Cho cho tam giác nhọn ABC. 2 đường cao BE và CF giao nhau tại H.
a) Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF và AF*AB= AE*AB
b) Chứng minh góc ACB=góc AFE
c) Chứng minh BH*BE+CH*CF=BC2
d) Kẻ AH vuông góc với BC tại D. Chứng minh \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CE}=1\)
a) Xét tam giác ABE và tam giác ACF có:
góc AEB = góc AFC (= 90 độ)
góc A chung
=> tam giác ABE \(\sim\) tam giác ACF (gg)
=> \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AF}{AE}\) (các cạnh t/ứng tỉ lệ)
=> AB . AE = AC . AF
a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có
gsoc A chung
Do đó: ΔABE đồng dạng với ΔACF
SUy ra: AE/AF=AB/AC
hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF;\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
b: Xét ΔAEF và ΔABC có
AE/AB=AF/AC
góc A chung
Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔaBC
Suy ra: góc AFE=góc ACB
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối tia CB lấy E. Trên tia đối tia DA lấy F sao cho AF= BE. Vẽ EH vuông góc BF tại H. Trên tia đối tia EH lấy K sao cho EK= BF. CM: A, C, K thẳng hàng.
tam giác ABC trung tuyến AM . Kẻ phân giác MD của tam giác ABM và phân giác ME của tam giác AMC . chứng minh :
a, BD/BA = CE/CA
b, DE//BC
c, ID=IE ( DE giao AM tại I )
a: Xét ΔMBA có MD là phân giác
nên AD/DB=AM/MB=AM/MC(1)
Xét ΔMCA có ME là phân giác
nên AE/EC=AM/MC(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD/DB=AE/EC
=>BD/BA=CE/CA
b: Xét ΔABC có AD/DB=AE/EC
nên DE//BC
=>AD/AB=AE/AC(2)
c: Xét ΔABM cso DI//BM
nên DI/BM=AD/AB
hay DI/CM=AD/AB(1)
Xét ΔACM có EI//MC
nên EI/CM=AE/AC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra DI=EI
Tìm x:
\(\dfrac{x-1}{1992}+\dfrac{x-2}{1993}=\dfrac{x-3}{1994}+\dfrac{x-4}{1995}\)
\(\dfrac{x-1}{1992}+\dfrac{x-2}{1993}=\dfrac{x-3}{1994}+\dfrac{x-4}{1995}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{x-1}{1992}+1\right)+\left(\dfrac{x-2}{1993}+1\right)=\left(\dfrac{x-3}{1994}+1\right)+\left(\dfrac{x-4}{1995}+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{x-1+1992}{1992}\right)+\left(\dfrac{x-2+1993}{1993}\right)=\left(\dfrac{x-3+1994}{1994}\right)+\left(\dfrac{x-4+1995}{1995}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+1991}{1992}+\dfrac{x+1991}{1993}=\dfrac{x+1991}{1994}+\dfrac{x+1991}{1995}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+1991}{1992}+\dfrac{x+1991}{1993}-\dfrac{x+1991}{1994}-\dfrac{x+1991}{1995}=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1991\right)\left(\dfrac{1}{1992}+\dfrac{1}{1993}-\dfrac{1}{1994}-\dfrac{1}{1995}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x+1991\right)=0\) ( vì \(\left(\dfrac{1}{1992}+\dfrac{1}{1993}-\dfrac{1}{1994}-\dfrac{1}{1995}\right)\ne0\)
\(\Rightarrow x=-1991\)
Cho tam giác ABC,trung tuyến AM.Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại D và tia phân giác của góc AMC cắt AC tại E.ED cắt AM tại I.Chứng minh I là trung điểm DE.
Xét ΔMAB có MD là phân giác
nên AD/DB=AM/MB=AM/MC(1)
Xét ΔMAC có ME là phân giác
nên AE/EC=AM/MC(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD/DB=AM/MC
hay DE//BC
=>AD/AB=AE/AC(3)
Xét ΔABM có DI//BM
nên DI/BM=AD/AB=DI/CM(4)
Xét ΔACM có IE//MC
nên IE/MC=AE/AC(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra ID=IE
hay I là trung điểm của DE
Cho tam giác ABC có ba đường phân giác trong AD,BE,CF cắt nhau tại I.CMR:\(\dfrac{DI}{DA}+\dfrac{EI}{EB}+\dfrac{FI}{FC}=1\)
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. O là giao điểm của CM và PN, I là giao điểm của AO và BC, O là giao điểm của CM và PN, D là giao điểm của MI và AC. Chứng minh: AI, BD, MP đồng quy
Cho O là trung điểm của đoạn AB. trên cùng 1 nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax, By cùng vuoong góc với AB . Trên tia Ax lấ điểm C ( Khác A) , qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt By tại D
1) Chứng minh : \(AB^2=4.AC.BD\)
2)kẺ Om vuông góc với CD tại M . Chứng minh : AC=CM
3) Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H . Chứng minh: BC đi qua trung điểm MH
1: Ta có: góc COA+góc DOB=90 độ
góc DOB+góc BDO=90 độ
=>góc COA=góc BDO
=>ΔCAO đồng dạng với ΔOBD
Suy ra: CA/OB=OA/BD
hay \(CA\cdot BD=OA^2=\dfrac{1}{4}AB^2\)
hay \(AB^2=4\cdot CA\cdot BD\)
2: OD/OC=AC/OB
mà OA=OB
nên OD/OC=AC/OA
=>OD/AC=OC/OA
=>ΔOCD đồng dạng với ΔACO
Suy rA: góc OCD=góc ACO
Xét ΔCAO vuông tại A và ΔCMO vuông tại M có
CO chung
góc ACO=góc MCO
Do đo: ΔCAO=ΔCMO
Suy ra: CA=CM
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC. Đường phân giác BD(DϵAC) cắt đường cao AH tại K
a)CM: △BHK∼△BAD và △BAK∼△BCD
b)CM: HK.DC=AK2
c) Gọi M là trung điểm của KD. Kẻ tia Bx//AM. Tia Bx cắt AH tại N. CM:HK.AN=AK.HM
a: Xét ΔBHK vuông tại H và ΔBAD vuông tại A có
góc HBK=góc ABD
D đó: ΔBHK đồng dạng với ΔBAK
Xét ΔBAK và ΔBCD có
góc BAK=góc BCD
góc ABK=góc CBD
DO đó: ΔBAK đồng dạng với ΔBCD
b: Xét ΔBHA có BK là phân giác
nên HK/KA=BH/HA
hay \(HK=\dfrac{BH}{HA}\cdot AK\)
Ta có: ΔBAK đồng dạng với ΔBCD
nên AK/CD=BA/BC
hay \(CD=AK:\dfrac{BA}{BC}=AK\cdot\dfrac{BC}{BA}\)
\(HK\cdot DC=\dfrac{BH}{HA}\cdot AK\cdot AK\cdot\dfrac{BC}{BA}\)
\(=AK^2\cdot\dfrac{BA}{BC}\cdot\dfrac{BC}{BA}=AK^2\)
Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB ke các hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR:
a) KC=KP
b) A, D, K thẳng hàng
c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi
