Ôn tập toán 9 - Hỏi đáp

Đặc điểm, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiêp

Một tứ giác lồi là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi bốn đường trung trực của bốn cạnh đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này chính là tâm đường tròn nội tiếp.^[1]

Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi hai góc đối bù nhau, tức là^[1]

{\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =180^{\circ }.} Ở đây {\displaystyle \alpha =\angle DAB,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle BCD,\delta =\angle CDA}

Định lý trên được nêu trong bộ Cơ bản của Euclid.^[2] Từ đó ta có khẳng định sau: Một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi một góc trong bằng góc kề bù của góc đối đỉnh góc đó.

Một trong các dấu hiệu nhận biết quan trọng khác để tứ giác ABCD nội tiếp là tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh của tứ giác đó^[3] Ví dụ như: {\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}

Định lý Ptoleme cũng chỉ ra rằng một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tích hai đường chéo bằng tổng của tích hai cặp cạnh đối, tức là:^[4]:p.25

{\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd.}

Nếu hai đường thẳng lần lượt chứa hai đoạn thẳng AC và BD, cắt nhau tại P, thì A, B, C, D đồng viên khi và chỉ khi:^[5]

{\displaystyle \displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.}

Giao điểm P có thể nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn. Trong trường hợp nằm trong, tứ giác lồi nội tiếp là ABCD, còn trong trường hợp còn lại, tứ giác nội tiếp là ABDC.

Một dấu hiệu nhận biết khác là tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi:^[6]

{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}=1.}

a) \(M=\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}+\sqrt{2+2.\sqrt{2}.2+4}=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2}+2\right)^2}=\left|\sqrt{2}-1\right|+\sqrt{2}+2=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+2=2\sqrt{2}+1\)

b) \(N=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+1+\left|\sqrt{3}-1\right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.\sqrt{3}=\sqrt{6}\)

Giả sử ƯCLN(a,c)=p(p\(\ge1\))

\(\Rightarrow a=p\times a1,c=p\times c1\)(a1,b1 là các số dương và (a1,c1)=1)

Từ đẳng thức ab=cd suy ra a1b=c1d do(a1,c1)=1 nên b\(⋮c1,d⋮a1\), ta có :

b=c1q và d=a1q(q\(\in Z^+\))

Từ đó suy ra : \(a^n+b^n+c^n+d^n=\left(a1^n+c1^n\right)\left(p^n+q^n\right)\)

do p\(\ge1,q\ge1\) nên p^n+q^n >=2 và a1,c1 là các số dương nên a^n+b^n+c^n+d^n là hợp số

Bài này là tìm GTLN nhé :) . Cần thêm điều kiện x > 0

Ta có : \(Q=\frac{2x}{x^2+x+1}\)

Xét : \(\frac{2}{Q}=\frac{x^2+x+1}{x}=x+\frac{1}{x}+1\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+1=3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{Q}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow Q\le\frac{2}{3}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)(vì x>0)

Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{2}{3}\) tại \(x=1\)

Bạn tự vẽ hình nha

a) xét \(\Delta\)ADI và \(\Delta\)CDL có:

          ^DAI=^DIL=90(gt)

          AD=DC(gt)

           ^ADI=^CDL(cùng phụ với ^IDC)

=> \(\Delta\)ADI=\(\Delta\)CDL(g.c.g)

=>  DI=DL

=> \(\Delta\)DIL cân tại A

b) Ta có: \(\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}=\frac{1}{DL^2}+\frac{1}{DK^2}\)(vì DI=DK)

Xét \(\Delta\)DKL vuông tại D(gt) có DC là đường cao 

=> \(\frac{1}{DL^2}+\frac{1}{DK^2}=\frac{1}{DC^2}\)(theo hệ thức liên hệ tới đường cao)

Mà DC không đổi 

=>\(\frac{1}{DC^2}\)không đổi

Vậy \(\frac{1}{DL^2}+\frac{1}{DK^2}\)không đổi hay \(\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\)không đổi khi I chuyển đọng trên AB

(chú ý: ^ nghĩa là góc)

a)\(\frac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7}y}=\frac{\sqrt{7\cdot3^2\cdot y^2\cdot y}}{\sqrt{7}y}=\frac{\sqrt{7}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{y^2}\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{7}y}=\frac{\sqrt{7}\cdot3\cdot y\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{7}y}=3\sqrt{y}\)

b)\(\frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x^5}}=\frac{\sqrt{4^2\cdot3\cdot x^2\cdot x}}{\sqrt{3\cdot x^2\cdot x^3}}=\frac{\sqrt{4^2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{x^3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x^3}}=\frac{4}{x}\)

c)\(\frac{\sqrt{45mn^2}}{\sqrt{20m}}=\frac{\sqrt{5\cdot3^2\cdot m\cdot n^2}}{\sqrt{5\cdot2^2\cdot m}}=\frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{m}\cdot\sqrt{n^2}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{m}}=\frac{3\left|n\right|}{2}\)

d)\(\frac{\sqrt{16a^4b^6}}{\sqrt{128a^6b^6}}=\frac{\sqrt{4^2\cdot a^2\cdot a^2\cdot b^2\cdot b^2\cdot b^2}}{\sqrt{4^2\cdot8\cdot a^2\cdot a^2\cdot a^2\cdot b^2\cdot b^2\cdot b^2}}=\frac{\sqrt{4^2}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b^2}\cdot\sqrt{b^2}\cdot\sqrt{b^2}}{\sqrt{4^2}\cdot\sqrt{8}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{b^2}\cdot\sqrt{b^2}\cdot\sqrt{b^2}}=\frac{4\cdot a^2\cdot b^3}{4\cdot\sqrt{8}\cdot\left|a\right|^3\cdot b^3}=\frac{a^2}{\sqrt{8}\left|a\right|^3}\)

Đặt \(x=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}};y=\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}\) => \(x^3+y^3=3+\sqrt[3]{3}+3-\sqrt[3]{3}=6\)

Ta có: \(b^3-a^3=\left(2\sqrt[3]{3}\right)^3-\left(x+y\right)^3=24-\left(x+y\right)^3\)

= 4(x³ + y³) - (x³ + y³) - 3xy(x + y)

= 3(x³ + y³) - 3xy(x + y)

= 3(x + y)(x² - xy + y²) - 3xy(x + y)

= 3(x + y)(x² - xy + y² - xy)

= 3(x + y)(x - y)² > 0 (do x > y > 0)

=> b³ > a³

=> b > a (vì b;a > 0)

đề bài lại nha 

$\sqrt{x^2-4x+4}$ = $\sqrt{x^2+4x+4}$

a) \(\sqrt{117,5^2-26,5^2-1440}=\sqrt{\left(117,5-26,5\right)\left(117,5+26,5\right)-1440}\)

\(=\sqrt{91.144-1440}=\sqrt{144\left(91-10\right)}=\sqrt{12^2.9^2}=12.9=108\)

b) \(\sqrt{146,5^2-109,5^2+27.256}=\sqrt{\left(146,5-109,5\right)\left(146,5+109,5\right)+27.256}\)

\(=\sqrt{37.256+27.256}=\sqrt{256\left(37+27\right)}=\sqrt{256.64}=\sqrt{16^2.8^2}=16.8=128\)

Từ B kẻ BD vuông góc với BD , cắt CA tại D. 

=> Tam giác BCD vuông tại B có đường trung tuyến AB

=> AB = AC = AD

Ta có : \(\begin{cases}AH\text{//}BD\\AC=AD\end{cases}\) => AH là đường trung bình của tam giác BCD

=> \(AH=\frac{1}{2}BD\Rightarrow AH^2=\frac{BD^2}{4}\Rightarrow BD^2=4AH^2\)

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông BDC có : 

\(\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{BD^2}\Leftrightarrow\frac{1}{BK^2}=\frac{1}{BC^2}+\frac{1}{4AH^2}\) 

he thuc lg la ra ngay

1) \(\frac{\sqrt{165^2-124^2}}{164}=\frac{\sqrt{\left(165-124\right)\left(165+124\right)}}{164}=\frac{\sqrt{41}\cdot\sqrt{289}}{164}=\frac{\sqrt{41}\cdot17}{164}=\frac{17}{4\sqrt{41}}\)

2) \(\frac{\sqrt{149^2-76^2}}{\sqrt{457^2-384^2}}=\frac{\sqrt{\left(149+76\right)\left(149-76\right)}}{\sqrt{\left(457+384\right)\left(457-384\right)}}=\frac{\sqrt{225}\cdot\sqrt{73}}{\sqrt{841}\cdot\sqrt{73}}=\frac{25}{29}\)