Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) gọi I là trung điểm của BC qua I kẻ IM vuông góc với AB tại AM .Và IN = AC tại N
a, ANIM là hình gì . Vì sao
b, d là điểm đối xứng với I qua N . Cm: ADCI là hình thoi
c, Đường thẳng BN cắt DC tại K. Cm : \(\dfrac{ }{ }\) DK/DC = 1/3
a: Xét tứ giác AMIN có \(\widehat{AMI}=\widehat{ANI}=\widehat{NAM}=90^0\)
nên AMIN là hình chữ nhật
b: Xét ΔABC có
I là trung điểm của BC
IN//AB
Do đó: N là trung điểm của AC
Xét tứ giác AICD có
N là trung điểm của AC
N là trung điểm của ID
Do đó: AICD là hình bình hành
mà IA=IC
nên AICD là hình thoi
Cho tứ giác ABC và các điểm E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA
a, CHứng minh rằng tứ giác EFGH là hình bình hành
b. Hai đường chéo của tứ giác ABCD phải có điều kiện gì thì EFGH là hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.
a: Xét ΔABD có
E là trung điểm của AB
H là trung điểm của AD
Do đó: EH là đường trung bình
=>EH//BD và EH=BD/2(1)
Xét ΔBCD có
F là trung điểm của BC
G là trung điểm của CD
Do đó: FG là đường trung bình
=>FG//BD và FG=BD/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra EH//FG và EH=FG
hay EHGF là hình bình hành
b: Để EHGF là hình thoi thì EH=EF
=>AC=BD
Để EHGF là hình chữ nhật thì EH\(\perp\)EF
=>AC\(\perp\)BD
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB,BC,CD,DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần thêm điều kiện gì?
Ta có :
MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow MN//AC\) (1)
NP là đường trung bình của \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow NP//BD\) (2)
PQ là đường trung bình của \(\Delta ACD\)
\(\Rightarrow PQ//AC\) (3)
QM là đường trung bình của \(\Delta ABD\)
\(\Rightarrow MQ//BD\) (4)
Kết hợp 1 với 3 ; 2 với 4 ta được :
\(\left\{{}\begin{matrix}MN//PQ\\MQ//NP\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành ( theo dấu hiệu nhận biết của hình bình hành )
Mặt khác :
\(\left\{{}\begin{matrix}AC//MN\\AC\perp BD\end{matrix}\right.\Rightarrow MN\perp BD\)
\(\left\{{}\begin{matrix}BD//MQ\\BD\perp MN\end{matrix}\right.\Rightarrow MQ\perp MN\)
Hay \(\widehat{QMN}\) là góc vuông .
\(\Rightarrow MNPQ\) là hình chữ nhật ( theo dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật )
Ta có : Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ( Chứng minh ý a)
=> Để tứ giác MNPQ là hình vuông
thì => \(MN=NP\)
Mà \(MN=\dfrac{1}{2}AC\) ( MN là dường trung bình \(\Delta ABC\) )
\(NP=\dfrac{1}{2}BD\) ( NP là dường trung bình \(\Delta BCD\) )
\(\Rightarrow AC=BD\)
Vậy để tứ giác MNPQ là hình vuông
thì tứ giác ABCD phải có 2 đường chéo bằng nhau.
Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC) có phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của cạnh BC ở D. Kẻ DH vuông góc với AB, kẻ DK vuông góc với AC.
a, Tứ gics AHDK là hình gì? chứng minh
b, Chứng minh BH=CK
c,Cho AC= 8cm, BC= 10cm. Gọi M là trung điểm của BC. Tính diện tích tứ giác BHDM
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC. Gọi M là giao điểm của HD với AB, N là giao điểm của HE với AC
a) Tứ giác AMHN là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh D đối xứng với E qua A
c) Tứ giác BCED là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh BC = BD + CE
Ai giúp mình với mình cần gấp. Cảm ơn trước nhes^.^
a: Ta có H và D đối xứng nhau qua AB
nên AB là đường trung trực của HD
=>AB vuông góc với HD tại trung điểm của HD
=>AH=AD
=>ΔAHD cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là phân giác của góc HAD(1)
Ta có: H và E đối xứng nhau qua AC
nên AC là đường trung trực của HE
=>AC vuông góc với HE tại trung điểm của HE
=>AH=AE
=>ΔAHE cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là phân giác của góc EAH(2)
Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
b: Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAE}=2\cdot90^0=180^0\)
=>D,A,E thẳng hàng
mà AD=AE
nên A là trung điểmcủa DE
Cho tam giác ABC vuông tại A. M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MH vuông góc với AC, MK vuông góc với AB. a). AKMH là hình chữ nhật. b). Gọi I là TĐ của AM. C/m:K,I,H thẳng hàng. c). P là điểm đối xứng với M qua H, Q là điểm đối xứng với M qua K. Tứ giác BCPQ là hình gì? d). Khi M di chuyển trên BC thì I di chuyển trên đường nào?
a: Xét tứ giác AKMH có \(\widehat{AKM}=\widehat{AHM}=\widehat{HAK}=90^0\)
nên AKMH là hình chữ nhật
b: ta có: AKMH là hình chữ nhật
nên Hai đường chéo AM và KH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của KH
hay K,I,H thẳng hàng
Cho hình bình hành ABCD.Vẽ AE vuông góc với BC;AF vuông góc với CD.Chứng minh AD.AE=AB.AF
Xét ΔAFD vuông tại F và ΔAEB vuông tại E có
\(\widehat{D}=\widehat{B}\)
Do đo: ΔAFD\(\sim\)ΔAEB
Suy ra: AF/AE=AD/AB
hay \(AF\cdot AB=AD\cdot AE\)
Cho tam giac ABC vuong tai A . Goi D, E, F lan luot la trung diem cua AB,AC
a, Tu giac BDEF la hinh gi?
b, Tu giac DEFH la hinh gi ?
c, Xac dinh dang cua tu giac BDEF neu tam giac ABC can o B
d, Tim dieu kien cua tam giac ABC de DEFH la hinh chu nhat.
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AC, Gọi E là điểm đối xứng với H qua AB. Chứng minh:
a/ D đối xứng với E qua A
b/ Tam giác DHE vuông
c/ Tứ giác BDEC là hình thang vuông
d/ BC= BE + DC
a) Vì D là điềm đối xứng với H qua AC
\(\Rightarrow\)AB là đường trung trực của DH
\(\Rightarrow\)AH=AD (1)
Vì E đối xứng với H qua AB
\(\Rightarrow\) AB là đường trung trực của HE
\(\Rightarrow\)AH=AE (2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\) AD=AE (3)
Mặt khác: ^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE và ^BAH+^HAC=90*
Do đó ^DAB+^BAH+ ^HAC+^CAE=180*
\(\Rightarrow\) D, A, E thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4)\(\Rightarrow\)D và E đối xứng với nhau qua A. (đpcm)
b) Xét tam giác DHE có:
HA là trung tuyến và HA= 1/2 DE
\(\Rightarrow\) Tam giác DHE vuông tại H.(đpcm)
c)Ta có:
Tam giác ADB= Tam giác AHB (c-c-c)
\(\Rightarrow\) ^ADB=^AHB=90*
Tương tự ta có: ^AEC=90*
\(\Rightarrow\) BD//CE (cùng vuông góc với DE)
\(\Rightarrow\) Tứ giác BAEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE
\(\Rightarrow\)BAEC là hình thang vuông. (đpcm)
d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH (5)
Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH (6)
Cộng vế với vế của (5) và (6) ta có:
BD+CE=BH+CH
Hay BD+CE=BC
Vậy BC= BE+ DC( đpcm).
Bài 1: Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I . Gọi H là trung điểm của IB , K là trung điểm của IC .
a, Chứng minh tứ giác MNHK là hình bình hành .
b, Nếu các đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau thì tứ giác MNHK là hình gì ?
c, Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác MNHK là hình chữ nhật .
d, Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác MNHK là hình vuông .
Bài 2 : Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM , I là trung điểm AC , K là trung điểm AB , E là trung điểm AM . Gọi N là điểm đối xứng của M qua I .
a, Chứng minh tứ giác AKMI là hình thoi
b, Tứ giác AMCN , MKIC là hình gì? Vì sao?
c, Chứng minh E là trung điểm BN
d, Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCN là hình vuông .
a: Xét ΔABC có
N là trung điểm của AB
M là trung điểm của AC
Do đó: NM là đường trung bình
=>NM//BC và NM=BC/2(1)
Xét ΔIBC có
H là trung điểm của IB
K là trung điểm của IC
Do đó: HK là đường trung bình
=>HK//BC và HK=BC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra MN//HK và MN=HK
hay MNHK là hình bình hành
b: Hình bình hành MNHK có MH\(\perp\)NK
nên MNHK là hình thoi
c: Để MNHK là hình chữ nhật thì MN\(\perp\)MK
=>AI\(\perp\)BC
=>ΔABC cân tại A
=>AB=AC
