Ôn tập cuối năm môn Đại số - Hỏi đáp

Bạn ơi chung căn (3x-2) hãy căn (3x) - 2

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{\tan ^3a}{\sin ^2a}-\frac{1}{\sin a\cos a}+\frac{\cot ^3a}{\cos ^2a}=\frac{\tan ^3a\cos ^2a+\cot ^3a\sin ^2a}{\sin ^2a\cos ^2a}-\frac{\sin a\cos a}{\sin ^2a\cos ^2a}\)

\(=\frac{\frac{\sin ^3a}{\cos ^3a}.\cos ^2a+\frac{\cos ^3a}{\sin ^3a}.\sin ^2a}{\sin ^2a\cos ^2a}-\frac{\sin a\cos a}{\sin ^2a\cos ^2a}\)

\(=\frac{\frac{\sin ^3a}{\cos a}+\frac{\cos ^3a}{\sin a}-\sin a\cos a}{\sin ^2a\cos ^2a}=\frac{\sin ^4a+\cos ^4a-\sin ^2a\cos ^2a}{\sin ^3a\cos ^3a}\)

\(=\frac{(\sin ^2a+\cos ^2a)(\sin ^4a+\cos ^4a-\sin ^2a\cos ^2a)}{\sin ^3a\cos ^3a}\)

\(=\frac{\sin ^6a+\cos ^6a}{\sin ^3a\cos ^3a}=\frac{\sin ^3a}{\cos ^3a}+\frac{\cos ^3a}{\sin ^3a}=\tan ^3a+\cot ^3a\)

Ta có đpcm.

Lời giải:

Áp dụng 1 số công thức lượng giác:
\(\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}=\frac{2\sin (\frac{B+C}{2})\cos (\frac{B-C}{2})}{2\cos (\frac{B+C}{2})\cos (\frac{B-C}{2})}=\frac{\sin \frac{B+C}{2}}{\cos \frac{B+C}{2}}\)

\(=\tan \frac{B+C}{2}=\tan (\frac{\pi-A}{2})=\cot \frac{A}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}=\frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}\) (trong tam giác, \(\widehat{A}\neq 0\rightarrow \sin \frac{A}{2}\neq 0)\)

\(\Leftrightarrow \cos \frac{A}{2}(2\sin^2 \frac{A}{2}-1)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \cos \frac{A}{2}=0\rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\pi}{2}\rightarrow \widehat{A}=\pi (\text{vô lý})\\ \sin \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}=\frac{\pi}{4}\rightarrow \widehat{A}=\frac{1}{2}\pi=90^0 \end{matrix}\right.\)

Do đó tam giác ABC vuông tại A

\(P=sin^22a+cos^22a+sin^22b+cos^22b+2sin2a.sin2b+2cos2a.cos2b\)

\(P=2+2\left(sin2a.sin2b+cos2a.cos2b\right)=2+2cos\left(2a-2b\right)\)

\(P=2+2cos\frac{\pi}{3}=3\)

Lời giải:

BPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-m< 8\\ x-1>2,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< \frac{8+m}{3}\\ x>3,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in (3,5; \frac{8+m}{3})\)

Do đó; \(a=3,5; b=\frac{8+m}{3}\Rightarrow b-a=\frac{8+m}{3}-3,5=2\Rightarrow m=8,5\)

\(\Rightarrow m\in (7;10)\)

Đáp án D

Nghĩ đơn giản ra

VT = a² + c²a² + c² + b²c² + b² + a²b² ≥ \(6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}\) = 6abc

+ \(c^2+1\ge2c\) \(\forall c\)

\(\Rightarrow a^2\left(c^2+1\right)\ge2a^2c\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)

+ Tương tự ta có :

\(c^2\left(b^2+1\right)\ge2bc^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)

\(b^2\left(a^2+1\right)\ge2ab^2\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)

do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(b^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)

\(\ge2\left(a^2c+bc^2+ab^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương \(a^2c;bc^2;ab^2\) ta có :

\(a^2c+bc^2+ab^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot bc^2\cdot ab^2}=3abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2c=bc^2=ab^2\Leftrightarrow a=b=c\)

Do đó : \(a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(c^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)\)

\(\ge2\cdot3abc=6abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(\Leftrightarrow\left(5m-2\right)x\le2m^2-m+2\)

- Với \(m=\frac{2}{5}\Rightarrow BPT\) đúng với mọi x \(\Rightarrow\) loại

- Với \(m< \frac{2}{5}\Rightarrow x\ge\frac{2m^2-m+2}{5m-2}\) \(\Rightarrow\) không tồn tại GTLN của x (loại)

- Với \(m>\frac{2}{5}\Rightarrow x\le\frac{2m^2-m+2}{5m-2}\)

Để BPT nhận nghiệm nguyên lớn nhất bằng 1

\(\Rightarrow\frac{2m^2-m+2}{5m-2}< 2\)

\(\Leftrightarrow2m^2-m+2< 10m-4\)

\(\Leftrightarrow2m^2-11m+6< 0\)

\(\Rightarrow\frac{11-\sqrt{73}}{4}< m< \frac{11+\sqrt{73}}{4}\)

\(\Rightarrow m=\left\{1;2;3;4\right\}\)

\(\sin\alpha=1\Rightarrow\alpha=90\)

\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\Rightarrow\alpha=60\)

\(0< a< \frac{\pi}{2}\Rightarrow sina;cosa;tana>0\)

\(tana+\frac{1}{tana}=3\Leftrightarrow tan^2a-3tana+1=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}tana=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\tana=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

- Với \(tana=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow cota=\frac{1}{tana}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)

\(1+tan^2a=\frac{1}{cos^2a}\Rightarrow cosa=\frac{1}{\sqrt{1+tan^2a}}=\frac{2}{\sqrt{18-6\sqrt{5}}}\)

\(sina=\sqrt{1-cos^2a}=\frac{2}{\sqrt{18+6\sqrt{5}}}\)

\(cos\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=cos\left(2\pi-\frac{\pi}{2}-a\right)=-sina=...\)

\(sin\left(2\pi+a\right)=sina=...\)

\(tan\left(\pi-a\right)=-tana=...\)

\(cot\left(\pi+a\right)=cota=...\)

TH2: \(tana=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)

Tương tự như trên

mk có 1 chút nhầm cos \(\alpha\) = 1/2 nha.

\(\left\{{}\begin{matrix}0< sin\alpha< 1\\0< cos\alpha< 1\end{matrix}\right.\) \(\forall\alpha:\) \(0^0< \alpha< 90^0\)

Không tồn tại góc thỏa mãn yêu cầu đề bài nên đương nhiên không thể tính được các giá trị lượng giác còn lại