Ôn tập cuối năm môn Đại số - Hỏi đáp

Lời giải:

Theo công thức lượng giác:

\(\cos (180-\alpha)=-\cos \alpha\)

Áp dụng ct trên thì: \(\cos (180-C)=-\cos C\Rightarrow \cos (180-C)+\cos C=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (A+B)+\cos C=0\)

Ta có đpcm.

Lời giải:

Ta có:

\(f(x)=(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+1\)

\(f(x)=[(x+2)(x+5)][(x+3)(x+4)]+1\)

\(f(x)=(x^2+7x+10)(x^2+7x+12)+1\)

Đặt \(x^2+7x+10=a\). Khi đó:

\(f(x)=a(a+2)+1=a^2+2a+1=(a+1)^2\)

\(=(x^2+7x+11)^2\) là một số chính phương.

Vậy $f(x)$ luôn là số chính phương với mọi $x$ nguyên.

Dự đoán GTNN của P là đạt 3 tại \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\), vậy ta sẽ C/m BĐT

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-2\left(a+b+c\right)\ge3\)

Từ giả thuyết suy ra tồn tại các số \(x;y;z>0\) sao cho

\(a=\dfrac{x}{y+z},b=\dfrac{y}{z+x},c=\dfrac{z}{x+y}\)

BĐT cần chứng minh trở thành

\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge2\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)+3\)

Để ý rằng:

\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge4\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\)

Nên BĐT sẽ đúng nếu ta C/m được

\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

Nhưng đây chính là BĐT Nesbitt quen thuộc, vì vậy BĐT ban đầu đúng

Bài 1:

Ta có: \(\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Vậy \(P=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(P\le a\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+b\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)+c\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\dfrac{9}{4}\)

Bài 2:

Ta có:

\(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\dfrac{2+\sqrt{4\left(1+x^2\right)}}{2x}\le\dfrac{2+\dfrac{4+\left(1+x^2\right)}{2}}{2x}=\dfrac{9+x^2}{4x}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\dfrac{9+y^2}{4y};\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+z^2}{4z}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+x^2}{4x}+\dfrac{9+y^2}{4y}+\dfrac{9+z^2}{4z}\)

\(=\dfrac{9\left(xy+yz+xz\right)+xyz\left(x+y+z\right)}{4xyz}\le\dfrac{9\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(xyz\right)^2}{4xyz}=xyz\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Bài 1:

\(\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Sau đó côsi

Tự làm nốt nhé, ra 3/2 đấy. Em học lớp 8 nên cách giải chỉ thế thôi. Câu 2 em chưa làm được

cô cho bài này

em với lớp 5

CHÚC BẠN HỌC TỐT ^_^

\(\sqrt{x+2017}-y^3=\sqrt{y+2017}-x^3\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+2017}-\sqrt{y+2017}\right)+\left(x^3-y^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-y}{\sqrt{x+2017}+\sqrt{y+2017}}+\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+2017}+\sqrt{y+2017}}+\left(x^2+xy+y^2\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

\(\Rightarrow P=x^2-3x^2+12x-x^2+2018\)

\(=-3x^2+12x+2018=2030-3\left(x-2\right)^2\le2030\)