Ôn tập cuối năm phần số học - Hỏi đáp

x>y\(\ge\)0=>x-y>0 y+1>0

Đặt A=\(x+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}=\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}+\left(y+1\right)-1\)

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương ta có:

\(\left(x-y\right)+\dfrac{4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)4}{\left(x-y\right)\left(y+1\right)^2}}=\dfrac{4}{y+1}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: (x-y)²(y+1)²=4

<=>(x-y)(y+1)=2(do là các số dương)

=>A\(\ge\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)-1\)

Áp dụng cô-si tiếp ta được:

\(\dfrac{4}{y+1}+\left(y+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{y+1}\left(y+1\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (y+1)²=4 <=>y+1=2<=>y=1

=>A\(\ge4-1=3\)

Dấu "=" xảy ra khi (x-y)(y+1)=2 và y=1

<=>x=2 y=1

\(A=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}\)

Đặt: \(M=\dfrac{x}{x^2+1}\)

\(\Leftrightarrow M\left(x^2+1\right)=x\)

\(\Leftrightarrow Mx^2-x+M=0\left(1\right)\left(a=M,b=-1,c=M\right)\)

* Khi M = 0, pt (1) có nghiệm khi x = 0

* Khi M ≠ 0, pt (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\Delta=b^2-4ac\ge0\)

\(\Rightarrow\left(-1\right)^2-4.M.M\ge0\)

\(\Rightarrow-4M^2+1\ge0\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{2}\le M\le\dfrac{1}{2}\)

Suy ra: \(Max_M=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{1}{2.\dfrac{1}{2}}=1\)

Tương tự:

Đặt \(N=\dfrac{y}{y^2+1}\)

Max_N = \(\dfrac{1}{2}\) khi y = 1

Suy ra Max_A = Max_M + Max_N = \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(x=y=1\)

p/s: Mình chỉ làm thế thôi, ko chắc lắm, có gì sai sót xin bỏ qua ._.

Đặt \(\dfrac{x}{y}=a\Rightarrow\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{a}\)

Viết lại BĐT, ta được:

\(3\left(a+\dfrac{1}{a}\right)-\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\le4\)

\(\Leftrightarrow4-3\left(a+\dfrac{1}{a}\right)+\left(a^2+\dfrac{1}{a^2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4-3a-\dfrac{3}{a}+a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-3a+2+\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{3}{a}+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)+\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{a}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)+\dfrac{1-a}{a}.\dfrac{1-2a}{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left[a-2+\dfrac{2a-1}{a^2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^3-2a^2+2a-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^3-a^2+a-a^2+a-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left[a^2\left(a-1\right)-a\left(a-1\right)+a-1\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\ge0\) ( luôn đúng)

Dấu " = " xảy ra khi: \(a=1\Leftrightarrow x=y\)

1.

\(x+y=1\Rightarrow x=1-y\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=\left(1-y\right)^2+y^2=2y^2-2y+1=2\left(y^2-y+\dfrac{1}{2}\right)=2\left(y^2-2y\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(A_{Min}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

2.

Ta có:

\(B=\dfrac{1}{x^2y^2}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{y^2}=\dfrac{1}{x^2y^2}-\dfrac{y^2}{x^2y^2}-\dfrac{x^2}{x^2y^2}=\dfrac{1-\left(x^2+y^2\right)}{x^2y^2}\le\dfrac{1-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{4}\)

Vậy \(B_{Max}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Tui chỉ làm bừa thui nha. K chắc lắm. Thử lại đi

Giải:

\(7^{2x-1}=5.7^{20}+2.7^{20}\)

\(\Leftrightarrow7^{2x-1}=7^{20}\left(5+2\right)\)

\(\Leftrightarrow7^{2x-1}=7^{21}\)

\(\Leftrightarrow2x-1=21\)

\(\Leftrightarrow2x=22\)

\(\Leftrightarrow x=11\)

Vậy ...

Ta có: \(a+b+c+d=0\Rightarrow a+b=-c-d=-\left(c+d\right)\)

Do đó: \(\left(a+b\right)^3=-\left(c+d\right)^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3-3c^2d-3cd^2-d^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3=-c^3-3cd\left(c+d\right)-d^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3cd\left(c+d\right)-3ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3cd\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)\) (vì \(a+b=-\left(c+d\right)\))

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(a+b\right)\left(cd-ab\right)\)

Suy ra: \(a^3+b^3+c^3+d^3-3\left(a+b\right)\left(cd-ab\right)=0\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3+d^3-3\left(a+b\right)\left(cd-ab\right)=0\) với \(a+b+c+d=0\)

Giải:

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\y\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y\ne-2\\xy\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x+y+xy\ne-2+1\)

\(\Leftrightarrow x+y+xy\ne-1\)

Vậy ...

B=(x-2)(x-4)+3=x^2-6x+9=(x-3)^2>=0

=>(x-2)(x-4)+3 luôn dương với mọi x

C=(x^2+2x+1)+(4y^2-4xy+x^2)+4

= (x+1)^2+(2y-x)^2+4

ta có : (x+1)^2+(2y-x)^2 >=0 với mọi x,y

=> (x+1)^2+(2y-x)^2+4 >=4 với mọi x,y

do đó C luôn dương với mọi x,y

Hình:

Giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow90^0+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{A}\) (đpcm)

Vậy ...

Bạn làm bài kiểm tra hả sao nhiều bài tek. Mk làm mất khá nhiều tg luôn đó

Có một số câu thì mình không làm được. Mong bạn thông cảm!!!

Đặt \(A=n^3+3n^2+2n\)

\(A=n^3+3n^2+2n\\ =n^3+n^2+2n^2+2n\\ =n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\\ =\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên A chia hết cho 6(đpcm)

\(n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left[n\left(n+2\right)+\left(n+2\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và cho 3, mà (2,3)=1 nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 2.3=6 hay \(n^3+3n^2+2n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Giải:

Gọi quãng đường AB là a (km)

Điều kiện: a>0

Thời gian xe đi từ A đến B là \(\dfrac{a}{40}\left(h\right)\)

Thời gian xe đi từ B về A là \(\dfrac{a}{30}\left(h\right)\)

Đổi: \(45p'=\dfrac{3}{4}\left(h\right)\)

Ta có phương trình:

\(\dfrac{a}{30}-\dfrac{a}{40}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow a\left(\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{40}\right)=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow a.\dfrac{1}{120}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{4}:\dfrac{1}{120}\)

\(\Leftrightarrow a=90\) (thoả mãn)

Vậy ...

Cách khác :

Đổi : 45 phút = \(\dfrac{3}{4}\left(h\right)\)

Gọi thời gian lúc đi là : x ( x > 0 ; h)

Thời gian lúc về là : x + \(\dfrac{3}{4}\left(h\right)\)

Do quãng đường AB là đại lượng không đổi , ta có phương trình sau :

40x = 30(x + \(\dfrac{3}{4}\))

⇔ 10x = 22,5

⇔ x = \(\dfrac{9}{4}\) ( TM)

Vậy , độ dài quãng đường AB là : 40.\(\dfrac{9}{4}\) = 90 km

a, A= \(\left(2x+5\right)^3-30x\left(2x+5\right)-8x^3\)

A\(=8x^3+60x^2+150x+125-60x^2-150x-8x^3\)

A=125.

Vậy biểu thức A có giá trị là 125, không phụ thuộc vào biến x (đpcm).

b, B=\(\left(3x+1\right)^2+12x-\left(3x+5\right)^2+2\left(6x+3\right)\)

B=\(9x^2+6x+1+12x-9x^2-30x-25+12x+6\)

B=(6x+12x+12x-30x) + (1-25+6)

B= -18.

Vậy giá trị biểu thức B là -18, không phụ thuộc vào biến x.

a) \(A=\left(2x+5\right)^3-30x\left(2x+5\right)-8x^3\)

\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^3+3.\left(2x\right)^2.5+3.2x.5^2+5^3-\left(60x^2+150x\right)-8x^3\)

\(\Leftrightarrow8x^3+60x^2+150x+125-60x^2-150x-8x^3\)

\(\Leftrightarrow125\)

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x

b) \(B=\left(3x+1\right)^2+12x-\left(3x+5\right)^2+2\left(6x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3x\right)^2+2.3x.1+1^2+12x-\left[\left(3x\right)^2+2.3x.5+5^2\right]+12x+6\)

\(\Leftrightarrow9x^2+6x+1+12x-\left(9x^2+30x+25\right)+12x+6\)

\(\Leftrightarrow9x^2+6x+1+12x-9x^2-30x-25+12x+6\)

\(\Leftrightarrow1-25+6=-18\)

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x