Ôn tập: Phân thức đại số - Hỏi đáp

\(4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=4x^2+1-8x+16x^2=20x^2-8x+1=20\left(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{20}\right)\)

\(=20\left[x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}+\frac{1}{100}\right]=20\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\ge\frac{1}{5}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)

BĐT$\Leftrightarrow 20x^2+5y^2\geq (4x+y)^2=16x^2+8xy+y^2\Leftrightarrow 2(x-y)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{5}$

Khai triển :

\(P=4x^2+4y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+8\)

Vì x,y dương

(+) AM-GM : \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+1\ge4x\\4y^2+1\ge4y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x^2+4y^2+2\ge4\left(x+y\right)=4\)

(+) AM-GM :\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}+4\ge\dfrac{4}{x}\\\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{4}{y}\end{matrix}\right.\)

(+) Hệ quả AM-GM :\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}\ge\dfrac{16}{x+y}=16\)

\(\Rightarrow4x^2+4y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+10\ge16+4\)

\(\Rightarrow P+2\ge20\)

\(\Rightarrow P\ge18\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy Min_P=18 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Có một cách khác đó là biến đổi và dùng cô si trực tiếp vào cái biểu thức trong ngoặc rồi dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel cho hai số (hơi phức tạp tí nhưng chắc không sao) -_-":

\(2x+\frac{1}{x}=4x+\frac{1}{x}-2x\ge2\sqrt{4x.\frac{1}{x}}-2x=4-2x\)

Từ đó suy ra \(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2\ge\left(4-2x\right)^2\).Tương tự: \(\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\left(4-2y\right)^2\)

Cộng theo vế suy ra \(P\ge\left(4-2x\right)^2+\left(4-2y\right)^2\ge\frac{\left(4-2x+4-2y\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left[8-2\left(x+y\right)\right]^2}{2}=\frac{6^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = ¹/₂

Vậy...

) Ta có m > n

nên: 8m > 8n (Nhân 2 vế của bđt với 8)

8m + (–2) > 5n + (–2) (Cộng 2 vế của bđt với –2)

\(\Leftrightarrow\) 8m – 2 > 8n – 2

Ta có:

m>n=>8m-2>8n-2

Chịu khó tự vẽ hình chút nhoa!

Vì tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng K= \(\dfrac{2}{3}\) nên ta có:

\(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{A'C'}{AC}\)\(=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{A'C'}{AC}\)

\(=\)\(\dfrac{A'B'+B'C'+A'C'}{AB+BC+AC}\) \(=\dfrac{C_{A'B'C'}}{C_{ABC}}\)\(=\dfrac{2}{3}\)

⇒ \(\dfrac{C_{A'B'C'}}{12}=\dfrac{2}{3}\) ⇒ C_A'B'C' = 8 (cm)

Vậy chu vi tam giác A'B'C' bằng 8 cm

\(P=x-5+\frac{1}{x-5}+17\ge2\sqrt{\frac{x-5}{x-5}}+17=19\)

\(\Rightarrow P_{min}=19\) khi \(x-5=1\Rightarrow x=6\)

Gọi độ dài quãng đường AB là x(km)(x>0)

=>Thời gian đi là: \(\dfrac{x}{15}\)

Thời gian về là: \(\dfrac{x}{20}\)

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi 45 phút=\(\dfrac{4}{3}\)h nên ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{15}-\dfrac{x}{20}=\dfrac{4}{3}\)

<=>\(\dfrac{4x}{60}-\dfrac{3x}{60}=\dfrac{20\times4}{60}\)

<=>\(4x-3x=80\)

<=>\(x=80\left(TM\right)\)

Vậy độ dài quãng đường AB là 80km.

Hình như nó cứ sao sao

⇔ \(\frac{a+1}{99}+1+\frac{a+2}{98}+1=\frac{a+3}{97}+1+\frac{a+4}{96}+1\)

⇔ \(\frac{a+100}{99}+\frac{a+100}{98}=\frac{a+100}{97}+\frac{a+100}{96}\)

⇔ (a+100)(\(\frac{1}{99}+\frac{1}{98}-\frac{1}{97}-\frac{1}{96}\)) = 0

mà \(\frac{1}{99}+\frac{1}{98}-\frac{1}{97}-\frac{1}{96}\) ≠ 0

⇒ a+100 = 0

⇒ a = -100

Vậy a=-100

a) xét ΔABC có QN // AB

⇒ NB/NC = AQ/QC ⁽¹⁾

xét ΔADC có MN // DC

⇒ AM/MD = AQ/QC ⁽²⁾

từ ⁽¹⁾ và ⁽²⁾ suy ra : NB/NC = 1/2

b) xét Δ ADC có MQ // DC

⇒ AM/AD = AQ/AC = MQ/DC = 1/3 ⇒ MQ = DC/3 = 17/3

xét ΔABC có QN // AB

⇒ NC/CB = CQ/CA = QN/AB = 2/3 = QN = 2HB/3 = 16/3

vậy MN = QN + QM = 17/3 + 16/3 = 33/3 = 11

+ \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\)

Dấu "=" <=> a=b.

Do đó : \(\left\{{}\begin{matrix}1+\dfrac{x^2}{y^2}\ge\dfrac{2x}{y}\forall x,y\\1+\dfrac{y^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{x}\forall x,y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{2y}{x}=4\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x}=1\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)( do a + b = 2 )

Vậy Min A = 4 <=> x = y = 1

Vì x + y = 2 và x, y nguyên dương nên \(x=y=1\)

Khi đó A = 4.

Vậy A_min = 4

Câu hỏi của Pham Hoàng Lâm - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

a, ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne-5\end{matrix}\right.\)

b, \(P=\dfrac{x^2}{5x+25}+\dfrac{2x-10}{x}+\dfrac{50+5x}{x^2+5x}\)

\(=\dfrac{x^2}{5\left(x+5\right)}+\dfrac{2\left(x-5\right)}{x}+\dfrac{5\left(x+10\right)}{x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x^2\cdot x}{5x\left(x+5\right)}+\dfrac{2\left(x-5\right)\cdot5\left(x+5\right)}{5x\left(x+5\right)}+\dfrac{5\left(x+10\right)\cdot5}{5x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x^3+10\left(x^2-25\right)+25x+250}{5x\left(x+5\right)}\)\(=\dfrac{x^3+10x^2-250+25x+250}{5x\left(x+5\right)}\)

\(=\dfrac{x^3+10x^2+25x}{5x\left(x+5\right)}=\dfrac{x\left(x^2+2\cdot x\cdot5+5^2\right)}{5x\left(x+5\right)}=\dfrac{x\left(x+5\right)^2}{5x\left(x+5\right)}=\dfrac{x+5}{5}\)

c, \(P=-4\Leftrightarrow\dfrac{x+5}{5}=-4\)

\(\Leftrightarrow x+5=-20\Leftrightarrow x=-25\)

d, \(P=\dfrac{x+5}{5}\Rightarrow\dfrac{1}{P}=\dfrac{5}{x+5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{P}\in Z\Leftrightarrow5⋮x+5\)

\(\Leftrightarrow x+5\inƯ\left(5\right)\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{-10;-6;-4;0\right\}\)

e, \(Q=P+\dfrac{x+25}{x+5}=\dfrac{x+5}{5}+\dfrac{x+25}{x+5}\)

=\(\dfrac{\left(x+5\right)^2+5\left(x+25\right)}{5\left(x+5\right)}=\dfrac{x^2+15x+150}{5\left(x+5\right)}=\dfrac{x\left(x+5\right)+10\left(x+5\right)+100}{5\left(x+5\right)}=x+2+\dfrac{50}{x+5}=\left[\left(x+5\right)+\dfrac{50}{x+5}\right]-3\ge2\sqrt{\left(x+5\right)\cdot\dfrac{50}{x+5}}-3=2\sqrt{50}-3=10\sqrt{2}-3\)

Dấu bằng khi \(\left(x+5\right)^2=50\Leftrightarrow x=5\sqrt{2}-5\left(x>0\right)\)