Ôn tập cuối năm phần số học - Hỏi đáp

áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có

\(\left(1+2^2\right)\left(x^2+4y^2\right)\ge\left(x+4y\right)^2\)

<=> \(5\left(x^2+4y^2\right)\ge1\)

<=> \(x^2+4y^2\ge\dfrac{1}{5}\) (đpcm)

\(\left(2x+3\right)\left(4x^2-6x+9\right)-2\left(4x^3-1\right)\)

\(=\left(2x+3\right)\left[\left(2x\right)^2-2x.3+3^2\right]-\left(8x^3+1\right)+3\)

\(=\left(2x\right)^3+3^3-\left[\left(2x\right)^3+1^3\right]+3\)

\(=3\)

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

\(\left(2x+3\right)\left(4x^2-6x+9\right)-2\left(4x^3-1\right)\)

\(=8x^3+27-8x^3+2\)

\(=29\)

Vậy biểu thức trên ko phụ thuộc biến x

Tham khảo:

Câu hỏi của Nguyễn Trần Tuấn Anh - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca+abc-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-ac\right)+\left(b-bc\right)+\left(-ab+abc\right)+\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+ab\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-a-b+ab+1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[b\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\right]\left(c-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(a-1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)(đpcm)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(\sqrt{y-2}\leq \frac{(y-2)+2}{2\sqrt{2}}=\frac{y}{2\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow x\sqrt{y-2}\leq \frac{xy}{2\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{x-3}\leq \frac{(x-3)+3}{2\sqrt{3}}=\frac{x}{2\sqrt{3}}\Rightarrow y\sqrt{x-3}\leq \frac{xy}{2\sqrt{3}}\)

Do đó:

\(M=\frac{x\sqrt{y-2}+y\sqrt{x-3}}{xy}\leq \frac{\frac{xy}{2\sqrt{2}}+\frac{xy}{2\sqrt{3}}}{xy}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\)

Vậy \(M_{\max}=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\) khi \(x=6;y=4\)

A) \(A^2+B^2\ge2AB\Leftrightarrow\left(A-B\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

B)\(A^2B=A\cdot A\cdot B;AB^2=A\cdot B\cdot B\)

áp dụng BĐT AM-GM

\(A\cdot A\cdot B\le\dfrac{A^3+A^3+B^3}{3};A\cdot B\cdot B\le\dfrac{A^3+B^3+B^3}{3}\)

cộng 2 vế của BĐT cho nhau

\(\Rightarrow A^2B+AB^2\le A^3+B^3\left(đpcm\right)\)

C)tương tự câu B) ta có

\(A^3B\le\dfrac{A^4+A^4+A^4+B}{4};AB^3\le\dfrac{A^4+B^4+B^4+B^{\text{4}}}{4}\)

cộng từng vế của BĐT ta có đpcm

|5x+3|-|2x-1|=4x

=>5x+3-2x-1=4x

=>(5x-2x)+(3-1)=4x

=>3x+2=4x

=>2=4x-3x

=>2=x

=>x=2

chắc sai quá

x=2

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :

\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow1\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)

Vậy GTNN của \(K=\dfrac{1}{3}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Cách 2 :

Theo BĐT Cô si dưới dạng engel ta có :

\(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{z^2}{1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\)

Vậy GTNN của \(K=\dfrac{1}{3}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Cách khác :

Áp dụng BĐT : \(\left(a-b\right)^2\) ≥ 0 ∀ab ⇔ \(a^2+b^2\) ≥ \(2ab\)

Ta có : \(x^2+y^2\) ≥ \(2xy\) ; \(y^2+z^2\) ≥ \(2yz\) ; \(z^2+x^2\) ≥ \(2xz\)

⇒ \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\) ≥ \(2\left(xy+yz+xz\right)\)

⇔ \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\) ≥ \(\left(x+y+z\right)^2\)

⇔ \(x^2+y^2+z^2\) ≥ \(\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)

⇒ \(K_{Min}=\dfrac{1}{3}\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

\(B=\sqrt{\frac{2019^2}{2019^2}+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\frac{\left(2018+1\right)^2}{2019^2}+\frac{2018^2}{2019^2}+2018^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\frac{1}{2019^2}+\frac{2018^2+2.2018+2018^2}{2019^2}+2018^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\frac{1}{2019^2}+2.2018.\frac{1}{2019}+2018^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(\frac{1}{2019}+2018\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\frac{1}{2019}+2018+\frac{2018}{2019}=2019\) là một số tự nhiên

\(B=\sqrt{1+2018^2+\frac{2018^2}{2019^2}}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{1^2+2018^2+\left(-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(1+2018-\frac{2018}{2019}\right)^2+2.\frac{2018}{2019}+2.\frac{2018^2}{2019}-2.2018}\)\(+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(1+2018-\frac{2018}{2019}\right)^2+2\left(\frac{2018+2018.2018-2018.2019}{2019}\right)}\)\(+\frac{2018}{2019}\)

\(B=\sqrt{\left(1+2018-\frac{2018}{2019}\right)^2}+\frac{2018}{2019}\)

\(B=1+2018-\frac{2018}{2019}+\frac{2018}{2019}=2019\)

Vậy B có giá trị là 1 số tự nhiên.

Câu 1:

b, \(Q=x^2+y^2-x+6y+10\)

\(Q=x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+y^2+3y+3y+9+\dfrac{3}{4}\)

\(Q=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Với mọi giá trị của x;y ta có:

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge0\)

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Hay \(Q\ge\dfrac{3}{4}\) với mọi giá trị của x;y

Để \(Q=\dfrac{3}{4}\) thì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=0\\y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy..............

Câu a;c tách như câu b,

Câu 2:

\(A=4x-x^2+3=-\left(x^2-4x-3\right)=-\left(x^2-2x-2x+4-7\right)\)

\(=-\left[\left(x-2\right)^2-7\right]\)

Với mọi giá trị của x ta có:

\(\left(x-2\right)^2-7\ge-7\)

\(-\left[\left(x-2\right)^2-7\right]\ge7\)

Hay \(A=7\) với mọi giá trị của x

Để \(A=7\) thì \(-\left[\left(x-2\right)^2-7\right]=7\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\)

Vậy..............

b,c làm tương tự

Chúc bạn học tốt!!!

\(A=x^4+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+2019\ge3\sqrt[3]{x^4.\frac{1}{x^2}.\frac{1}{x^2}}+2019=3+2019=2022\)

\(\Rightarrow A_{min}=2022\) khi \(x^4=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x=\pm1\)