Ôn tập cuối năm môn Đại số - Hỏi đáp

ta có : \(sin^3a+cos^3a=\left(sina+cosa\right)^3-3sina.cosa\left(sina+cosa\right)\)

\(=2^3-3sina.cosa\left(2\right)=8-6sina.cosa\)

\(=11-3sin^2a-6sina.cosa-3cos^2a=11-3\left(sin+cos\right)^2=11-3.2^2=11-12=-1\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{1^2}=4\)\("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

Điều kiện \(ab+bc+ac=abc\) là không cần thiết và bạn cần sửa lại đề bài là: CMR \(\sqrt{\frac{b^2+2a^2}{ab}}+\sqrt{\frac{c^2+2b^2}{bc}}+\sqrt{\frac{a^2+2c^2}{ac}}\geq 3\sqrt{3}\)

--------------------------

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(b^2+2a^2=b^2+a^2+a^2\geq 3\sqrt[3]{b^2a^4}\)

\(\Rightarrow \frac{b^2+2a^2}{ab}\geq \frac{3\sqrt[3]{b^2a^4}}{ab}=3\sqrt[3]{\frac{a}{b}}\)

\(\Rightarrow \sqrt{\frac{b^2+2a^2}{ab}}\geq \sqrt{3}.\sqrt[6]{\frac{a}{b}}\)

Hoàn toàn TT: \(\sqrt{\frac{c^2+2b^2}{bc}}\geq \sqrt{3}.\sqrt[6]{\frac{b}{c}}; \sqrt{\frac{a^2+2c^2}{ac}}\geq \sqrt{3}.\sqrt[6]{\frac{c}{a}}\)

Cộng theo vế những BĐT vừa thu được:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \sqrt{3}\left(\sqrt[6]{\frac{a}{b}}+\sqrt[6]{\frac{b}{c}}+\sqrt[6]{\frac{c}{a}}\right)\)

\(\geq \sqrt{3}.3\sqrt[18]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\sqrt{3}\) (tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM)

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Lời giải:

Sử dụng các công thức lượng giác ta thực hiện biến đổi biểu thức như sau:

\(\cos 2A+\cos 2B+\cos =2\cos \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}+\cos ^2C-\sin ^2C\)

\(=2\cos (A+B)\cos (A-B)+2\cos ^2C-(\sin ^2C+\cos ^2C)\)

\(=2\cos (\pi -C)\cos (A-B)+2\cos ^2C-1\)

\(=2\cos ^2C-2\cos C\cos ^2(A-B)-1\)

\(=2[\cos ^2C-\cos C\cos (A-B)+\frac{1}{4}\cos ^2(A-B)]-\frac{1}{2}\cos ^2(A-B)-1\)

\(=2[\cos C-\frac{1}{2}\cos (A-B)]^2-\frac{1}{2}\cos ^2(A-B)-1\)

Ta thấy :

\(2[\cos C-\frac{1}{2}\cos (A-B)]^2\geq 0\)

\(\cos ^2(A-B)\leq 1\) (tính chất hàm cos)

\(\Rightarrow \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\geq 2.0-\frac{1}{2}.1-1=\frac{-3}{2}\)

Ta có đpcm.

ta có : \(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)=\left(1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{ab}{bc}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(=1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{bc}{ac}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{ac}{ba}+\dfrac{ab}{bc}+1\)

\(=2+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{ab}{bc}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{ac}{ba}\right)+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{bc}{ac}\right)\ge2+2+2+2=8\) \(\Rightarrowđpcm\)