Ôn tập cuối năm môn Hình học

Xét \(\overrightarrow{u}=\left(2cosx.cosy;sin\left(x-y\right)\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(2sinx.siny;sin\left(x-y\right)\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{4cos^2x.cos^2y+sin^2\left(x-y\right)}\)

\(\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{4sin^2x.sin^2y+sin^2\left(x-y\right)}\)

\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(2cosx.cosy+2sinx.siny;2sin\left(x-y\right)\right)=\left(2cos\left(x-y\right);2sin\left(x-y\right)\right)\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{4cos^2\left(x-y\right)+4sin^2\left(x-y\right)}=2\)

Theo BĐT vecto ta có:

\(\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|\ge\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4cos^2x.cos^2y+sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4sin^2x.sin^2y+sin^2\left(x-y\right)}\ge2\) (đpcm)

Ta có : 

$(\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x})^2 ≤ (1^2 + 1^2)(x -2 + 4 - x) = 2.2 = 4$

$⇔ m^2 ≤ 4$

$⇔ ( m - 2)(m + 2) ≤ 4$

$⇔ -2 ≤ m ≤ 2$

Ta có : \(\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x-x-2+4\right)=2x2=4\)

\(\Rightarrow\)(m-2)(m+2)\(\le\)4

\(\Leftrightarrow^{m\ge-2}_{m\le2}\)

Vậy -2\(\le m\le2\).

Đặt : $\vec{a} = (1;1;1) , \vec{b} = (x;y;z)$

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=3\left(1\right)\\x^2+y^2+z^2=3\left(2\right)\\x^3+y^3+z^3=3\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1)(2), suy ra : $\vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|$

Suy ra:  x = y = z = 1

Thử lại vào phương trình (1)(2)(3) thấy thoả mãn.

Do đó x = y = z = 1 là nghiệm của hệ phương trình

Vị trí điểm M có thể xác định bằng cách:

Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE

Đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác ABD và ACE sẽ cắt nhau tại điểm thứ 2 là M

Kẻ \(AE;BF\) lần lượt vuông góc CD \(\Rightarrow DE=CF=\dfrac{CD-AB}{2}=1\)

\(\Rightarrow AE=BF=\sqrt{BC^2-CF^2}=2\) ; \(EC=DF=DC-CF=2\)

Ta có:

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}\right)\left(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FD}\right)=\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{FD}\)

\(=AE^2+0+0-EC^2\) (do \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}\) ; \(\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{FD}\))

\(=2^2-2^2=0\)

\(\Rightarrow AC\perp BD\) tại I \(\Rightarrow H\) là giao điểm của AC và BF

Gọi G là giao điểm BD và AE

Talet: \(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HF}=\dfrac{AB}{CF}=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HA=HC\\HB=HF\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\) là trung điểm BF và AC

\(\Rightarrow BH=\dfrac{1}{2}BF=1=AB\Rightarrow ABHG\) là hình vuông

\(\Rightarrow\overrightarrow{IH}=\overrightarrow{AI}\)

Do tính đối xứng của hình thang cân, H là trung điểm AC \(\Rightarrow G\) là trung điểm BD

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\)

Cũng do ABHG là hình vuông \(\Rightarrow I\) là trung điểm BG

\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IH}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\) đúng ko nhỉ?

Ta có:

\(MA^2+2MB^2-3MC^2=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)^2+2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)^2-3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)^2\)

\(=OA^2+2OB^2-3OC^2+2\overrightarrow{MO}.\left(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MO}.\left(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}\right)\) (do \(OA=OB=OC=R\))

\(=2\overrightarrow{MO}.\left[\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)-3\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\right)\right]\)

\(=2\overrightarrow{MO}.\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{v}\)

Do M thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng \(M\left(m;0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(5-m;4\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(3-m;-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(8-2m;2\right)\)

\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{\left(8-2m\right)^2+2^2}=2\sqrt{m^2-8m+17}=2\sqrt{\left(m-4\right)^2+1}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=4\)

N là trung điểm BD \(\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}\right)\)

Ta có:

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)\)

Tương tự:

\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)\)

Do \(MN=PQ\Rightarrow MN^2=PQ^2\Rightarrow\overrightarrow{MN}^2=\overrightarrow{PQ}^2\)

\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)^2=\left(\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}=-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}-\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\)

\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DA}=0\)

\(\Rightarrow AB\perp AD\) (đpcm)

\(sin^2a+cos^2a=1\\ =>cos^2a=1-sin^2a\\ =1-\left(\dfrac{8}{17}\right)^2\\ =>cosa=\dfrac{15}{17}\\ =>B\)

\(cosa=\dfrac{15}{17}\) là đáp án đúng