Ôn tập cuối năm môn Đại số - Hỏi đáp

\(\left\{{}\begin{matrix}sina-cosa=\sqrt{2}\\sin^2a+cos^2a=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(cosa+\sqrt{2}\right)^2+cos^2a=1\)

\(\Leftrightarrow2cos^2a+2\sqrt{2}cosa+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}cosa+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow cosa=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow sina=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow sin^5a+cos^5a=0\)

\(\left(cos^4x-sin^4x\right)^2=\left(cos^2x-sin^2x\right)^2\left(cos^2x+sin^2x\right)^2=cos^22x\)

\(\Rightarrow cos^22x=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{1+cos4x}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow cos4x=-\frac{1}{3}\)

\(cos8x=2cos^24x-1=2.\left(-\frac{1}{3}\right)^2-1=-\frac{7}{9}\)

Mong m.n giúp mk vs

Đặt vế trái là P

\(P=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2}+\frac{1}{b^2+c^2+c^2+1+2}+\frac{1}{c^2+a^2+a^2+1+2}\)

\(P\le\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ca+2a+2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{abc}{bc+c+abc}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(\frac{\sin^4\alpha}{a}+\frac{\cos^4\alpha}{b}\ge\frac{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)

\("="\Leftrightarrow\frac{\sin^2\alpha}{a}=\frac{\cos^2\alpha}{b}\Leftrightarrow\sin^2\alpha.b=a-a.\sin^2\alpha\)

\(\Leftrightarrow\sin^2\alpha\left(b+a\right)=a\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac{a}{a+b}\)

\(\cos^2\alpha.a=b-b\cos^2\alpha\Rightarrow\cos^2\alpha=\frac{b}{a+b}\)

\(\Rightarrow M=\frac{\frac{a^5}{\left(a+b\right)^5}}{a^4}+\frac{\frac{b^5}{\left(a+b\right)^5}}{b^4}=\frac{a+b}{\left(a+b\right)^5}=\frac{1}{\left(a+b\right)^4}\) => D

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt{x}=a\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+5a>11+\frac{14}{a^2-2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+5a+4+a^2-15+\frac{14}{a^2-2}>0\)

\(\Leftrightarrow a^2+5a+4+\frac{a^4-17a^2+16}{a^2-2}>0\)

\(\Leftrightarrow a^2+5a+4+\frac{\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2-5a+4\right)}{a^2-2}>0\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{a^2-5a+4}{a^2-2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2-5a+2}{a^2-2}>0\Leftrightarrow\frac{\left(a-2\right)\left(2a-1\right)}{a^2-2}>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a>2\\\frac{1}{2}< a< \sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>4\\\frac{1}{4}< x< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2x^2-6x+4< x+13\Leftrightarrow2x^2-7x-9< 0\Leftrightarrow\left(2x-9\right)\left(x+1\right)< 0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x-9< 0\\x+1>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x-9>0\\x+1< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< 4,5\\x>-1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x>4,5\\x< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\frac{ }{vl}\Rightarrow-1< x< 4,5\)

p/s: bạn có thể bỏ 2 bước gần cuối nếu đối vs L10 thứ đó ko cần thiết ~ ch hc L10 nên ko bk ~

Vậy ....

Với mọi x;y dương, ta luôn có:

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)

\(P\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)

\(P\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)

\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)>0\Rightarrow a+b+c=2\)

\(\Rightarrow P=\frac{a^3}{\left(2-a\right)^2}+\frac{b^3}{\left(2-b\right)^2}+\frac{c^3}{\left(2-c\right)^2}\)

Ta có đánh giá: \(\frac{a^3}{\left(2-a\right)^2}\ge\frac{2a-1}{2}\) ; \(\forall a\in\left(0;2\right)\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2a^3\ge\left(2a-1\right)\left(a^2-4a+4\right)\)

\(\Leftrightarrow9a^2-12a+4\ge0\Leftrightarrow\left(3a-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{b^3}{\left(2-b\right)^2}\ge\frac{2b-1}{2}\) ; \(\frac{c^3}{\left(2-c\right)^2}\ge\frac{2c-1}{2}\)

Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{2}=\frac{1}{2}\)

\(P_{min}=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\) hay \(x=y=z=\frac{3}{2}\)

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của 원회으Won Hoe Eu - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Hơi tắt 1 xíu ^.^

Giải phương trình nha

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>-1\\x< -3\end{matrix}\right.\)

Xét (1), đặt \(f\left(x\right)=x^2-m\left(m^2+1\right)+m^4\), ta có:

\(\Delta=m^2\left(m^2+1\right)^2-4m^4=m^2\left(m^2-1\right)^2\ge0\) ; \(\forall m\)

Nếu \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm (ktm)

Nếu \(m\ne\left\{0;\pm1\right\}\) \(\Rightarrow\) nghiệm của (1) đều là nghiệm của (2) khi và chỉ khi: \(\left[{}\begin{matrix}x_1< x_2\le-3\\x_2>x_1\ge-1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x_1< x_2\le-3\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-3\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}< -3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^4+3m^3+3m+9\ge0\\m^3+m< -6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^3+3\right)\left(m+3\right)\ge0\\\left(m^3+3\right)+\left(m+3\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^3+3\le0\\m+3\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le-3\)

TH2:

\(x_2>x_1\ge-1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^4+m^3+m+1\ge0\\m^3+m>-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^3+1\right)\left(m+1\right)\ge0\\\left(m^3+1\right)+\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^3+1\ge0\\m+1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge-1\)

Kết hợp điều kiện delta, ta được đáp án B đúng

Lời giải:

$\sqrt{-x^2+2x+3}\leq x^2-2x+m$

$\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+2x+3}-x^2+2x\leq m$

Đặt $f(x)=\sqrt{-x^2+2x+3}-x^2+2x$

$f'(x)=\frac{-x+1}{\sqrt{-x^2+2x+3}}-2x+2=0\Leftrightarrow x=1$

Lập bảng biến thiên với các điểm $x=0; x=1; x=2$

$f(0)=\sqrt{3}; f(1)=\sqrt{3}; f(2)=\sqrt{3}$

Từ BBT ta thấy để BPT $f(x)\leq m$ có nghiệm thuộc đoạn $[0;2]$ thì $m\geq \sqrt{3}$

Mà $m< 10$ và $m$ nguyên dương nên $m\in\left\{4;5;6;7;8;9\right\}$

Tức là có 6 giá trị $m$ thỏa mãn.