Ôn tập phép nhân và phép chia đa thức

c) \(xy(x-y)+yz(y-z)+xz(z-x)\)

\(=xy(x-y)-yz[(x-y)+(z-x)]+zx(z-x)\)

\(=(xy-yz)(x-y)+(zx-yz)(z-x)\)

\(=y(x-z)(x-y)+z(x-y)(z-x)\)

\(=(x-y)(z-x)(z-y)\)

d) \(x^4+4a^4=(x^2)^2+(2a^2)^2\)

\(=(x^2)^2+(2a^2)^2+2x^2.2a^2-4x^2a^2\)

\(=(x^2+2a^2)^2-(2xa)^2\)

\(=(x^2+2a^2-2ax)(x^2+2a^2+2ax)\)

e)

\(x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1\)

\(=x^2(x^3-1)+x^2+x+1\)

\(=x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)\)

\(=(x^2+x+1)[x^2(x-1)+1]=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)\)

f)

\(x^4+2013x^2+2012x+2013\)

\(=x^4-x+2013x^2+2013x+2013\)

\(=x(x^3-1)+2013(x^2+x+1)\)

\(=x(x-1)(x^2+x+1)+2013(x^2+x+1)\)

\(=(x^2+x+1)[x(x-1)+2013]=(x^2+x+1)(x^2-x+2013)\)

a)

\((a+b+c)^2+(a+b-c)^2-4c^2\)

\(=(a+b+c)^2+(a+b-c)^2-(2c)^2\)

\(=(a+b+c)^2+(a+b-c-2c)(a+b-c+2c)\)

\(=(a+b+c)^2+(a+b-3c)(a+b+c)\)

\(=(a+b+c)(a+b+c+a+b-3c)=(a+b+c)(2a+2b-2c)\)

\(=2(a+b+c)(a+b-c)\)

b) \(x^2-y^2+2x-4y-3\)

\(=(x^2+2x+1)-(y^2+4y+4)\)

\(=(x+1)^2-(y+2)^2\)

\(=[(x+1)-(y+2)][(x+1)+(y+2)]\)

\(=(x-y-1)(x+y+3)\)

Lời giải:

Áp dụng định lý Bê-du về phép chia đa thức, dư khi chia $x^8$ cho $x+\frac{1}{2}$ là \((-\frac{1}{2})^8=\frac{1}{2^8}\)

Do đó: \(x^8=(x+\frac{1}{2})B(x)+\frac{1}{2^8}\)

\(\Rightarrow B(x)=\frac{x^8-\frac{1}{2^8}}{x+\frac{1}{2}}=(x-\frac{1}{2})(x^2+\frac{1}{2^2})(x^4+\frac{1}{2^4})\)

Tiếp tục áp dụng định lý Bê-du, dư khi chia $B(x)$ cho $x+\frac{1}{2}$ là $B(-\frac{1}{2}$

Do đó:

\(r_2=B(\frac{-1}{2})=(\frac{-1}{2}-\frac{1}{2})[(-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2^2}][(-\frac{1}{2})^4+\frac{1}{2^4}]=-\frac{1}{16}\)

Lời giải:

Áp dụng định lý Bê-du về phép chia đa thức, dư khi chia $x^8$ cho $x+\frac{1}{2}$ là \((-\frac{1}{2})^8=\frac{1}{2^8}\)

Do đó: \(x^8=(x+\frac{1}{2})B(x)+\frac{1}{2^8}\)

\(\Rightarrow B(x)=\frac{x^8-\frac{1}{2^8}}{x+\frac{1}{2}}=(x-\frac{1}{2})(x^2+\frac{1}{2^2})(x^4+\frac{1}{2^4})\)

Tiếp tục áp dụng định lý Bê-du, dư khi chia $B(x)$ cho $x+\frac{1}{2}$ là $B(-\frac{1}{2}$

Do đó:

\(r_2=B(\frac{-1}{2})=(\frac{-1}{2}-\frac{1}{2})[(-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2^2}][(-\frac{1}{2})^4+\frac{1}{2^4}]=-\frac{1}{16}\)