Tìm Max \(P=sin^{10}x+cos^{10}x-\dfrac{sin^6x+cos^6x}{sin^22x+4cos^22x}\)
Tìm Max \(P=sin^{10}x+cos^{10}x-\dfrac{sin^6x+cos^6x}{sin^22x+4cos^22x}\)
\(P=sin^{10}x+cos^{10}x-\dfrac{sin^6x+cos^6x}{sin^22x+4cos^22x}\)
\(=sin^{10}x+cos^{10}x-\dfrac{\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)}{4-3sin^22x}\)
\(=sin^{10}x+cos^{10}x-\dfrac{1-\dfrac{3}{4}sin^22x}{4-3sin^22x}\)
\(=sin^{10}x+cos^{10}x-\dfrac{1}{4}\)
\(\le sin^2x+cos^2x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)
\(maxP=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin^{10}x=sin^2x\\cos^{10}x=cos^2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}\)
Rút gọn \(\dfrac{sin2\alpha+sin5\alpha-sin3\alpha}{1+cos\alpha-2sin^22\alpha}\)
\(\dfrac{sin2\alpha+sin5\alpha-sin3\alpha}{1+cos\alpha-2sin^22\alpha}\)
\(=\dfrac{2cos\dfrac{5\alpha}{2}.sin\left(-\dfrac{\alpha}{2}\right)+2sin\dfrac{5\alpha}{2}.cos\dfrac{5\alpha}{2}}{cos4\alpha+cos\alpha}\)
\(=\dfrac{2cos\dfrac{5\alpha}{2}.\left(sin\dfrac{5\alpha}{2}-sin\dfrac{\alpha}{2}\right)}{2cos\dfrac{5\alpha}{2}.cos\dfrac{3\alpha}{2}}\)
\(=\dfrac{4cos\dfrac{5\alpha}{2}.cos\dfrac{3\alpha}{2}.sin\alpha}{2cos\dfrac{5\alpha}{2}.cos\dfrac{3\alpha}{2}}\)
\(=2sin\alpha\)
Tìm đk tham số của m để tập xđ hàm số \(f\left(x\right)=\sqrt{x-m}+\sqrt{10-x}\) là một đoạn trên trục số
Hàm số xác định khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-m\ge0\\10-x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge m\\x\le10\end{matrix}\right.\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m< 10\)
Tìm độ dài của tập giá trị của hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\)
Áp dụng 2 BĐT:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\)
\(y\ge\sqrt{x-1+5-x}=2\)
\(y\le\sqrt{2\left(x-1+5-x\right)}=2\sqrt{2}\)
Độ dài tập giá trị: \(2\sqrt{2}-2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
\(\sqrt{x-1} + \sqrt{5-x} \leq \sqrt{2(x-1+5-x)} =2\sqrt{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{A} + \sqrt{B} \geq \sqrt{A+B}\) ta có :
\(y \geq \sqrt{x-1+5-x} = 2\)
Độ dài giá trị của y là \(2\sqrt{2}-2\)
Cho x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left(x+z\right)\left(y+z\right)=1\). Tìm Min
\(M=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(x+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}\)
Tìm Min \(Q=\dfrac{4x-5}{\sqrt{x}-1}\) với x > 1
Đề bài sai, biểu thức này ko tồn tại min (nhỏ tùy ý)
Tìm Min \(P=\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}\)
\(P=\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-4\right)^2}=\left|x-1\right|+\left|4-x\right|\ge\left|x-1+4-x\right|=3\)
\(P_{min}=3\) khi \(1\le x\le4\)
Cho tam giác ABC đều, M là điểm bất kì thuộc miền trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC, AB, AC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm giá trị của k biết rằng \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=k\overrightarrow{MI}\)
Tồn tại duy nhất một giá trị m để bất phương trình \(x^2\le2mx-m^2+m-3\) có tập nghiệm \(S=\left[x_1;x_2\right]\) thỏa mãn điều kiện \(\sqrt{x^2_1+2mx_2+m^2-m+3}=\left|m-9\right|\). Tìm m
BPT \(x^2-2mx+m^2-m+3\le0\) có tập nghiệm S đã cho nên \(x_1;x_2\) là nghiệm:
\(x^2-2mx+m^2-m+3=0\) với \(\Delta=m^2-\left(m^2-m+3\right)=m-3\ge0\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+3\end{matrix}\right.\)
Mặt khác, do \(x_1\) là nghiệm nên: \(x_1^2=2mx_1-m^2+m-3\)
Thay vào bài toán:
\(\sqrt{2mx_1-m^2+m-3+2mx_2+m^2-m+3}=\left|m-9\right|\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2m\left(x_1+x_2\right)}=\left|m-9\right|\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4m^2}=\left|m-9\right|\)
\(\Leftrightarrow4m^2=m^2-18m+81\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-9\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, M (-1; 1) và N (-1; -7) lần lượt thuộc các cạnh AB và tia đối của CA sao cho BM = CN. Biết rằng đường thẳng BC đi qua điểm E (-3; -1) và điểm B thuộc đường thẳng x + 4 = 0. Tìm tung độ điểm A
Gọi D là giao điểm MN và BC
Từ M kẻ ME vuông góc BC, từ N kẻ NF vuông góc BC
\(\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{NCF}\Rightarrow\Delta MBE=\Delta NCF\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow ME=NF\)
\(\Rightarrow\Delta MED=\Delta NFD\)
\(\Rightarrow MD=ND\) hay D là trung điểm MN
\(\Rightarrow D\left(-1;3\right)\Rightarrow\overrightarrow{ED}=\left(2;4\right)=2\left(1;2\right)\)
Phương trình BC (hay ED) có dạng:
\(2\left(x+3\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow2x-y+5=0\)
Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+4=0\\2x-y+5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-4;-3\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\left(3;4\right)\) \(\Rightarrow cosB=\dfrac{\left|3.1+4.2\right|}{\sqrt{3^2+4^2}.\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{11\sqrt[]{5}}{25}\)
Do C thuộc BC nên tọa độ dạng: \(C\left(c;2c+5\right)\Rightarrow\overrightarrow{NC}=\left(c+1;2c+12\right)\)
\(cosC=cosB=\dfrac{11\sqrt{5}}{25}=\dfrac{\left|1.\left(c+1\right)+2\left(2c+12\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{\left(c+1\right)^2+\left(2c+12\right)^2}}\)
\(\Leftrightarrow c^2+10c-96=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=6\Rightarrow C\left(6;17\right)\\c=-16\Rightarrow C\left(-16;-27\right)\end{matrix}\right.\)
(Loại \(C\left(-16;-27\right)\) do D nằm giữa B và C)
Viết phương trình AB (qua M và B), viết phương trình AC (qua N và C). Tọa độ A là giao AB và AC