Ôn tập: Phân thức đại số - Hỏi đáp

Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>0\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4\ge4\Rightarrow t\ge2\)

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)

\(\Rightarrow B=2\left(t^2-2\right)-5t+6=2t^2-5t+2\)

\(B=\left(2t-1\right)\left(t-2\right)\)

Do \(t\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t-1>0\\t-2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\ge0\)

\(B_{min}=0\) khi \(t=2\) hay \(x=y\)

vì x,y > 0 => x/y , y/x >0

Áp dụng bđt cô-si ta đc:

\(B\ge2.2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}-5.2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}+6=4-10+6=0\)

Min B = 0 khi : \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2}{y^2}=\frac{y^2}{x^2}\\\frac{x}{y}=\frac{y}{x}\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y\)

c, \(2x^2+10x+8\)

\(=\left(2x^2+2x\right)+\left(8x+8\right)\)

\(=2x\left(x+1\right)+8\left(x+1\right)\)

\(=\left(2x+8\right)\left(x+1\right)\)

d, \(9x^2+6x-8\)

\(=9x^2-6x+12x-8\)

\(=3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)\)

\(=\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)\)

f, \(4x^2-36x+56\)

\(=\left(4x^2-8x\right)+\left(28x+56\right)\)

\(=4x\left(x-2\right)+28\left(x-2\right)\)

\(=4\left(x-2\right)\left(x+7\right)\)

\(1-9x+27x^2-27x^3\\ =1^3-3\cdot1^2\cdot3x+3\cdot1\cdot9x^2-\left(3x\right)^3\\ =\left(1-3x\right)^3\)

1 − 9x + 27x^2 − 27x^3 = 1^3 − 3 ⋅ 1^2 ⋅ 3x + 3 ⋅ 1 ⋅ 9x^2 − (3x)^3 = (1−3x)^3

tick và theo dõi giúp mình nha

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2a+b=x^2\\ 2b+c=y^2\\ 2c+a=z^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3(a+b+c)\vdots 3\)

Vì một trong 3 số chính phương kể trên chia hết cho 3 nên giả sử \(2c+a=z^2\vdots 3\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\vdots 3\) (*)

Ta biết rằng một số chính phương khi chia 3 có dư 0 hoặc 1

Do đó Nếu \(x^2,y^2\) đều không chia hết cho 3 thì \(x^2+y^2\) chia 3 có thể có dư là 1,2 (trái với (*))

Từ đây suy ra \(x^2\vdots 3; y^2\vdots 3\).

Vậy \(x^2, y^2,z^2\vdots 3\) (1)

\(\Rightarrow x,y,z\vdots 3\) (do 3 là số nguyên tố)

\(\Rightarrow x^2, y^2,z^2\vdots 9\)

\(\Rightarrow 3(a+b+c)=x^2+y^2+z^2\vdots 9\Rightarrow a+b+c\vdots 3\) (2)

Từ (1);(2) suy ra:

\(\left\{\begin{matrix} x^2-(a+b+c)\vdots 3\\ y^2-(a+b+c)\vdots 3\\ z^2-(a+b+c)\vdots 3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-c\vdots 3\\ b-a\vdots 3\\ c-b\vdots 3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (a-c)(b-a)(c-b)\vdots 27\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)\vdots 27\)

Ta có đpcm.

a² -2a+b²+4b+4c²-4c+6=0

<=>(a²-2a+1)+(b²+4b+4)+(4c²-4c+1)=0

<=>(a-1)²+(b+2)²+(2c-1)²=0

\(\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\b+2=0\\2c-1=0\end{matrix}\right.\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=-2\\c=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(a^2-2a+b^2+4b+4c^2-4c+6=\)

\(=\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2+4b+4\right)+\left(4c^2-4c+1\right)\)= 0

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(2c-1\right)^2=0\)

Mà \(\left(a-1\right)^2+\left(b+2\right)^2+\left(2c-1\right)^2\ge0\left(\forall a;b;c\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2=0;\left(b+2\right)^2=0;\left(2c-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=1;b=-2;c=\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(H=\left(\frac{x+x^3}{1-x^2}-\frac{x-x^3}{1+x^2}\right):\left(\frac{1+x}{1-x}-\frac{1-x}{1+x}\right)\)

\(=\left(\frac{x\left(x^4+2x^2+1\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)}-\frac{x\left(x^4-2x^2+1\right)}{\left(1-x^2\right)\left(1+x^2\right)}\right):\left(\frac{\left(1+x\right)^2}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}-\frac{\left(1-x\right)^2}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}\right)\)

\(=\frac{x^5+2x^3+x-x^5+2x^3-x}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)}:\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}\)

\(=\frac{4x^3}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)}\cdot\frac{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}{4x}\)

\(=\frac{4x^3}{4x\left(1+x^2\right)}=\frac{4x^3}{4x^3+4x}\)

( x² + x + 1)( x² - x + 1)( x² - 1) [ sửa đề ]

= ( x - 1)(x² + x + 1)( x + 1)( x² - x + 1)

= ( x³ - 1)( x³ + 1)

= x⁶ - 1

\(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x^2-1\right)\) ( mình nghĩ đề là +1 chứ )

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(=\left[\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\right]\left[\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\right]\)

\(=\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)\)

\(=\left(x^3\right)^2-1^2\)

\(=x^6-1\)

ủa? Này của lớp 7 mak nhỉ??

Ta có x² + 2x + 2 = 0

⇔ x² + 2x + 1 + 1 = 0

⇔ (x + 1)² = -1

Mà (x + 1)² ≥ 0 mọi x

=> Pt vô nghiệm

Đk ta?

Lời giải:

Nếu $a$ là số tự nhiên không chia hết cho $5$ thì xét các TH sau:

+) \(a\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 1\pmod 5\)

+) \(a\equiv 2\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 4\pmod 5\)

+) \(a\equiv 3\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 9\equiv 4\pmod 5\)

+) \(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2\equiv 16\equiv 1\pmod 5\)

Như vậy, khi a là số không chia hết cho $5$ thì \(a^2\equiv 1,4\pmod 5\)

----------------------------------------

Ta có:

\(M=a^4(a^4-1)+4(a^4-1)\)

\(M=(a^4-1)(a^4+4)\)

Nếu \(a^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4-1\vdots 5\\ a^4+4\vdots 5\end{matrix}\right.\Rightarrow M=(a^4-1)(a^4+4)\vdots 25\)

Nếu \(a^2\equiv 4\pmod 5\) \(\Rightarrow a^4\equiv 16\equiv 1\pmod 5\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4-1\vdots 5\\ a^4+4\vdots 5\end{matrix}\right.\Rightarrow M=(a^4-1)(a^4+4)\vdots 25\)

Vậy trong mọi TH thì \(M\vdots 25\) (*)

Mặt khác:

\(M=(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)\)

Nếu a chẵn thì \(a^2-2a+2\vdots 2; a^2+2a+2\vdots 2\)

\(\Rightarrow M\vdots 4\)

Nếu a lẻ thì \(a-1\vdots 2; a+1\vdots 2\Rightarrow M\vdots 4\)

Vậy M luôn chia hết cho $4$ (**)

Từ (*) và (**) kết hợp với (25, 4) nguyên tố cùng nhau suy ra \(M\vdots 100\)