Cho điểm A (3; 5) và các đường thẳng y = 6, x = 2. Số đường thẳng d qua A tạo với các đường thẳng trên một tam giác vuông cân là ?
Cho điểm A (3; 5) và các đường thẳng y = 6, x = 2. Số đường thẳng d qua A tạo với các đường thẳng trên một tam giác vuông cân là ?
Lời giải:
Gọi đường thẳng qua $A$ giao với $y=6; x=2$ tạo thành tgv cân có dạng là $(d):y=ax+5-3a$ với $a\neq 0$
Giao của $(d)$ với $y=6$ là $A$. Có $y_A=6$ nên $x_A=\frac{1+3a}{a}$
Giao của $(d)$ với $x=2$ là $B$. Có $x_B=2$ nên $y_B=5-a$
Giao của $y=6; x=2$ là $C(2,6)$
Để $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ thì: $AC=BC$
$\Leftrightarrow |\frac{1+3a}{a}-2|=|5-a-6|$
$\Leftrightarrow |\frac{1}{a}+1|=|a+1|$
$\Leftrightarrow |\frac{a+1}{a}|=|a+1|$
$\Rightarrow a=-1$ hoặc $a=1$
Vậy có 2 đt thỏa mãn
Cho điểm A (1; 1), tồn tại điểm B thuộc đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0 sao cho đường thẳng d và đường thẳng AB hợp với nhau một góc 45 độ. Biết điểm B có tung độ âm, hoành độ điểm B là ?
d nhận \(\left(2;3\right)\) là 1 vtpt nên nhận \(\overrightarrow{u}=\left(3;-2\right)\) là 1 vtcp
Do \(B\in d\) nên tọa độ có dạng: \(B\left(b;\dfrac{-2b-4}{3}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(b-1;\dfrac{-2b-7}{3}\right)\)
\(cos45^0=\dfrac{\left|3.\left(b-1\right)+\dfrac{2\left(2b+7\right)}{3}\right|}{\sqrt{3^2+2^2}.\sqrt{\left(b-1\right)^2+\left(\dfrac{2b+7}{3}\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(13b+5\right)^2=13\left(13b^2+10b+58\right)\)
\(\Leftrightarrow169b^2+130b-704=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-\dfrac{32}{13}\\b=\dfrac{22}{13}\Rightarrow y_B=-\dfrac{32}{13}< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Mn ơi giải giúp mình câu 6.4, 6.5 và 7.1 va ạ. Mình cảm ơn nhiềuu
6.4
\(y=\dfrac{3}{2}\left(1+cos2x\right)-\sqrt{3}sin2x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos2x\)
\(=cos2x-\sqrt{3}sin2x+2\)
\(=2\left(\dfrac{1}{2}cos2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x\right)+2\)
\(=2cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\)
Do \(-1\le cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\le1\)
\(\Rightarrow0\le y\le4\)
\(y_{min}=0\) khi \(cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-1\)
\(y_{max}=4\) khi \(cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)
6.5
Ủa nhìn bài 7 thì đây là chương trình lớp 11 (pt lượng giác) chứ đâu phải lớp 10?
Vậy giải theo kiểu lớp 11 nghe:
\(y=\dfrac{2+cosx+3sinx}{2+cosx}\)
\(\Leftrightarrow2y+y.cosx=2+cosx+3sinx\)
\(\Leftrightarrow3sinx+\left(1-y\right).cosx=2y-2\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(9+\left(1-y\right)^2\ge\left(2y-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\le3\)
\(\Rightarrow1-\sqrt{3}\le y\le1+\sqrt{3}\)
7.
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left[\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\right]+cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(1-3sin^2x.cos^2x\right)+cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(1-\dfrac{3}{4}sin^22x\right)+cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(1-\dfrac{3}{8}\left(1-cos4x\right)\right)+cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}cos4x\right)+cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow5\left(m+1\right)+\left(3m+11\right)cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3m+11\right)cos4x=-5\left(m+1\right)\)
- Với \(m=-\dfrac{11}{3}\) pt vô nghiệm
- Với \(m\ne-\dfrac{11}{3}\)
\(\Rightarrow cos4x=\dfrac{-5\left(5m+1\right)}{3m+11}\)
Do \(-1\le cos4x\le1\) nên pt có nghiệm khi:
\(-1\le\dfrac{-5\left(m+1\right)}{3m+11}\le1\)
Tới đây chắc bạn tự làm tiếp được đúng ko? Tách ra làm 2 BPT rồi sau đó giao nghiệm thôi
Cho 2 điểm A (2; 0), B (4; 1) và đường thẳng d: y = x +3. Tồn tại điểm X thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức \(\left|XA-XB\right|\) đạt Max. Tìm Max
Ta thấy A; B nằm cùng về 1 nửa mặt phẳng so với d
Theo BĐT tam giác: \(\left|XA-XB\right|\le AB\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X;A;B thẳng hàng hay X là giao điểm của AB và d
(Nếu ko cần tìm tọa độ điểm X mà chỉ cần tìm giá trị max thì tính độ dài AB là đủ)
\(\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\Rightarrow\left|XA-XB\right|_{max}=AB=\sqrt{5}\)
Tồn tại các giá trị của \(a\) và \(b\) để \(\left(a-2b+1\right)x+a^2-3b+2>0\), \(\forall x\in R\), Khi đó điều kiện của tham số \(b\) là?
BPT thỏa mãn với mọi x khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}a-2b+1=0\\a^2-3b+2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2b-1\\a^2-3b+2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2b-1\right)^2-3b+2>0\)
\(\Leftrightarrow4b^2-7b+3>0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b>1\\b< \dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
Tính độ dài dây cung tạo bởi đường thẳng (AB): A (1;0), B (2;3) và đường tròn \(\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=1\)
Theo như bài của bạn kia thì pt AB có dạng: \(3x-y-3=0\)
Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;4\right)\) bán kính \(R=1\)
\(d\left(I;AB\right)=\dfrac{\left|3.2-4-3\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)
Theo định lý Pita go, ta có độ dài dây cung:
\(2\sqrt{R^2-d^2\left(I;AB\right)}=2\sqrt{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5}\)
Biểu thức \(P=\dfrac{\left(1-tan^2x\right)^2}{4tan^2x}-\dfrac{1}{4sin^2xcos^2x}\) có giá trị không phụ thuộc biến \(x\). Khi đó phương trình ẩn \(y\) sau đây có bn nghiệm dương: \(y^2-3y+P=0\)
\(P=\dfrac{\left(cos^2x-sin^2x\right)^2}{4sin^2x.cos^2x}-\dfrac{1}{4sin^2x.cos^2x}=\dfrac{\left(cos^2x-1-sin^2x\right)\left(cos^2x+1-sin^2x\right)}{4sin^2x.cos^2x}\)
\(=\dfrac{-2sin^2x.2cos^2x}{4sin^2x.cos^2x}=-1\)
\(y^2-3y-1=0\) có \(ac=-1< 0\Leftrightarrow\) có 2 nghiệm trái dấu hay có 1 nghiệm dương
Biết rằng \(cosxcos6x+cos2xcos5x=cosax+cos4xcosbx\). Tính \(a+b\)
\(cosx.cos6x+cos2x.cos5x=\dfrac{1}{2}cos7x+\dfrac{1}{2}cos5x+\dfrac{1}{2}cos7x+cos3x\)
\(=cos7x+\dfrac{1}{2}\left(cos3x+cos5x\right)=cos7x+cos4x.cosx\)
\(a+b=8\)
Tìm điều kiện tham số a để hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=3\\\sqrt{x+5}+\sqrt{y+3}\le a\end{matrix}\right.\)có nghiệm \(x\ge4\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC, D là điểm đối xứng của B qua H, K là hình chiếu vuông góc của C trên AD. Giả sử H (-5; -5), K (9; 3) và trung điểm của AC thuộc đường thẳng x - y + 10 = 0. Hoành độ điểm A là ?
Gọi E là trung điểm AC, do H và K cùng nhìn AC dưới 1 góc vuông nên H, K thuộc đường tròn đường kính AC (1)
\(\Rightarrow EH=EK\) hay E nằm trên trung trực HK
Gọi F là trung điểm HK \(\Rightarrow F\left(2;-1\right)\)
\(\overrightarrow{HK}=\left(14;-8\right)=2\left(7;-4\right)\Rightarrow\) EF nhận (7;-4) là 1 vtpt
Phương trình EF: \(7\left(x-2\right)-4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow7x-4y-18=0\)
Tọa độ E là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+10=0\\7x-4y-18=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E\left(\dfrac{58}{3};\dfrac{88}{3}\right)\)
\(\widehat{ACH}=\widehat{HAK}\) (cùng phụ \(\widehat{ABC}\)) \(\Rightarrow AH=HK\)
Mà \(AE=EK\) theo (1) \(\Rightarrow AK\) là trung trực EH
\(\overrightarrow{HE}=\left(\dfrac{73}{3};\dfrac{103}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(73,103\right)\) \(\Rightarrow AK\) nhận \(\left(103;-73\right)\) là 1 vtpt
Tới đây bạn hãy kiểm tra lại số liệu, số liệu quá bất hợp lý
Tính tiếp như sau:
Viết pt AK (biết đi qua K và có vtpt như trên)
Tìm tọa độ giao điểm P của EH và AK
Khi đó P là trung điểm AK, tìm tọa độ A dễ dàng bằng công thức trung điểm