Ôn tập cuối năm môn Đại số

Không gian mẫu: \(\dfrac{52!}{\left(4!\right)^{13}}\)

Do đó xác suất: \(P=\dfrac{1}{\dfrac{52!}{\left(4!\right)^{13}}}=\dfrac{\left(4!\right)^{13}}{52!}=...\)

1.

ĐKXĐ: \(-3\le x\le1\)

\(2\left(x+3\right)-m\sqrt{x+3}+5\left(1-x\right)+2m\sqrt{1-x}=4\sqrt{\left(x+3\right)\left(1-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow m\left(2\sqrt{1-x}-\sqrt{x+3}\right)=3x-11+4\sqrt{\left(x+3\right)\left(1-x\right)}\)

Đặt \(2\sqrt{1-x}-\sqrt{x+3}=t\Rightarrow t\in\left[-2;4\right]\)

\(t^2=7-3x-4\sqrt{\left(1-x\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Rightarrow3x-11+4\sqrt{\left(1-x\right)\left(x+3\right)}=-4-t^2\)

Do đó pt trở thành: \(m.t=-t^2-4\)

- Với \(t=0\) ko phải nghiệm

- Với \(t\ne0\Rightarrow m=\dfrac{-t^2-4}{t}\)

Xét \(f\left(t\right)=\dfrac{-t^2-4}{t}\) với \(t\in\left[-2;4\right]\)

\(f^2\left(t\right)=\dfrac{\left(t^2+4\right)^2}{t^2}\ge4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(t\right)\le-2\\f\left(t\right)\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-2\\m\ge2\end{matrix}\right.\)

2.

ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)

Đặt \(\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}=t\) \(\Rightarrow t\in\left[0;\sqrt{2}\right]\)

\(t^2=2-2\sqrt{1-x^4}\Rightarrow2\sqrt{1-x^4}=2-t^2\)

Pt trở thành:

\(m\left(t+2\right)=2-t^2+t\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-t^2+t+2}{t+2}\)

Xét \(f\left(t\right)=\dfrac{-t^2+t+2}{t+2}\) trên \(\left[0;\sqrt{2}\right]\)

\(f\left(t\right)=\dfrac{-t^2}{t+2}+1\le1\) ;

 \(f\left(t\right)-\left(\sqrt{2}-1\right)=\dfrac{-t^2+t+2-\left(\sqrt{2}-1\right)\left(t+2\right)}{t+2}=\dfrac{\left(\sqrt{2}-t\right)\left(t+2\sqrt{2}-2\right)}{t+2}\ge0\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge\sqrt{2}-1\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}-1\le f\left(t\right)\le1\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}-1\le m\le1\)

Phân tách cái min đúng mệt luôn

Đề đúng chứ bạn? Pt này hệ số xấu 1 cách phi lý (đưa về trùng phương 1 ẩn biện luận theo m)

\(\Leftrightarrow1+b^2+a^2\left(b^3+b\right)\le\left(2b^3+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3+2\)

\(\Leftrightarrow\left(b^3-b+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3-b^2+1\ge0\)

Xét tam thức bậc 2: \(f\left(a\right)=\left(b^3-b+2\right)a^2-2\left(b^3+1\right)a+2b^3-b^2+1\)

Ta có: \(b^3+2-b\ge3b-b=2b>0\)

\(\Delta'=\left(b^3+1\right)^2-\left(b^3-b+2\right)\left(2b^3-b^2+1\right)\)

\(\Delta'=-\left(b-1\right)^2\left(b^4+b^3-b^2+b+1\right)\le0\) ; \(\forall b>0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge0\) ; \(\forall a\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(1;1\right)\)

ĐK; \(-1\le x\le3\)

Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+3}=t\left(0\le t\le2\right)\)

\(pt\Leftrightarrow m+1=-x^2+2x+3+4\sqrt{-x^2+2x+3}\)

\(\Leftrightarrow m+1=f\left(t\right)=t^2+4t\)

\(f\left(0\right)=0;f\left(2\right)=12\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(minf\left(t\right)\le m+1\le maxf\left(t\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le m+1\le12\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le11\)

Đề thiếu. Bạn xem lại đề. 

\(X=\left\{3\right\};\left\{3;4\right\};\left\{3;5\right\};\left\{3;4;5\right\}\)

Có 4 tập X

\(x^2+y^2=1+xy\Rightarrow x^2+y^2-xy=1\)

Ta có: \(1+xy=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le1\)

\(1+xy=x^2+y^2\ge-2xy\Rightarrow xy\ge-\dfrac{1}{3}\)

\(P=\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2-2x^2y^2=\left(x^2+y^2-xy\right)\left(x^2+y^2+xy\right)-2x^2y^2\)

\(=x^2+y^2+xy-2x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1\)

Đặt \(a=xy\Rightarrow P=f\left(a\right)=-2a^2+2a+1\)

Xét hàm \(f\left(a\right)=-2a^2+2a+1\) trên \(\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)

\(f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{9}\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\) ; \(f\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{3}{2}\) ; \(m=\dfrac{1}{9}\) \(\Rightarrow Mm=\dfrac{1}{6}\)

\(\left[1;-4\right]??\)