Ôn tập phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1 :

\(\dfrac{x+4}{x^2-9}-\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{4x}{3x-x^2}\) ( ĐK : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne-3\\x\ne3\end{matrix}\right.\) )

\(\Leftrightarrow\dfrac{x\left(x+4\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{2x\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{-4x\left(x+3\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+4\right)-2x\left(x-3\right)=-4x\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x-2x^2+6x+4x^2+12x=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+22x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(3x+22\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\3x+22=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(L\right)\\x=-\dfrac{22}{3}\left(N\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=-\dfrac{22}{3}\)

Bài 2 : \(x\left(x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=42\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)\left(x^2+x+1\right)=42\)

Đặt \(x^2+x=t\) . Phương trình trở thành :

\(t\left(t+1\right)=42\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-42=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-6\right)\left(t+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-6=0\\t+7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=6\\t=-7\end{matrix}\right.\)

Với \(t=6\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=6\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Với \(t=-7\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=-7\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+7=0\)

---> Phương trình vô nghiệm !

Vậy \(x=-3;x=2\)

\(x^8-97x^4+1296=0\)

\(\Leftrightarrow x^8-81x^4-16x^4+1296=0\)

\(\Leftrightarrow x^4\left(x^4-81\right)-16\left(x^4-81\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-81\right)\left(x^4-16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^4-81=0\\x^4-16=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^4=81\\x^4=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm3\\x=\pm2\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có tập nghiệm S = {-3;-2;2;3}

\(\dfrac{\left(x+1\right)^3-1}{\left(x-1\right)^3+1}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+1\right)^3-1-\left(x-1\right)^3-1}{\left(x-1\right)^3+1}=0\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\left[\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right)+\left(x-1\right)^2\right]-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1+x^2-1+x^2-2x+1-1=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt[]{3}}\)

vây..............

Đặt \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=t\ge0\)

\(\Rightarrow t^2=x+1+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+4-x=2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=\dfrac{t^2-5}{2}\)

Thay vào phương trình ta được:

\(t+\dfrac{t^2-5}{2}=5\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-5\left(loại\right)\\t=3\left(t/m\right)\end{matrix}\right.\)

Với t = 3 thì \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=3\)

\(\Leftrightarrow x+1+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+4-x=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left(x+1\right)\left(4-x\right)=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le4\\\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{0;3\right\}\) là tập nghiệm của phương trình.

Hoàng Thị Ngọc Anh em có cách này nè:) Nhưng hơi lâu (đặt thôi:v) Và em cũng ko chắc đâu:(

ĐK: \(-1\le x\le4\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=a\ge0;\sqrt{4-x}=b\ge0\)

Suy ra a² + b² = 5

Theo đề bài ta có hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+ab=5\\a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=5-\left(a+b\right)\left(1\right)\\\left(a+b\right)^2=5+2ab\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Thay (1) vào (2) suy ra \(\left(a+b\right)^2=5+2\left[5-\left(a+b\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)-15=0\)

Đặt a + b = t > 0 (vì \(\sqrt{x+1}=a\ge0;\sqrt{4-x}=b\ge0\) và a, b ko thể đồng thời bằng 0). Đây là pt bậc 2 ẩn t. Giải ra ta được: \(\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-5\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

t = 3 hay a + b = 3. Thay vào (1) suy ra ab = 5 - (a+ b) = 5 - 3 = 2

Ta được hệ \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab=2\end{matrix}\right.\).Theo hệ thức Viet đảo, a; b là hai nghiệm của pt:

\(y^2-3y+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Với \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=4\\4-x=1\end{matrix}\right.\left(\text{thay cái đặt ban đầu vào rồi bình phương}\right)\Leftrightarrow x=3\) (TM)

Với \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\4-x=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\) (TM)

Vậy S = {0;3} là tập hợp nghiệm của pt

Khi Điều kiện: \(- 1 \le x \le 4\)

Đặt: \(t = \sqrt {x + 1} + \sqrt {4 - x} > 0 \Rightarrow 5 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)} = {t^2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(t + \dfrac{{{t^2} - 5}}{2} = 5 \Rightarrow {t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 3\\ t = - 5\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)