Cho hình bình hành ABCD, O là giao 2 đường chéo. E và F lần lượt là trung điểm OD và OB.
a) CM: AE // CF
b) Gọi K là giao của AE và DC. Cm DK = \(\frac{1}{2}\)KC
AI LÀM NHANH MÌNH TICK CHO CẢ TUẦN NHES. CAMON CACBAN NHIỀU
Cho hình bình hành ABCD, O là giao 2 đường chéo. E và F lần lượt là trung điểm OD và OB.
a) CM: AE // CF
b) Gọi K là giao của AE và DC. Cm DK = \(\frac{1}{2}\)KC
AI LÀM NHANH MÌNH TICK CHO CẢ TUẦN NHES. CAMON CACBAN NHIỀU
2/a. Có: E là trung điểm của AB(gt) => AE=1/2.AB
F là trung điểm của CD(gt) => CF=1/2.CD
Mà AB=CD (vì ABCD là hình bình hành và AB, CD là hai cạch đối nhau)
=> AE=CF
Lại có AB//CD (vì ABCD là hình bình hành và AB, CD là hai cạch đối nhau)
=> AE//CF (vì E thuộc AB, F thuộc CD)
Tứ giác AECF có: AE=CF (cmt) và AE//CF (cmt)
=> AECF là hình bình hành
b. Tam giác DCN có: F là trung điểm của CD(gt) và FM//CN (vì M thuộc AF, N thuộc CE và AF//CE)
=> M là trung điểm của DN (định lí 1 của bài đường trung bình của tam giác)
=> DM=MN (a)
Tam giác ABM có: E là trung điểm của AB(gt) và AM//EN (vì M thuộc AF, N thuộc CE và AF//CE)
=> N là trung điểm của MB
=> MN=NB (b)
Từ (a) và (b) => DM=MN=NB
- 3 lớp 7A, 7B, 7C cùng mua 1 số gói tăm từ thiện. Lúc đầu, số gói tăm dự định chia cho 3 lớp với tỷ lệ 5,6,7 nên có 1 lớp nhận nhiều hơn số gói dự định . Tính tổng số tăm đã mua của 3 lớp.
gọi số gói tăm từ thiện mỗi lớp nhận là x (gói)
gọi số gói tăm từ thiện lúc mỗi lớp nhận lúc đầu lần lượt là a,b,c (gói)
gọi số gói tăm từ thiện mỗi lớp nhận lúc sau lần lượt là m,p,q (gói)
theo đề bài ta có :a/5=b/6=c/7=a+b+c/5+6+7=a+b+c/18=x/18
m/4=p/5=q/6=m+p+q/4+5+6=m+p+q/15=x/15
suy ra : a=5x/18;b=6x/18;c=7x/18 (1)
m=4x/15;p=5x/15;q=6x/15 (2)
so sánh (1) và (2) ta thấy lớp thứ 3 là lớp mà lúc sau nhận nhiều hơn lúc trước 4 gói
suy ra :4 gói = 6x/15-7x/18=4 suy ra 36x/90=35x/90=4 suy ra x/90=4 suy ra x=360 gói
vậy tổng số gói mà cả 3 lớp nhận được là 360 gói
cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn : \(x+y+z=xyz\)
CMR : \(\frac{x}{1+x^2}+\frac{2y}{1+y^2}+\frac{3z}{1+z^2}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Từ giả thiết \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Khi đó \(\frac{x}{1+x^2}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{\frac{1}{x}}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)}=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự cho 2 cái còn lại ta có: \(\frac{y}{1+y^2}=\frac{xyz}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}\)
\(\frac{z}{1+z^2}=\frac{xyz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)
Suy ra \(VT=\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Đpcm
cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : \(a+b+c=2014\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2014}\)
tính giá trị của biểu thức : \(M=\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)
Từ giả thiết suy ra : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c^2+ac+bc}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\frac{c^2+ac+bc+ab}{ab\left(c^2+ac+bc\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{ab\left(c^2+bc+ac\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b=0\) hoặc \(b+c=0\) hoặc \(a+c=0\)
Nếu a + b = 0 thì c = 2014 thay vào M :
\(M=\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{\left(ab\right)^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}=\frac{\left(a+b\right).A}{\left(ab\right)^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)
\(=\frac{1}{c^{2013}}=\frac{1}{2014^{2013}}\) (A là một nhân tử trong phân tích a2013 + b2013 thành nhân tử)
Tương tự với các trường hợp còn lại.
Vậy \(M=\frac{1}{2014^{2013}}\)
Chứng minh với a,b,c là độ dài của 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 3 thì:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a-b+c}+\frac{1}{c-a+b}\ge3\)
Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}+\frac{p^2}{z}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{x+y+z}\)
được : \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a+c+a-b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
cho tứ giác ABCD . Gọi E,F lần lượt là giao điểm của AB,CD,AD và BC; M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AE,EC,CF,FA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
EP // MF (EP là đường trung bình trong ∆BAF) và EP = AF / 2 = MF => MENF là hình bình hành.
=> MP và EF cắt nhau tại trung điểm I.
FN // DE và FN = DE / 2 = QE => FQEN là hình bình hành => QN và EF cắt nhau tại trung điểm I
=> MP và QN cắt nhau tại trung điểm của chúng => MNPQ là hình bình hành
thanks Trần Việt Linh nhiều
mẹ Linh ơi, ai kiếm mẹ kìa Trần Việt Linh
nè mèo dễ thương quá yêu rồi . Kiếm đâu ra mèo đẹp thế
21) 125x3 -1
22) 4x4 - 9x2
23) 64x2 - 25y4
24) 4( a + b )2 - 9( a - b )2
25) 8( x + 1 )3 - 27( x - 1 )3
21) 125x3 -1
=125x3-13
=(5x-1)(25x2+5x+1)
22) 4x4 - 9x2
=x2(4x2-9)
=x2(4x2-32)
=x2(2x-3)(2x+3)
23) 64x2 - 25y4
=(8x)2-(5y2)2
=(8x-5y2)(8x+5y2)
24) 4( a + b )2 - 9( a - b )2
=22(a+b)2-32(a-b)2
=[2(a+b)]2-[3(a-b)]2
=[2(a+b)-3(a-b)][2(a+b)+3(a-b)]
=(2a+2b-3a+3b)(2a+2b+3a-3b)
=(5a-b)(5b-a)
25) 8( x + 1 )3 - 27( x - 1 )3
=23(x+1)3-33(x-1)3
=[2(x+1)]3-[3(x-1)]3
={[2(x+1)]-[3(x-1)}{[2(x+1)]2+[2(x+1)]*[3(x-1)]+[3(x-1)]2}
={2x+2-3x+3}{4x2+8x+4+6x2-6+9x2-18x+9}
=(5-x)(19x2-10x+7)
Cho tam giác ABC từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường song song với BC cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE=BF
a, Chứng minh tam giác AED cân
b, Chứng minh AD là phân giác góc A
a, Vì : ED//AB → ED//FB
EF//BC → EF//BD
Nên FEDB là hình bình hành → FB = ED
Mà AE = FB (gt) →AE = ED → Δ EAD là tam giác cân và cân tại E
b, Vì Δ EAD là tam giác cân tại E
nên ta có góc ADE = góc DAE(1)
VÌ DE // AB nên ta có góc ADE =góc BAD (2)
Từ (1) và (2) ta có góc DAE =góc BAD
hay AD là phân giác của góc A
Tìm x ; y sao cho
A = 2x2 + 9y2 - 6xy - 6x - 12xy + 2010 đạt giá trị nhỏ nhất
B = -x2 + 2xy - 4y + 2x + 10y - 8 đạt giá trị lớn nhất