Ôn tập phương trình bậc hai một ẩn

Lời giải

\(\Delta'=\left(m+4\right)^2-m^2+8=16m+24=8\left(2m+3\right)\)

Điều kiện tồn tại \(x_1;x_2\Rightarrow m\ge-\dfrac{3}{2}\)

Với m>=-3/2

ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+4\right)\left(1\right)\\x_1.x_2=m^2-8\left(2\right)\end{matrix}\right.\) Vói m>=-3/2 => m+4 >0\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2=4\left(m^2+8m+16\right)=4m^2+4\left[4.2\left(m+4\right)-16\right]=4m^2+16\left(x_1+x_2\right)-4.16\left(3\right)\)Lấy(3) trừ (2) nhân 4

\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=16\left(x_1+x_2\right)-4.16+4.8\)( *)

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{3}{2}\\\left(x_1-x_2\right)^2-16\left(x_1+x_2\right)+32=0\end{matrix}\right.\)

( *) chính là hệ thức cần tìm --> có thể biến đổi tùy ý

Kiểm tra số liệu cộng trừ nhân chia

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(x^2-mx+2=0\) (ĐK:\(m>2\sqrt{2};m< -2\sqrt{2}\) để cho đenta >0)

Giải phương trình trên ta được \(x_1=\dfrac{m+\sqrt{m^2-8}}{2};x_2=\dfrac{m-\sqrt{m^2-8}}{2}\)

thay \(x_1,x_2\) vào (P) ta được\(y_1=\dfrac{m^2+m^2-8+2m\sqrt{m^2-8}}{4}\\ y_2=\dfrac{m^2+m^2-8-2m\sqrt{m^2-8}}{4}\)

Ở đây \(y_1\),\(y_2\) là \(y_A,y_B\) và x cũng vậy

Theo đề bài ta có:\(y_A+y_B=2\left(x_A+x_B\right)-1\\ \Leftrightarrow m^2-4=2m-1\\ \Leftrightarrow m^2-2m-3=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=-1\left(kotmdk\right)\\m_2=3\left(tmđk\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy với m=3 thì .......

Xét phương trình hoành độ của (p) và (d):

\(x^2=mx-2\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+2=0\left(1\right)\)

Xét phương trình (1) có:

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4.1.2\)

= \(m^2-8\)

Để (p) cắt (d) tại 2 điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow m^2-8>0\Leftrightarrow\left(m-2\sqrt{2}\right)\left(m+2\sqrt{2}\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m-2\sqrt{2}>0\\m+2\sqrt{2}>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m-2\sqrt{2}< 0\\m+2\sqrt{2}< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m>2\sqrt{2}\\m>-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m< 2\sqrt{2}\\m< -2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\sqrt{2}\\m< -2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy để (p) cắt (d) tại 2 điểm thì \(m>2\sqrt{2}\) hoặc \(m< -2\sqrt{2}\)

Xét phương trình (1), áp dụng công thức nghiệm ta có:

\(x_A=\dfrac{m+\sqrt{\Delta}}{2}\Rightarrow y_A=\dfrac{\left(m+\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}\)

\(x_B=\dfrac{m-\sqrt{\Delta}}{2}\Rightarrow y_B=\dfrac{\left(m-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}\)

Theo đề bài ta có:

\(y_A+y_B=2\left(x_A+x_B\right)-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+\sqrt{\Delta}\right)^2+\left(m-\sqrt{\Delta}\right)^2}{4}=2\left(\dfrac{m+\sqrt{\Delta}+m-\sqrt{\Delta}}{2}\right)-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m^2+2\Delta}{4}=2m-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2+\Delta}{2}=2m-1\)

\(\Leftrightarrow m^2+\Delta-4m+2=0\) (2)

Thay \(\Delta=m^2-8\) vào phương trình (2) ta được:

\(m^2+m^2-8-4m+2=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-4m-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3=0\\m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\left(tm\right)\\m=-1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy với m=3 thì (p) cắt (d) tại 2 điểm \(A_{\left(x_A;y_A\right)},B_{\left(x_B;y_B\right)}\) thỏa mãn

\(y_A+y_B=2\left(x_A+x_B\right)-1\)

Phương trình hoành độ giao điềm

x^2 -mx+2 =0

(P) cắt (d) cần \(\Delta=\) m^2 -8 >=0 => \(\left[{}\begin{matrix}m\le-2\sqrt{2}\\m\ge2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(y_a+y_b=\left(x_a^2+x_b^2\right)=\left(x_a+x_b\right)^2-2x_ax_b\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_a+x_b=m\\x_ax_b=2\end{matrix}\right.\)

Từ điều kiện đầu bài

\(\Leftrightarrow m^2-4=2m-1\)

\(m^2-2m-3=0\)\(\left(a-b+c\right)=0\)

m=-1 loại

hoặc

m=3 (nhận)

a,Ta có: \(\Delta^'=b^{'^2}-ac=\left(-2\right)^2+m^2+1=m^2+5\)

Vì \(m^2\ge0\forall m\)

Nên \(m^2+5>0\forall m\)

Hay \(\Delta^'>0\)

Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân với mọi giá trị của m

a; \(\Delta\)' =(-2)²-1.(-m²-1)\(\Leftrightarrow\)4+m²+1\(\Leftrightarrow\)m²+5

ta có : m²\(\ge\)0 \(\forall\)m\(\Leftrightarrow\)m²+5\(\ge\)5>0 \(\forall\)m

\(\Leftrightarrow\) pt trên luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall\)m (đpcm)

b; theo vi ét ta có : x₁+x₂=4 (1)

theo đề ta có : 2x₁+3x₂=13 (2)

từ (1)và(2)ta có hệ pt:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\2x_1+3x_2=13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2x_1+2x_2=8\\2x_1+3x_2=13\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=5\\x_1+x_2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=5\\x_1+5=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_2=5\\x_1=-1\end{matrix}\right.\)

A= x₁²+x₂² thay số \(\Leftrightarrow\) A= (-1)²+(5)²=1+25

A=26

vậy với 2x₁+3x₂=13 thì A=x₁²+x₂²=26

Vì điểm \(A_{\left(-2;b\right)}\) thuộc đồ thị hàm số \(y=0,5x^2\)

\(\Rightarrow b=0,5.\left(-2\right)^2=2\)

Vậy b=2

a/ Thay m=-1 vào phương trình (1) ta được:

\(x^2-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy khi m=-1 thì phương trình (1) có \(S=\left\{2;-1\right\}\)

b/ Xét phương trình (1) có

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4.2m\)

= \(m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Ta có: \(\left(m-2\right)^2\ge0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\Delta\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\) Phương trình (1) có 2 nghiệm với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1.x_2=2m\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\le5\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2m\le5\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1-\sqrt{2}\right)\left(m+1+\sqrt{2}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m+1-\sqrt{2}\ge0\\m+1+\sqrt{2}\le0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m+1-\sqrt{2}\le0\\m+1+\sqrt{2}\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m\ge-1+\sqrt{2}\\m\le-1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m\le-1+\sqrt{2}\\m\ge-1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1+\sqrt{2}\le m\le-1-\sqrt{2}\left(ktm\right)\\-1-\sqrt{2}\le m\le-1+\sqrt{2}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

vậy để phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\le5\) thì \(-1-\sqrt{2}\le m\le-1+\sqrt{2}\)

mày ó

c cứt à????<3

a. vs m=-1 ,thay vào pt(1) ,ta đc :

x^2 -(-1+2)x +2.(-1) =0

<=>x^2 -x-2 =0

Có : đenta = (-1)^2 -4.(-2) =9 >0

=> căn đenta =căn 9 =3

=> X1 =2 ; X2=-1

Vậy pt (1) có tập nghiệm S={-1;2}

tổng và tích cái gì của phương trình đã cho mới đc chứ bạn

= \(\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)+x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)-x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

= \(\dfrac{x+3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{-x+3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}-1}\)

= \(\left(\sqrt{x}+2\right)\left(2-\sqrt{x}\right)=4-x\)

= \(\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)+x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}:\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)-x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

= \(\dfrac{x+3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}:\dfrac{-x+3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+1}.\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2-\sqrt{x}\right)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+2}{2-\sqrt{x}}\)

\(\left(2+\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\left(2-\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

=\(\left(\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\left(\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

=\(\left(\dfrac{2\sqrt{x}+2+x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\left(\dfrac{2\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\)

=\(\dfrac{3\sqrt{x}+2+x}{\sqrt{x}+1}\times\dfrac{3\sqrt{x}-2-x}{\sqrt{x}-1}\)

=\(\dfrac{5x-4-x^2}{x-1}\)

=\(\dfrac{-x^2+x+4x-4}{x-1}\)

=\(\dfrac{-x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)}{x-1}\)

=\(\dfrac{\left(x-1\right)\left(4-x\right)}{x-1}\)

=\(4-x\)