Phân thức đại số - Hỏi đáp

Vì 2n+1 là số chính pương lẻ nên n là số chẵn

Ta có 3n+1 là số chính phương lẻ

=>3n⋮8 =>n⋮8 (1)

Do 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng là 1; 5; 9 nên khi chia cho 5 dư 1;0;4

Xét (2n+1)+(3n+1)= 5n+2 chia 5 dư 2

=> 2n+1 chia 5 dư 1 và 3n+1 chia 5 dư 1

=>2n⋮ 5 và 3n⋮5

=>n⋮5 (2)

Vì (8;5)= 1 (3)

Từ (1), (2) và (3) => n⋮80 (đpcm)

Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>0\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4\ge4\Rightarrow t\ge2\)

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)

\(\Rightarrow B=2\left(t^2-2\right)-5t+6=2t^2-5t+2\)

\(B=\left(2t-1\right)\left(t-2\right)\)

Do \(t\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t-1>0\\t-2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\ge0\)

\(B_{min}=0\) khi \(t=2\) hay \(x=y\)

vì x,y > 0 => x/y , y/x >0

Áp dụng bđt cô-si ta đc:

\(B\ge2.2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}-5.2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}+6=4-10+6=0\)

Min B = 0 khi : \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2}{y^2}=\frac{y^2}{x^2}\\\frac{x}{y}=\frac{y}{x}\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y\)

c, \(2x^2+10x+8\)

\(=\left(2x^2+2x\right)+\left(8x+8\right)\)

\(=2x\left(x+1\right)+8\left(x+1\right)\)

\(=\left(2x+8\right)\left(x+1\right)\)

d, \(9x^2+6x-8\)

\(=9x^2-6x+12x-8\)

\(=3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)\)

\(=\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)\)

f, \(4x^2-36x+56\)

\(=\left(4x^2-8x\right)+\left(28x+56\right)\)

\(=4x\left(x-2\right)+28\left(x-2\right)\)

\(=4\left(x-2\right)\left(x+7\right)\)

Lời giải:

a)

Xét tử thức:

\(x^4+x^3-x^2-2x-2=(x^4-x)+(x^3-1)-(x^2+x+1)\)

\(=x(x^3-1)+(x^3-1)-(x^2+x+1)=x(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)(x^2+x+1)-(x^2+x+1)\)

\(=(x^2+x+1)(x^2-x+x-1-1)=(x^2-2)(x^2+x+1)\)

Xét mẫu thức:

\(x^4+2x^3+x^2-2x^2-4x-2=(x^2+x)^2-2(x^2+2x+1)\)

$=x^2(x+1)^2-2(x+1)^2=(x+1)^2(x^2-2)$

Do đó: $F(x)=\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2}$

b)

Không có thêm điều kiện về dấu của $x$ thì biểu thức $F(x)$ không có min bạn nhé.

\(1-9x+27x^2-27x^3\\ =1^3-3\cdot1^2\cdot3x+3\cdot1\cdot9x^2-\left(3x\right)^3\\ =\left(1-3x\right)^3\)

1 − 9x + 27x^2 − 27x^3 = 1^3 − 3 ⋅ 1^2 ⋅ 3x + 3 ⋅ 1 ⋅ 9x^2 − (3x)^3 = (1−3x)^3

tick và theo dõi giúp mình nha

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2a+b=x^2\\ 2b+c=y^2\\ 2c+a=z^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3(a+b+c)\vdots 3\)

Vì một trong 3 số chính phương kể trên chia hết cho 3 nên giả sử \(2c+a=z^2\vdots 3\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (*)

Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 có dư 0 hoặc 1

Do đó Nếu \(x^2,y^2\) đều không chia hết cho 3 thì \(x^2+y^2\) chia 3 có thể có dư là 1,2 (trái với (*))

Từ đây suy ra \(x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\).

Vậy \(x^2, y^2,z^2\vdots 3\) (1)

\(\Rightarrow x,y,z\vdots 3\) (do 3 là số nguyên tố)

\(\Rightarrow x^2, y^2,z^2\vdots 9\)

\(\Rightarrow 3(a+b+c)=x^2+y^2+z^2\vdots 9\Rightarrow a+b+c\vdots 3\) (2)

Từ (1);(2) suy ra:

\(\left\{\begin{matrix} x^2-(a+b+c)\vdots 3\\ y^2-(a+b+c)\vdots 3\\ z^2-(a+b+c)\vdots 3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-c\vdots 3\\ b-a\vdots 3\\ c-b\vdots 3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (a-c)(b-a)(c-b)\vdots 27\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)\vdots 27\)

Ta có đpcm.

\(A=\frac{1}{4}\left(x+2\right)^2-2\ge-2\)

\(A_{min}=-2\) khi \(x=-2\)

Với 2 câu B, C cần kiến thức lớp 9 để làm:

\(Bx^2+2Bx+3B=x^2-2x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(B-1\right)x^2+2\left(B+1\right)x+3B-2=0\)

\(\Delta'=\left(B+1\right)^2-\left(B-1\right)\left(3B-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2B^2-7B+1\le0\Rightarrow\frac{7-\sqrt{41}}{4}\le B\le\frac{7+\sqrt{41}}{4}\)

\(B_{min}=\frac{7-\sqrt{41}}{4}\) khi \(x=\frac{\sqrt{41}-1}{4}\)

\(2Cx^2+4Cx+9C=x^2-2x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(2C-1\right)x^2+2\left(2C+1\right)x+9C+1=0\)

\(\Delta'=\left(2C+1\right)^2-\left(2C-1\right)\left(9C+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow14C^2-11C-2\le0\Rightarrow\frac{11-\sqrt{233}}{28}\le C\le\frac{11+\sqrt{233}}{28}\)

\(C_{min}=\frac{11-\sqrt{233}}{28}\) khi \(x=\frac{\sqrt{233}-11}{8}\)

\(P=\frac{3x^2+3}{3\left(x^2-x+1\right)}=\frac{2\left(x^2-x+1\right)+x^2+2x+1}{3\left(x^2-x+1\right)}=\frac{2}{3}+\frac{\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}\ge\frac{2}{3}\)

\(P_{min}=\frac{2}{3}\) khi \(x=-1\)

\(P=\frac{2\left(x^2-x+1\right)-x^2+2x-1}{x^2-x+1}=2-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}\le2\)

\(P_{max}=2\) khi \(x=1\)

* GTLN :

\(P=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1-2x}{x^2+x+1}=1-\frac{2x}{x^2+x+1}\le1\)

Dấu = xảy ra khi :

\(\frac{2x}{x^2+x+1}=0\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy P_max = 1 ⇔ x = 0

đkxd: x khác 1

* pp L9

\(\Leftrightarrow P\left(x^2-2x+1\right)=x^2+x+1\Leftrightarrow\left(P-1\right)x^2-\left(2P+1\right)x+P-1=0\Rightarrow\Delta=\left(2P+1\right)^2-4\left(P-1\right)^2=\left(2P+1-2P+2\right)\left(2P+1+2P-2\right)=3\left(4P-1\right)\)

Để pt có nghiệm => \(\Delta\ge0\Rightarrow3\left(4P-1\right)\ge0\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)

Min P =1/4 => \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=\frac{2P+1}{2\left(P-1\right)}=\frac{\frac{2.1}{4}+1}{2\left(\frac{1}{4}-1\right)}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}}=-1\left(tm\right)\)

* pp L8

\(P=\frac{\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}}{x^2-2x+1}=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\cdot\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2\)

Vì : \(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\Rightarrow\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2\ge\frac{1}{4}\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)

Min P =1/4 khi : \(\frac{x+1}{x-1}=0\Leftrightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\left(tm\right)\)

Lời giải:

Vì $f(x)$ chia $x-3$ dư $2$, $f(x)$ chia $x+4$ dư $9$ nên $f(3)=2; f(-4)=9$

Giả sử $f(x)$ chia $x^2+x-12$ được đa thức dư là $ax+b$

Khi đó: $f(x)=(x^2+x-12)(x^2+3)+ax+b$

$f(3)=(3^2+3-12)(3^2+3)+3a+b$

$\Leftrightarrow 2=3a+b(1)$

$f(-4)=[(-4)^2-4-12][(-4)^2+3)]-4a+b$

$\Leftrightarrow 9=-4a+b(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow a=-1; b=5$

$f(x)=(x^2+x-12)(x^2+3)-x+5=x^4+x^3-9x^2+2x-31$