Ôn tập cuối năm môn Đại số - Hỏi đáp

a. \(\sqrt{x+8}=x+2\)

đk x ≥ -2

⇔ \(\left(\sqrt{x+8}\right)^2\) = (x + 2 )²

⇔ x + 8 = x² + 4x + 4

⇔ x² + 3x - 4 = 0

⇔ (x - 1)(x + 4) = 0

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-4\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

S = \(\left\{1\right\}\)

ta có : \(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)=\left(1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{ab}{bc}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(=1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{bc}{ac}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{ac}{ba}+\dfrac{ab}{bc}+1\)

\(=2+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{ab}{bc}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{ac}{ba}\right)+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{bc}{ac}\right)\ge2+2+2+2=8\) \(\Rightarrowđpcm\)

Câu hỏi của lê thị tiều thư - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

\(x^4-3x^3-2x^2+6x+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^3-2x^2-x^3+2x^2+2x-2x^2+4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2x-2\right)-x\left(x^2-2x-2\right)-2\left(x^2-2x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-2\right)\left(x^2-2x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-1-\sqrt{3}\right)\left(x-1+\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=2\\x=1+\sqrt{3}\\x=1-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Câu 1: Chứng minh hàm số\(y=x^3-3x^2+5x+1\) đồng biến trên R.

Giải:Cách 1: (Lớp 12) \(D=R\);

\(y'=3x^2-6x+5;\Delta=36-60=-14\)

\(\Rightarrow y'>0\Rightarrow\)hàm số đồng biến trên tập xác định D=R

Cách 2: trên txđ D=R; Với \(\forall x_1;x_2\in R;x_1< x_2\)ta có : \(y_1=x_1^3-3x_1^2+5x_1+1\);\(y_2=x_2^3-3x_2^2+5x_2+1\)

⇒\(y_1-y_2_{ }=x_1^3-3x_1^2+5x_1+1​​-(x_2^3-3x_2^2+5x_2+1​​)\)

\(=(x_1^3-x^3)-3(x_1^2-x_2^2)+5(x_1-x_2)\)

xét \(\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=....\)⇒\(\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}>0\)⇒hs đồng biến trên D=R

Ta có: \(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(a+b\right)\)

Cmtt ta có: \(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\sqrt{\dfrac{5}{4}}\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = \(\dfrac{1}{9}\)

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{1}{2}\)

Nhân 2 vế với \(\sqrt{x+6}-\sqrt{x+2}\) ta được:

\(\sqrt{2x-1}-3=\sqrt{x+6}-\sqrt{x+2}\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+6}-\left(3-\sqrt{x+2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-1-x-6}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+6}}-\dfrac{9-x-2}{3+\sqrt{x+2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-7}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+6}}+\dfrac{x-7}{3+\sqrt{x+2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-7\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+6}}+\dfrac{1}{3+\sqrt{x+2}}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=7\) (do \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+6}}+\dfrac{1}{3+\sqrt{x+2}}>0\) \(\forall x\) )

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=7\)

Biến đổi pt trên:

\(\left(x-y\right)\left(x+2y\right)+\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y+1\right)=0\)

TH1: \(x-y=0\Rightarrow x=y\) thế vào pt dưới:

\(x^2-x^2+2x^2=2\Rightarrow x=\pm1\Rightarrow y=\pm1\)

TH2: \(x+2y+1=0\Rightarrow x=-2y-1\) thế vào pt dưới:

\(\left(-2y-1\right)^2-y^2+2y\left(-2y-1\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x=-3\)

Vậy hệ đã cho có 3 cặp nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-1;-1\right);\left(1;1\right);\left(-3;1\right)\)

\(\dfrac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}}=1+\sqrt{3+2x-x^2}\) ( đk \(-1\le x\le3\) )

đặt \(t=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}\)

\(\Leftrightarrow t^2=4+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=\dfrac{t^2-4}{2}\)

pt \(\Leftrightarrow\dfrac{2}{t}=1+\dfrac{t^2-4}{2}\)

\(\Leftrightarrow4=2t+t^3-4t\)

\(\Leftrightarrow t^3-2t-4=0\)

\(\Leftrightarrow t=2\)

\(\Leftrightarrow\text{​​}\sqrt{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}=\dfrac{t^2-4}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\)

Cái này dùng lượng liên hợp nhưng không biết thêm bớt sao cho vừa

a/ Pt hoành độ giao điểm: \(x^2+mx+1=0\)

\(\Delta=m^2-4>0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\) ; khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{\left(x_1-x_2\right)^2}{x_1+x_2+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}{x_1+x_2+1}=\dfrac{m^2-4}{-m+1}\)

\(A=-m-1+\dfrac{3}{m-1}\)

Để A nguyên \(\Rightarrow\dfrac{3}{m-1}\) nguyên \(\Rightarrow m-1\inƯ\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

Mà \(\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m-1>1\\m-1< -3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m-1=3\Rightarrow m=4\)

b/ Gọi \(M\left(a;b\right)\) với \(\left\{{}\begin{matrix}-1\le a\le3\\b=a^2\end{matrix}\right.\) và \(C\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow S_{MAB}=S_{ABC}-\left(S_{BCM}+S_{ACM}\right)\) \(\Rightarrow S_{MAB}\) lớn nhất khi và chỉ khi\(S_{BCM}+S_{ACM}\) nhỏ nhất

Ta có \(S_{BCM}+S_{ACM}=\left(x_C-x_B\right)\left(y_M-y_B\right)+\left(y_A-y_C\right)\left(x_A-x_M\right)\)

\(=4\left(b-1\right)+8\left(3-a\right)=4a^2-4+24-8a\)

\(=4\left(a^2-2a+1\right)+16=4\left(a-1\right)^2+16\ge16\)

\(\Rightarrow\left(S_{BCM}+S_{ACM}\right)_{min}=16\) khi \(a=1\)

Vậy khi tọa độ M là \(M\left(1;1\right)\) thì diện tích tam giác MAB nhỏ nhất