Cho đg tròn (O) bk R và dây AB cố định ( AB< 2R) .Gọi C là điểm chính giữa cung lớn AB, M là dây AB, N là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (N khác B,C). Qua A kẻ đg thảng vuông góc với NC tại H cát tia BN tại D
a.A,M,H,C cung thuộc 1 đường tròn
b. Tam giác AND cân
c. Tìm vị trí điểm N để chu vi tam giác AND lớn nhất.
Cho phương trình \(x^2-x+m=0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) sao cho \(x_1< x_2< 2\)Giúp mình bài này với ạ. MÌnh cảm ơn nhiều !
Người ta bỏ một quả cầu bằng sắt (đồng chất) vào hồ nước hình lập phương chứa đầy nước. Khi quả sắt tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương, lượng nước tràn ra ngoài người ta đo được 90cm3.
a) Tính khối lượng của quả sắt. Biết rằng sắt có khối lượng riêng là 7800kg/m3.
b) Tính thể tích của hồ nước.
(các kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Giải phương trình:\(\sqrt{8x+1}+\sqrt{46-10x}=-x^3+5x^2+4x+1\)
Lời giải:
ĐKXĐ: \(\frac{23}{5}\geq x\geq \frac{-1}{8}\)
PT \(\Leftrightarrow (\sqrt{8x+1}-3)+(\sqrt{46-10x}-6)=-x^3+5x^2+4x-8\)
\(\Leftrightarrow \frac{8x-8}{\sqrt{8x+1}+3}-\frac{10x-10}{\sqrt{46-10x}+6}=(x-1)(-x^2+4x+8)\)
\(\Leftrightarrow (x-1)\left[\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}-\frac{10}{\sqrt{46-10x}+6}+x^2-4x-8\right]=0\)
Xét \(\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}-\frac{10}{\sqrt{46-10x}+6}+x^2-4x-8\). Với mọi $x$ thuộc ĐKXĐ ta có:
\(\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}\leq \frac{8}{3}\)
\(\frac{10}{\sqrt{46-10x}+6}>0\)
\(\frac{23}{5}\geq x\geq \frac{-1}{8}\Rightarrow 5>x>-1\Rightarrow (x+1)(x-5)< 0\)
\(\Rightarrow x^2-4x-8< -3\)
Do đó: \(\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}-\frac{10}{\sqrt{46-10x}+6}+x^2-4x-8< \frac{8}{3}+(-3)< 0\)
Suy ra $x-1=0\Rightarrow x=1$ là nghiệm duy nhất.
\(-0,5x^2-3,5x+2,5=0\)
giải
\(-0,5x^2-3,5x+2,5=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+7x-5=0\)
Δ = 49 + 4.5.1 = 69 > 0
Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt :
\(x_1=\frac{-7+\sqrt{69}}{2}=\frac{\sqrt{69}-7}{2}\)
\(x_2=\frac{-7-\sqrt{69}}{2}=-\frac{7+\sqrt{69}}{2}\)
Chứng minh rằng
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
Lời giải:
Phải thêm điều kiện $a,b,c>0$ nữa bạn nhé
Ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a-b-c\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}-(2a-b)+\frac{b^2}{c}-(2b-c)+\frac{c^2}{a}-(2c-a)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2-2ab+b^2}{b}+\frac{b^2-2bc+c^2}{c}+\frac{c^2-2ac+a^2}{a}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-a)^2}{a}\geq 0\)
(luôn đúng với mọi $a,b,c>0$)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Hoặc có thể sử dụng BĐT Cauchy như sau:
\(\frac{a^2}{b}+b\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}=2a\)
\(\frac{b^2}{c}+c\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{c}.c}=2b\)
\(\frac{c^2}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{c^2}{a}.a}=2c\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+(a+b+c)\geq 2(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Cho x,y,z >0 và x+y+z=3.Chứng minh \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\)
đặt A=\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}\) +\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}\) +\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)=\(\frac{1}{x}\)-\(\frac{1}{x+1}\)+\(\frac{1}{y}\)-\(\frac{1}{y+1}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{z+1}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) (bạn tự chứng minh nha,quy đồng ,nhân chéo ,chuyển về )⇒\(\frac{1}{a+b}\) ≤\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))
⇒A≥\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)+3)
⇒A≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\))-\(\frac{3}{4}\)≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{9}{x+y+z}\))-\(\frac{3}{4}\)
⇒a≥\(\frac{9}{4}\)-\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{3}{2}\) dpcm
