Ôn tập chương I : Tứ giác

a: Xét tứ giác ABCD có

M là trung điểm chung của AC và BD

nên ABCD là hình bình hành

Hình bình hành ABCD có \(\widehat{BAD}=90^0\)

nên ABCD là hình chữ nhật

b: ABCD là hình chữ nhật

=>AD//BC và AD=BC

AD=BC

AD=DE

Do đó: DE=CB

Xét tứ giác EDBC có

ED//BC

ED=BC

Do đó: EDBC là hình bình hành

=>EB cắt DC tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của EB

=>IE=IB

c: Xét ΔACK có

H,M lần lượt là trung điểm của AK,AC

=>HM là đường trung bình

=>HM//CK

=>CK//BD

Xét ΔDAK có

DH là đường cao, là đường trung tuyến

Do đó: ΔDAK cân tại D

=>DA=DK

mà DA=BC

nên DK=BC

Xét tứ giác BKCD có CK//BD

nên BKCD là hình thang

mà BC=KD

nên BKCD là hình thang cân

a: Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMHN là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

H là trung điểm của BC

HM//AC

Do đó: M là trung điểm của AB

Xét ΔCAB có

H là trung điểm của BC

HN//AB

Do đó: N là trung điểm của AC

Xét tứ giác AHBE có

M là trung điểm chung của AB và HE

nên AHBE là hình bình hành

Hình bình hành AHBE có AB\(\perp\)HE

nên AHBE là hình thoi

c: Xét tứ giác AHCF có

N là trung điểm chung của AC và HF

Do đó: AHCF là hình bình hành

Hình bình hành AHCF có AC vuông góc HF

nên AHCF là hình thoi

Lời giải:
a. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat{A}=\widehat{D}=90^0$

$MN\perp CD$ nên $\widehat{MND}=90^0$
Tứ giác $AMND$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{N}$ nên là hcn.

b. 

Hoàn toàn tương tự phần a ta thấy $\widheat{B}=\widehat{C}=\widehat{N}$ nên $BMNC$ là hcn

$\Rightarrow BM=NC$
$AMND$ là hcn nên $AM=DN$

Mà $AM=BM$ nên $AM=NC$
Có $AM\parallel NC$ (do $AB\parallel CD$) và $AM=NC$ nên $AMCN$ là hbh

$\Rightarrow AC, MN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm $MN$ nên $O$ cũng là trung điểm $AC$.

c.

Vì $AMCN$ là hbh (theo phần b) nên $AN\parallel CM$

$\Rightarrow EN\parallel FC$
$\Rightarrow \frac{DE}{EF}=\frac{DN}{NC}=1$ (theo định lý Talet)

$\Rightarrow DE=EF(1)$

Mặt khác:

$AN\parallel CM$

$\Rightarrow MF\parallel AE$

$\Rightarrow \frac{BF}{EF}=\frac{BM}{MA}=1$ (định lý Talet)

$\Rightarrow BF=EF(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow DE=EF=BF$

Hình vẽ:

a: ABCD là hình thoi

=>AC vuông góc BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC vuông góc BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác OBKC có

OB//KC

OC//BK

Do đó: OBKC là hình bình hành

mà \(\widehat{BOC}=90^0\)

nên OBKC là hình chữ nhật

b: OBKC là hình chữ nhật

=>OK=BC

mà BC=AB

nên OK=AB

c: Để OBKC là hình vuông thì OB=OC

mà \(OB=\dfrac{BD}{2};OC=\dfrac{AC}{2}\)

nên BD=AC

a: Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADME là hình chữ nhật

=>AM=DE
b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có 

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình

=>DE//BC và DE=1/2BC

=>DE//MC và DE=MC

Xét tứ giác DMCE có

DE//MC

DE=MC

Do đó: DMCE là hình bình hành

c: ΔHAC vuông tại H có HE là trung tuyến

nên \(HE=\dfrac{1}{2}AC\)

mà \(MD=\dfrac{1}{2}AC\)

nên HE=MD

Xét tứ giác DHME có

ED//MH

nên DHME là hình thang

mà HE=MD

nên DHME là hình thang cân

ΔHAB vuông tại H

mà HD là trung tuyến

nên HD=AD

EA=EH

DA=DH

Do đó: ED là đường trung trực của AH

a: AB=DC

DC=CE

Do đó: AB=CE

Xét tứ giác ABEC có

AB//EC

AB=CE

Do đó: ABEC là hình bình hành

b: Xét ΔBDE có

BC là trung tuyến

BC là đường cao

Do đó: ΔBDE cân tại B(1)

Xét ΔBDE có

BC là trung tuyến

\(BC=\dfrac{1}{2}DE\)

Do đó: ΔBDE vuông tại B(2)

Từ (1),(2) suy ra ΔBDE vuông cân tại B

c:

ABCD là hình vuông

=>AC=BD và AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC vuông góc BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

=>OA=OB=OC=OD

Xét ΔBDE có

C,F lần lượt là trung điểm của DE,BE

Do đó: CF là đường trung bình

=>CF//BD và \(CF=\dfrac{BD}{2}\)

=>CF//BO và CF=BO

Xét tứ giác BOCF có

BO//CF

BO=CF

Do đó: BOCF là hình bình hành

mà BO=CO

nên BOCF là hình thoi

Hình thoi BOCF có \(\widehat{OBF}=90^0\)

nên BOCF là hình vuông

d: Xét ΔBDE có

BC,DF là trung tuyến

BC cắt DF tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔBDE

mà O là trung điểm của BD

nên E,I,O thẳng hàng

Xét ΔIDE có

IC là đường cao, là đường trung tuyến

nên ΔIDE cân tại I

=>ID=IE

Xét ΔBDE có

I là trọng tâm

EO là đường trung tuyến

Do đó: \(\dfrac{EI}{EO}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(OE=\dfrac{3}{2}EI=\dfrac{3}{2}DI\)

a: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)

=>AEHF là hình chữ nhật

b: AEHF là hình chữ nhật

=>AH cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của EF

c: MI//AH

\(AH\perp BC\)

Do đó: \(MI\perp BC\)

Xét tứ giác CIHK có

M là trung điểm chung của CH và IK

=>CIHK là hình bình hành

mà \(IK\perp CH\)

nên CIHK là hình thoi