Ôn tập cuối năm phần số học - Hỏi đáp

a.

3x - 2 = 2x - 3

<=> 3x -2x = -3+2

<=> x = -1

Vậy.............

b.

\(5-\left(x-6\right)=4\left(3-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow5-x+6=12-8x\)

\(\Leftrightarrow7x=1\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{7}\)

Vậy..........

Lời giải:

Cách 1:

Áp dụng BĐT S.Vacxo ta có:

\(\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\geq \frac{9}{1+xy+1+yz+1+xz}=\frac{9}{3+xy+yz+xz}(1)\)

Theo BĐT Cauchy ta có bổ đề quen thuộc:

\(xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2\leq 3(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1}\geq \frac{9}{3+xy+yz+xz}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Cách 2:

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:

\(\frac{1}{xy+1}+\frac{xy+1}{4}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{xy+1}.\frac{xy+1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{yz+1}+\frac{yz+1}{4}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{yz+1}.\frac{yz+1}{4}}=1\)

\(\frac{1}{xz+1}+\frac{xz+1}{4}\geq 2.\sqrt{\frac{1}{xz+1}.\frac{xz+1}{4}}=1\)

Cộng tất cả các BĐT trên theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1}\geq \frac{9-(xy+yz+xz)}{4}\geq \frac{9-3}{4}=\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{2}\)

\(\left(12x+7\right)^2\left(3x+2\right)\left(2x+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(144x^2+168x+49\right)\left(6x^2+7x+2\right)=3\)

\(\Leftrightarrow\left(144x^2+168x+49\right)\left(144x^2+168+48\right)=72\)

Đặt \(144x^2+168x+48=u\)

\(\Rightarrow144x^2+168x+49=u+1\left(1\right)\)

Do đó: \(u\left(u+1\right)=72\Leftrightarrow u^2+u-72=0\)

\(\Leftrightarrow\left(u-8\right)\left(u+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u-8=0\\u+9=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u=8\\u=-9\end{matrix}\right.\)

Với \(u=8;u=-9\) bạn thay vào (1) và tìm x nha.

Ta có :

a( ax +b ) = \(b^2\left(x-1\right)\)

\(\Rightarrow a^2x+ab-b^2x+b=0\)

\(\Rightarrow x\left(a^2-b^2\right)+b\left(a+1\right)=0\)

* Với \(a^2-b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-b\end{matrix}\right.\)

Ta có

x . 0 + b(a-1 ) = 0

=> b (a-1 ) = 0

Mà a= b hoặc a = -b

=> a =b = 1 hoặc a= b = 0

=> Với a = b = 1 hoặc a = b = 0 , ta được đẳng thức đúng => có vô số nghiệm x

* Với \(\left(a^2-b^2\right)\ne0\Leftrightarrow a\ne\pm b\)

Ta có

\(x\left(a^2-b^2\right)+b\left(a+1\right)=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-b\left(a+1\right)}{a^2-b^2}\)

Vậy : - Với \(a=\pm b\) , a = b = 0 ; a =b = 1 ; ta được \(x\in R\) là nghiệm của phương trình

- Với \(a\ne\pm b\), ta có \(x=\dfrac{-b\left(a+1\right)}{a^2-b^2}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a, b)

Vậy \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

có vấn đề-.-

Câu 3:

Gọi quãng đường AB là : x (x>0)

*Vận tốc ik từ A đến B là 45 km/h

Thời gian ik từ A đến B là \(\dfrac{x}{45}\) h

*Vận tốc ik từ B về A là 30 km/h

Thời gian ik từ B về A là \(\dfrac{x}{30}\) h

+ Tổng thời gian đi từ A đến B và từ B về A là :

6 giờ 30 phút - 30 phút = 6 giờ

+ Ta có phương trình :

\(\dfrac{x}{45}\) + \(\dfrac{x}{30}\) = 6

Giải phương trình trên ta được : x =108

Vậy quãng đường AB dài 108 km

Câu 4 :

Vì đáy của hình lăng trụ đứng là tam giác vuông.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông, ta được cạnh còn lại bằng :

\(x^2=5^2+12^2\rightarrow x=13\left(cm\right)\)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đó là :

\(S_{xq}=2p\cdot h=\left(5+12+13\right)\cdot8=240\left(cm^2\right)\)

Thể tích hình lăng trụ đó là :

\(V=S\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot12\cdot8=240\left(cm^3\right)\)

Ta có: a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1

⇒|a|≤1 |b|≤1 |c|≤1⇒|a|≤1 |b|≤1 |c|≤1

Ta lại có:

a3+b3+c3=a2+b2+c2a3+b3+c3=a2+b2+c2

⇔a2(1−a)+b2(1−b)+c2(1−c)=0⇔a2(1−a)+b2(1−b)+c2(1−c)=0

Vì 1−a≥0 1−b≥0 1−c≥0 1−a ≥0 1−b≥0 1−c≥0

⇒a2(1−a)+b2(1−b)+c2(1−c)≥0⇒a2(1−a)+b2(1−b)+c2(1−c)≥0

Dấu = xảy ra khi: (a,b,c)=(1,0,0;0,1,0;0,0,1)(a,b,c)=(1,0,0;0,1,0;0,0,1)

⇒S=1

Bài 1:

Gọi số cần tìm là \(\overline{ab}\) \(\left(a,b\subset N;0< a< 10;0\le b< 10\right)\)

Số viết theo thứ tự ngược lại là \(\overline{ba}\)

Vì số viết theo thứ tự ngược lại nhỏ hơn số đầu 18 đơn vị

=> \(\overline{ab}-\overline{ba}=18\)

<=> 10a+b-10b-a=18

<=> 9(a-b)=18

<=> a-b=2(1)

vì chữ số hàng đơn vị kém chữ số hàng chục 5don vi

=>a-b=5 (khac với (1))

Vậy không có số nào thỏa mãn

Bài 3:

Gọi khoảng cách \(AB\) là \(x (km)\)

Vận tốc xuôi dòng là: \(30 +3 = 33 (km/h)\)

Vận tốc ngược dòng là: \(30 - 3 = 27 (km/h)\)

Đổi: \(40'=\dfrac{2}{3}h\)

Theo đề ra ta có pt:

\(\dfrac{x}{33}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{x}{27}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9x}{297}+\dfrac{198}{297}=\dfrac{11x}{297}\)

\(\Leftrightarrow9x+198=11x\)

\(\Leftrightarrow2x=198\)

\(\Leftrightarrow x=99\)

Vậy khoảng cách \(AB\) là \(99 (km)\)

Gọi số chi tiết máy tổ 1 làm được trong tháng đầu là x (đk:x>0)

Khi đó số chi tiết máy tổ 2 làm được trong tháng đầu là 800-x

Tháng thứ 2, tổ 1 làm được \(\dfrac{15}{100}x\) = \(\dfrac{3}{20}x\)

Tháng thứ 2, tổ 2 làm được \(\dfrac{20}{100}\left(800-x\right)=\dfrac{1}{5}\left(800-x\right)\)

Cả hai tổ làm được: 945-800=145 (chi tiết máy)

Theo đề bài, ta có phương trình:

\(\dfrac{3}{20}x+\dfrac{1}{5}\left(800-x\right)=145\)

<=> \(\dfrac{3}{20}x+160-\dfrac{1}{5}x=145\)

<=> 3x + 3200 - 4x = 2900

<=> -x + 3200 = 2900

<=> -x = 2900 - 3200

<=> -x = -300

<=> x = 300 (TM)

Vậy số chi tiết máy tổ 1 làm được trong tháng đầu là 300 chi tiết máy.

số chi tiết máy tổ 2 làm được trong tháng đầu là 800-300=500 chi tiết máy.

Gọi x(chi tiết máy) là số chi tiết máy tháng đầu tổ 1 sản xuất được(0<x<800)

Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất đc trong tháng đầu là: 800- x (chi tiết máy)

Số chi tiết máy tổ 1 làm được trong tháng 2 là: x.115% = \(\dfrac{23x}{20}\) (chi tiết máy)

Số chi tiết máy tổ 2 làm được trong tháng 2 là: (800-x).120% = \(\dfrac{6\left(800-x\right)}{5}\) (chi tiết máy)

Do cả hai tổ sản xuất đc 945 chi tiết máy trong tháng 2 nên ta có phương trình:

\(\dfrac{23x}{20}\) + \(\dfrac{6\left(800-x\right)}{5}\) = 945

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{23x}{20}\) + \(\dfrac{24\left(800-x\right)}{20}\) = 945

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{23x+19200-24x}{20}=\dfrac{18900}{20}\)

\(\Leftrightarrow\) -x + 19200 = 18900

\(\Leftrightarrow\) -x = -300

\(\Leftrightarrow\) x = 300 (thỏa mãn)

Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu là: 800-300 = 500 (chi tiết máy)

Vậy.....................................

\(1h10min\) = \(\dfrac{7}{6}h\)

\(1h30min\) = \(\dfrac{3}{2}h\)

Theo đề bài, ta có:

\(v_x\) = \(v_1\) + \(v_2\)

\(\Leftrightarrow\)\(v_x\) = \(v_1\) + 2

\(\Rightarrow\)\(s_x\) = \(\left(v_1+2\right).\dfrac{7}{6}\)(1)

\(v_n\) = \(v_1\) - \(v_2\)

\(\Leftrightarrow\)\(v_n\) = \(v_1-2\)

\(\Rightarrow\)\(s_n\) = \(\left(v_1-2\right).\dfrac{3}{2}\)(2)

(1) và (2), suy ra:

\(\left(v_1+2\right).\dfrac{7}{6}\) = \(\left(v_1-2\right).\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{7}{6}v_1\) + \(\dfrac{7}{3}\) = \(\dfrac{3}{2}v_1\) - \(3\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{-1}{3}v_1\) = \(\dfrac{-16}{3}\)

\(\Leftrightarrow\)\(v_1\) = \(16\) (km/h)

Quãng đường thứ hai dài:

\(s_2\) = s - \(s_1\) = 163 - 43 = 120 (km)

Vận tốc ban đầu của xe thứ nhất:

\(t_s\) = \(t_{dđ2}\) - \(t_{tt2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{2}{3}\) = \(\dfrac{s_2}{v_1}\) - \(\dfrac{s_2}{1,2v_1}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{2}{3}\) = \(\dfrac{144}{1,2v_1}\) - \(\dfrac{120}{1,2v_1}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{2}{3}\) = \(\dfrac{24}{1,2v_1}\)

\(\Leftrightarrow\) \(2.1,2v_1\) = \(3.24\)

\(\Leftrightarrow\) \(v_1\) = \(\dfrac{3.24}{2.1,2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(v_1\) = \(30\) (km/h)

mà \(v_1\) = \(v_2\)

\(\Rightarrow\) \(v_2\) = \(30\) (km/h)

Đề sai nha . Phải là \(\left(a+b+c\right)^3\)

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - si với a ; b ; c dương , ta có :

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 )

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)