Ôn tập cuối năm môn Đại số - Hỏi đáp

ĐKXĐ: ....

Đặt \(a=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\) phương trình trở thành: \(x+a=2\sqrt{2}\)

Ta có \(a^2=\frac{x^2}{x^2-1}=\frac{x^2-1+1}{x^2-1}=1+\frac{1}{x^2-1}\Leftrightarrow a^2-1=\frac{1}{x^2-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)\left(x^2-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(ax\right)^2-a^2-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ax\right)^2-\left(a+x\right)^2+2ax=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ax\right)^2+2ax-8=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax=2\\ax=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=2\\\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}=-4\left(l\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x^2=2\sqrt{x^2-1}\Leftrightarrow x^4-4x^2+4=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\)

Ủa câu này nãy làm rồi mà bạn chưa hiểu hay sao?

\(VT=cos^22x+sin^22x-2sin2x.cos2x+2sin3x.cosx-2sinx.cosx-sin^{2x}\)

Ở đây ta lần lượt có:

\(cos^22x+sin^22x=1\)

\(2sin2x.cos2x=sin4x\)

\(2sin3x.cosx=sin4x+sin2x\)

\(2sinx.cosx=sin2x\)

Ghép lại sẽ được:

\(VT=1-sin4x+sin4x+sin2x-sin2x-sin^2x=1-sin^2x=cos^2x\)

\(2\left[\left(sinx+cosx+1\right)\left(sinx+cosx-1\right)\right]^2\)

\(=2\left[\left(sinx+cosx\right)^2-1\right]^2=2\left(sin^2x+cos^2x+2sinx.cosx-1\right)^2\)

\(=2\left(2sinx.cosx\right)^2=2sin^22x=1-cos4x\)

b/ \(\frac{3-4cos2a+2cos^22a-1}{3+4cos2a+2cos^22a-1}=\frac{2\left(cos^22a-2cos2a+1\right)}{2\left(cos^22a+2cos2a+1\right)}=\frac{\left(cos2a-1\right)^2}{\left(cos2a+1\right)^2}\)

\(\frac{\left(1-2sin^2a-1\right)^2}{\left(2cos^2a-1+1\right)^2}=\frac{4sin^4a}{4cos^4a}=tan^4a\)

c/ \(cos^22x+sin^22x-2sin2x.cos2x+2sin3x.cosx-2sinx.cosx-sin^2x\)

\(=1-sin4x+sin4x+sin2x-sin2x-sin^2x\)

\(=1-sin^2x=cos^2x\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}{-x+2}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}{x-2}\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge4\\2< x\le3\end{matrix}\right.\)

Câu hỏi của tiên lê - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Bạn vào đây coi thử

\(A=\frac{sinx+sin3x+sin2x}{cosx+cos3x+cos2x}=\frac{2sin2x.cosx+sin2x}{2cos2x.cosx+cos2x}=\frac{sin2x\left(2cosx+1\right)}{cos2x\left(2cosx+1\right)}=\frac{sin2x}{cos2x}=tan2x\)

Xét \(\left(m-3\right)x^2+\left(m+2\right)x-4>0\)

Để BPT đúng với mọi x thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-3>0\\\Delta=\left(m+2\right)^2+16\left(m-3\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>3\\m^2+20m-44< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>3\\-22< m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

Với với mọi \(m\in R\) thì BPT đã cho luôn có nghiệm

\(F=x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)

\(F=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)

\(F=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)\)

\(F=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{x+y}{2}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)\)

Ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\Rightarrow\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\ge1\left(1\right)\)

\(x+y\ge3\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)\)

\(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\ge2\left(3\right)\)

Cộng lần lượt từng vế của 3 BĐT \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta được:

\(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{x+y}{2}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)\ge1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow F\ge\frac{9}{2}\)

Vậy \(Min_F=\frac{9}{2}\)

\(F=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{y}{2}+\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

\(F\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}+2\sqrt{\frac{2y}{2y}}+\frac{1}{2}.3=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow F_{min}=\frac{9}{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

ĐKXĐ: \(-1\le x\le3\) ; \(x\ne1\)

- Với \(-1\le x< 1\) do \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{-x^2+2x+3}\ge0\\x-1< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le0\Rightarrow BPT\) vô nghiệm

- Với \(1< x\le3\Rightarrow x-1>0\) BPT tương đương:

\(\sqrt{-x^2+2x+3}\ge x-1\)

\(\Leftrightarrow-x^2+2x+3\ge\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4x-2\le0\) \(\Rightarrow1-\sqrt{2}\le x\le1+\sqrt{2}\)

Kết hợp điều kiện ta được \(1< x\le1+\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(2;3\right)\)

Ta có \(AH\perp BC\Rightarrow\) đường thẳng AH nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(2;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AH:

\(2\left(x-1\right)+3\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x+3y-8=0\)

a)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

\(\Delta>0\)

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu :

\(x_1x_2< 0\Leftrightarrow\frac{c}{a}< 0\)

Chỉ cần xét \(\frac{c}{a}< 0\)

\(\frac{5m-6}{m-2}< 0\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(\frac{5}{6};2\right)\)

b) \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[2\left(2m-3\right)\right]^2-4\left(m-2\right)\left(5m-6\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-10m+6=0\)\(\Leftrightarrow-4m^2+16m-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow1\le m\le3\)

Theo hệ thức viet: \(x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-2\left(2m-3\right)}{m-2}\)

Theo đề bài m cần thỏa mãn :\(\frac{-2\left(2m+3\right)}{m-2}=6\)

\(\Leftrightarrow\frac{-10m+6}{m-2}=0\left(m\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow-10m+6=0\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{3}{5}\)(?)

Để pt có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow ac< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(5m-6\right)< 0\Leftrightarrow\frac{6}{5}< m< 2\)

b/ \(\Delta'=\left(2m-3\right)^2-\left(m-2\right)\left(5m-6\right)\ge0\)

Để phương trình có 2 nghiệm có tổng bằng 6

\(\Rightarrow x_1+x_2=6\)

\(\Rightarrow\frac{-2\left(2m-3\right)}{m-2}=6\)

\(\Rightarrow-4m+6=6m-12\)

\(\Rightarrow m=\frac{9}{5}\)

Thay \(m=\frac{9}{5}\) vào biểu thức \(\Delta'\) kiểm tra thấy thỏa mãn, vậy \(m=\frac{9}{5}\)

\(2sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=cos2a-cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=cos2a\)

\(tanx-\frac{1}{tanx}=\frac{sinx}{cosx}-\frac{cosx}{sinx}=\frac{sin^2x-cos^2x}{sinx.cosx}=-\frac{2\left(cos^2x-sin^2x\right)}{2sinx.cosx}=\frac{2cos2x}{sin2x}=-2cot2x=-\frac{2}{tan2x}\)

\(\frac{sin^22x+4sin^2x-4}{1-8sin^2x-cos4x}=\frac{4sin^2x.cos^2x-4\left(1-sin^2x\right)}{1-8sin^2x-\left(1-2sin^22x\right)}=\frac{4sin^2x.cos^2x-4cos^2x}{2sin^22x-8sin^2x}\)

\(=\frac{-4cos^2x\left(1-sin^2x\right)}{8sin^2x.cos^2x-8sin^2x}=\frac{-4cos^2x.cos^2x}{-8sin^2x\left(1-cos^2x\right)}=\frac{cos^4x}{2sin^4x}=\frac{1}{2}cot^4x\)

\(\frac{cos2x}{cot^2x-tan^2x}=\frac{cos2x.sin^2x.cos^2x}{cos^4x-sin^4x}=\frac{\left(cos^2x-sin^2x\right).\left(2sinx.cosx\right)^2}{4\left(cos^2x-sin^2x\right)\left(cos^2x+sin^2x\right)}=\frac{1}{4}sin^22x\)