Ôn tập toán 9

\(x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+...}}}}}\)

Nhận xét : x > 0

\(x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+...}}}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5\right)^2-13=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+...}}}=x\)

\(\Rightarrow x^4-10x^2-x+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^3+3x^2-x-4\right)=0\)

Suy ra x = 3

Chú ý : Ta có \(x>\sqrt{5}>\sqrt{4}=2\)

Do đó , các nghiệm của pt \(x^3+3x^2-x-4=0\) không thỏa mãn

x xấp xỉ bằng 3

Đặt BH = x (0 < x < 25) (cm) => CH = 25 - x (cm)

Ta có : \(AH^2=BH.CH\Rightarrow x\left(25-x\right)=144\Leftrightarrow x^2-25x+144=0\)

\(\left(x-9\right)\left(x-16\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=9\\x=16\end{array}\right.\) (tm)

Nếu BH = 9 cm thì CH = 16 cm\(\Rightarrow AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

Nếu BH = 16 cm thì CH = 9 cm

\(\Rightarrow AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Gỉa sử \(\Delta ABC\) có AB>AC

\(AB.AC=AH.BC=12.25=300\)

\(\Leftrightarrow2AB.AC=2.300=600\)

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta ABC\) vuông tại A ta có:

\(AB^2+AC^2=BC^2=25^2=625\) (1)

\(\left(1\right)\Rightarrow AB^2+AC^2-2AB.AC=625-600\)

\(\Leftrightarrow\left(AB-AC\right)^2=25\Leftrightarrow AB-AC=5\)   (a)  (Vì AB>AC \(\Rightarrow AB-AC>0\))

\(\left(1\right)\Rightarrow AB^2+AC^2+2AB.AC=600+625=1225\)

\(\Leftrightarrow\left(AB+AC\right)^2=1225\Rightarrow AB+AC=35\) (b)

Cộng vế vs vế của (a) và (b) ta được: \(2AB=40\Rightarrow AB=20\)

                                                         \(\Rightarrow AC=AB-5=20-5=15\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A, \(AH\perp BC\)\(\Rightarrow\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{20^2}{25}=16\)

\(\Rightarrow CH=BC-BH=25-16=9\)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông thôi: AB*AC = AH*BC = 12*25 = 300 AB^2 + AC^2 = BC^2 = 25^2 = 625 giải hệ trên ta được : AB = 15, AC = 20 AB^2 = BH*BC=> BH = AB^2/BC = 9 AH^2 = BH*CH=> CH = AH^2/BH = 12^2/9 = 16 NGOÀI RA HỆ PT TRÊN CÒN 1 NGHIỆM NỮA LÀ AB=20,AC=15 

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz\)

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Bình phương vế trái : 

\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)

\(=\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)Bình phương vế phải : 

\(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2=\left(xyz+x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

Suy ra cần phải chứng minh : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)(*)

Thật vậy, theo bđt Bunhiacopxki ta có : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\)

\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)

\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)

Cộng các bđt trên theo vế ta chứng minh được (*) đúng.

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

Ý tưởng khác

Cũng từ giả thiết suy ra \(xyz=xy+yz+xz\)

Suy ra \(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{x^2+xyz}{x}}=\sqrt{\frac{x^2+xy+yz+xz}{x}}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\) do đó:

\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{x}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại \(\sqrt{y+xz}\ge\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}};\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT được \(VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\) (Đpcm)

bằng 3

Lời giải:

ĐK: \(x,y\geq 1\)

PT \(\Leftrightarrow (\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5})+(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1})+(x^2-y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+(x^2-y^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y\right)=0\)

Với mọi \(x,y\geq 1\) dễ thấy biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn $0$

Do đó: \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\) (dpcm)

cho biết R1=5 ôm; U2=3,5 vôn ;IAB=0,5.Tính điện trở tương đương của đoạn mạch?

giải giúp em bài này vs

Ta có : \(Sin\frac{A}{2}=Sin\widehat{BAM}=Sin\widehat{CAM}=\frac{BH}{AB}=\frac{CK}{CA}\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}=\frac{BH}{b}=\frac{CK}{c}\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}=\frac{BH.CK}{bc}\)

Lại có : \(BH\le BM;CK\le CM\) 

\(\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}\le\frac{BM.CM}{bc}\le\frac{\frac{\left(BM+CM\right)^2}{4}}{bc}=\frac{\frac{BC^2}{4}}{bc}=\frac{a^2}{4bc}\)

\(\Rightarrow sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{2\sqrt{bc}}\) (đpcm)

\(A=sin^6\alpha+cos^6\alpha+3sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=\left(sin^2\alpha\right)^3+\left(cos^2\alpha\right)^3+3sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=\left(sin^2\alpha+cos^2\alpha\right)\left(sin^4\alpha+cos^4\alpha-sin^2\alpha.cos^2\alpha\right)+3sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=sin^4\alpha+cos^4\alpha-sin^2\alpha.cos^2\alpha+3sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=\left(sin^2\alpha+cos^2\alpha\right)^2-2sin^2\alpha.cos^2\alpha-sin^2\alpha.cos^2\alpha+3sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(1-3sin^2\alpha.cos^2\alpha+3sin^2\alpha-cos^2\alpha=3sin^2\alpha\left(1-cos^2\alpha\right)+\left(1-cos^2\alpha\right)\)

\(=\left(3sin^2\alpha+1\right).sin^2\alpha=0\)

lời giải ở bài 28 bạn nha