

(+) AM-GM : \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+1\ge4x\\4y^2+1\ge4y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x^2+4y^2+2\ge4\left(x+y\right)=4\)

(+) AM-GM :\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}+4\ge\dfrac{4}{x}\\\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{4}{y}\end{matrix}\right.\)

(+) Hệ quả AM-GM :\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}\ge\dfrac{16}{x+y}=16\)

\(\Rightarrow4x^2+4y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+10\ge16+4\)

\(\Rightarrow P+2\ge20\)

\(\Rightarrow P\ge18\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy Min_P=18 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Có một cách khác đó là biến đổi và dùng cô si trực tiếp vào cái biểu thức trong ngoặc rồi dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel cho hai số (hơi phức tạp tí nhưng chắc không sao) -_-":

\(2x+\frac{1}{x}=4x+\frac{1}{x}-2x\ge2\sqrt{4x.\frac{1}{x}}-2x=4-2x\)

Từ đó suy ra \(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2\ge\left(4-2x\right)^2\).Tương tự: \(\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\left(4-2y\right)^2\)

Cộng theo vế suy ra \(P\ge\left(4-2x\right)^2+\left(4-2y\right)^2\ge\frac{\left(4-2x+4-2y\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left[8-2\left(x+y\right)\right]^2}{2}=\frac{6^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = ¹/₂

Vậy...

Giá trị \(\frac{3x-2}{4}\) không nhỏ hơn giá trị \(\frac{3x+3}{6}\) có nghĩa là:

\(\frac{3x-2}{4}\ge\frac{3x+3}{6}\)

\(\Leftrightarrow18x-12\ge12x+12\)

\(\Leftrightarrow6x\ge24\Leftrightarrow x\ge4\)

Vậy \(S=\left\{x|x\ge4\right\}\)

Giá trị biểu thức \(\frac{3x-2}{4}\) không nhỏ hơn giá trị biểu thức \(\frac{3x+3}{6}\), tức là:

\(\frac{3x-2}{4}\ge\frac{3x+3}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3.\left(3x-2\right)}{3.4}\ge\frac{2.\left(3x+3\right)}{2.6}\)

\(\Leftrightarrow9x-6\ge6x-6\)

\(\Leftrightarrow9x-6x\ge6+6\)

\(\Leftrightarrow3x\ge12\)

\(\Leftrightarrow x\ge4\)

Vậy bất phương trình có nghiệm là

Ta có: \(\dfrac{1992x}{xy+1992x+1992}\)=

\(\dfrac{xyz.x}{xy+xyz.x+xyz}\) = \(\dfrac{xyz.x.z}{xy.z+xyz.x.z+xyz.z}\) = \(\dfrac{xz}{1+xz+z}\)

Ta có: \(\dfrac{y}{zy+y+1992}\)=\(\dfrac{y}{zy+y+xyz}\)=\(\dfrac{1}{z+1+xz}\)

=> \(\dfrac{1992x}{xy+1992x+1992}\)+\(\dfrac{y}{zy+y+1992}\)+\(\dfrac{z}{z+zx+1}\) = \(\dfrac{xz}{1+zx+z}\) +\(\dfrac{1}{z+zx+1}\) \(+\dfrac{z}{z+zx+1}\) =\(\dfrac{z+zx+1}{z+xz+1}\)

=1