Ôn tập cuối năm phần số học - Hỏi đáp

Vì n lẻ

=> n có dạng 2k + 1 (k thuộc N)

Ta có :

n³ - n = (2k + 1)³ - (2k + 1) = (2k + 1).[(2k + 1)² - 1]

= (2k + 1).(2k + 2).2k

Vì 2k.(2k + 1).(2k + 2) là 3 số tự nhiên liên tiếp

Mà trong 3 số luôn tồn tại những số chia hết cho 2 ; 3 ; 4

=> 2k.(2k + 1)(2k + 2) chia hết cho 2.3.4 = 24

Ta có điều cần chứng minh

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c>0\left(1\right)\\ab+bc+ac>0\left(2\right)\\abc>0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Giả sử trong ba số a,b,c có một số âm hay bằng o . Giả sử số đó là a.

Khi đó : (1) ==> b + c > -a \(\ge\) 0 ==> a(b+c) \(\le0\)

Do đó : (2) ==> bc + a(b+c) > 0 ==> bc > -a ( b+c) \(\ge\) 0 . Mà a < 0 ==> abc < 0 (vô lí vì abc >0 do (3))

Vậy cả ba số a , b ,c đều dương

bình phuognw 2 vé rồi thu gọn là được

Sửa lại đề \(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\) (cái này có trong CHTT rồi nhé nhưng giờ bỗng dưng rảnh làm lại luôn đỡ mất công tìm)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(VP^2=\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)\)

\(\ge\left(\sqrt{a\cdot a'}+\sqrt{b\cdot b'}+\sqrt{c\cdot c'}\right)=VT^2\)

Tức là \(VP\ge VT\)

Xảy ra khi \(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(A^2=(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y})^2\)

\(\leq (x+y)(xy-x+xy-y)=(x+y)(2xy-x-y)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((x+y)(2xy-x-y)\leq \left (\frac{x+y+2xy-x-y}{2}\right)^2=(xy)^2\)

Do đó, \(A^2\leq (xy)^2\Leftrightarrow A\leq xy\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)

Bài 2:

a, \(x^{16}-1=\left(x^8\right)^2-1^2\)

\(=\left(x^8-1\right)\left(x^8+1\right)\)

\(=\left(x^4-1\right)\left(x^4+1\right)\left(x^8+1\right)\)

\(=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)\left(x^8+1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\left(x^4+1\right)\left(x^8+1\right)\)

b, \(x^6-y^6=\left(x^3\right)^2-\left(y^3\right)^2\)

\(=\left(x^3-y^3\right)\left(x^3+y^3\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

Chúc bạn học tốt!!!

Bài 1:

a, \(4x^2-25-\left(2x-5\right)\left(2x+7\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)-\left(2x-5\right)\left(2x+7\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(2x-5\right)\left(2x+5-2x-7\right)=0\)

\(\Rightarrow2x-5=0\Rightarrow x=\dfrac{5}{2}\)

b, \(2x^3+3x^2-2x-3=0\)

\(\Rightarrow2x^3-2x^2+5x^2-5x+3x-3=0\)

\(\Rightarrow2x^2\left(x-1\right)+5x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2+5x+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2+2x+3x+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left[2x\left(x+1\right)+3\left(x+1\right)\right]=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(2x+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+1=0\\2x+3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

c, \(x^3+27+\left(x+3\right)\left(x-9\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right)\left(x^2+3x+9\right)+\left(x+3\right)\left(x-9\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right)\left(x^2+3x+9+x-9\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right)\left(x^2+4x\right)=0\)

\(\Rightarrow x\left(x+3\right)\left(x+4\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+3=0\\x+4=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-3\\x=-4\end{matrix}\right.\)

Chúc bạn học tốt!!!

Lời giải:

Biến đổi:

\(H=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2-(x^2+y^2)+1}{x^2y^2}\)

\(=\frac{x^2y^2-(x+y)^2+2xy+1}{x^2y^2}=\frac{x^2y^2+2xy}{x^2y^2}=1+\frac{2}{xy}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow H=1+\frac{2}{xy}\geq 9\)

Do đó \(H_{\min}=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)