Ôn tập Tam giác

Bài 2 :

Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(\text{ ΔABC cân tại A}\right)\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABM}+\widehat{ABC}=180^{^O}\\\widehat{ACN}+\widehat{ACB}=180^{^O}\end{matrix}\right.\left(Kềbù\right)\)

Suy ra : \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(vì180^{^O}-\widehat{ABC}=180^{^O}-\widehat{ACB}\right)\)

Xét \(\Delta ABM,\Delta ACN\) có :

\(AB=AC\left(\text{ ΔABC cân tại A}\right)\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)

\(BM=CN\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta HBM,\Delta KCN\) có :

\(\widehat{MHB}=\widehat{NCK}\left(=90^o\right)\)

\(MB=NC\) (gt)

\(\widehat{HMB}=\widehat{KNC}\) (do \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\))

=> \(\Delta HBM=\Delta KCN\left(g.c.g\right)\)

=> \(\widehat{HBM}=\widehat{KCN}\) (2 góc tương ứng) (1)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HBM}=\widehat{OBC}\left(2\right)\\\widehat{KCN}=\widehat{OCB}\left(3\right)\end{matrix}\right.\left(\text{đối đỉnh}\right)\)

Từ (1) (2) và (3) => \(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

Do đó : \(\Delta OBC\) cân tại O (đpcm)

Xét \(\Delta AMB,\Delta ANC\) có :

Bài 2: 

a: Xét tứ gíac ABDC có

M là trung điểm của AD 

M là trung điểm của BC

Do đó: ABDC là hình bình hành

mà góc BAC=90 độ

nên ABDC là hình chữ nhật

Suy ra: AB=CD và AB//CD
b: Xét ΔABC và ΔCDA có

AB=CD
BC=DA

AC chung

Do đó: ΔABC=ΔCDA

Suy ra: BC=DA
hay AM=1/2BC

c: Xét tứ giác AEBD có

AE//BD

AE=BD

Do đó; AEBD là hình bình hành

Suy ra: BE//AD

hay AM//BE

d: Để AC=BC/2 thì 

e: Ta có: ADBE là hình bình hành

nên AB cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>E,O,D thẳng hàng

a/ \(\Delta ABC\) cân tại A

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{B}=\widehat{C}\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta ABM;\Delta ACM\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{B}=\widehat{C}\\AMchung\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-g-c\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)

Mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\left(kềbuf\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

\(\Leftrightarrow AM\perp BC\left(đpcm\right)\)

b/ Ta có :

\(MB=MC=\dfrac{BC}{2}\) (M là trung điểm của BC)

\(\Leftrightarrow MB=MC=\dfrac{10}{2}=5cm\)

Xét \(\Delta AMB\) có \(\widehat{AMB}=90^0\)

\(\Leftrightarrow AB^2=AM^2+MB^2\) (định lí Py ta go)

\(\Leftrightarrow13^2=AM^2+5^2\)

\(\Leftrightarrow AM^2=13^2-5^2\)

\(\Leftrightarrow AM^2=144\)

\(\Leftrightarrow AM=12cm\)

c/ Xét \(\Delta BHM;\Delta CKM\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BHM}=\widehat{CKM}=90^0\\MB=MC\\\widehat{B}=\widehat{C}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta BHM=\Delta CKM\left(ch-gn\right)\)

\(\Leftrightarrow MH=MK\)

a: Xét ΔABK vuông tại A và ΔIBK vuông tại I có

BK chung

\(\widehat{ABK}=\widehat{IBK}\)

Do đó ΔABK=ΔIBK

b: Ta có: \(\widehat{CAI}+\widehat{BAI}=90^0\)

\(\widehat{HAI}+\widehat{BIA}=90^0\)

mà \(\widehat{BAI}=\widehat{BIA}\)

nên \(\widehat{CAI}=\widehat{HAI}\)

hay AI là phân giác của góc HAC

c: \(\widehat{AFK}=\widehat{BFH}=90^0-\widehat{KBC}\)

\(\widehat{AKF}=90^0-\widehat{ABK}\)

mà \(\widehat{KBC}=\widehat{ABK}\)

nên \(\widehat{AFK}=\widehat{AKF}\)

hay ΔAFK cân tại A

a: Xét tứ giác ABNC có

M là trung điểm của AN

M là trung điểm của BC

Do đó; ABNC là hình bình hành

Suy ra: CN//AB

b: Xét ΔABC và ΔNCB có

AB=NC

BC chung

AC=NB

Do đó:ΔABC=ΔNCB

Hình ảnh chỉ mang tính chất minh học

a) Xét \(\bigtriangleup CBO\) và \(\bigtriangleup HBO\) :

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \widehat{BCO}=\widehat{BHO}=90^{\circ} & & & \\ BO:canhchung & & & \\ \widehat{CBO}=\widehat{HBO}(gt) & & & \end{matrix}\right.\)

Vậy: \(\bigtriangleup CBO=\bigtriangleup HBO(ch-gn)\)

câu b coi lại đề

Bổ sung thêm câu a

Ta có: \(OH\perp BA\)

=> \(\widehat{BHO}=90^{\circ}\)