Cho x ∈ (0;\(\dfrac{\Pi}{2}\)) và sinx=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) . Khi đó cos \(\dfrac{x}{2}\) bằng
A.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B.\(\dfrac{1}{2}\)
C. \(-\dfrac{1}{2}\)
D.\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Cho x ∈ (0;\(\dfrac{\Pi}{2}\)) và sinx=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) . Khi đó cos \(\dfrac{x}{2}\) bằng
A.\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
B.\(\dfrac{1}{2}\)
C. \(-\dfrac{1}{2}\)
D.\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(x\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\Rightarrow cosx>0;sinx>0;cos\dfrac{x}{2}>0\)
\(cos^2x+sin^2x=1\Rightarrow cosx=\sqrt{1-sin^2x}=\dfrac{1}{2}\)
Có \(cosx=2cos^2\dfrac{x}{2}-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}=2cos^2x-1\)\(\Leftrightarrow cos^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow cos\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Ý A
Biến đổi đưa biểu thức sau về cùng hàm:
\(cos\frac{8x}{3}-3sin^2\frac{2x}{3}\)
\(cos\dfrac{8x}{3}-3sin^2\dfrac{2x}{3}=2cos^2\dfrac{4x}{3}-1-3.\dfrac{1-cos\dfrac{4x}{3}}{2}=2.cos^2\dfrac{4x}{3}+\dfrac{3}{2}cos\dfrac{4x}{3}-\dfrac{5}{2}\)
Cho \(\dfrac{cos7x+cos4x+cosx}{sin7x+sin4x+sinx}=\dfrac{1}{2}\)
Tính cos 8x
\(sin\dfrac{3x}{2}\left(cosx+cos4x+cos7x\right)\)
\(=\)\(sin\dfrac{3x}{2}.cosx+sin\dfrac{3x}{2}.cos4x+sin\dfrac{3x}{2}.cos7x=\dfrac{1}{2}\left[sin\dfrac{x}{2}+sin\dfrac{5x}{2}\right]+\dfrac{1}{2}\left[sin\left(-\dfrac{5x}{2}\right)+sin\dfrac{11x}{2}\right]+\dfrac{1}{2}\left[sin\left(-\dfrac{11x}{2}\right)+sin\dfrac{17x}{2}\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(sin\dfrac{x}{2}+sin\dfrac{17x}{2}\right)\)\(=\dfrac{1}{2}.2.sin\dfrac{9x}{2}.cos4x=sin\dfrac{9x}{2}.cos4x\)
\(sin\dfrac{3x}{2}\left(sinx+sin4x+sin7x\right)\)
\(=sin\dfrac{3x}{2}.sinx+sin\dfrac{3x}{2}.sin4x+sin\dfrac{3x}{2}.sin7x\)\(=\dfrac{1}{2}\left(cos\dfrac{x}{2}-cos\dfrac{5x}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\left(cos\dfrac{-5x}{2}-cos\dfrac{11x}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\left(cos\dfrac{-11x}{2}-cos\dfrac{17x}{2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(cos\dfrac{x}{2}-cos\dfrac{17x}{2}\right)\)\(=\dfrac{1}{2}.-2.sin\dfrac{9x}{2}.sin\left(-4x\right)=sin\dfrac{9x}{2}.sin4x\)
Có \(\dfrac{cos7x+cos4x+cosx}{sin7x+sin4x+sinx}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{3x}{2}\left(cos7x+cos4x+cosx\right)}{sin\dfrac{3x}{2}\left(sin7x+sin4x+sinx\right)}\)\(=\dfrac{sin\dfrac{9x}{2}.cos4x}{sin\dfrac{9x}{2}.sin4x}\)\(=\dfrac{cos4x}{sin4x}\)
\(\Rightarrow\dfrac{cos4x}{sin4x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2cos4x=sin4x\)
\(\Leftrightarrow4.cos^24x=sin^24x\)
\(\Leftrightarrow4.cos^24x=1-cos^24x\)\(\Leftrightarrow cos^24x=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{1+cos8x}{2}=\dfrac{1}{5}\)
\(\Leftrightarrow cos8x=-\dfrac{3}{5}\)
Vậy..
Biến đổi thành tích các biểu thức sau A= cos2x + sin4x - cos6x B = sinx - sin2x + sin5x + sin8x
\(A=cos2x+sin4x-cos6x\)
\(=\left(cos2x-cos6x\right)+sin4x=-2.sin4x.sin\left(-2x\right)+sin4x\)
\(=2sin4x.sin2x+sin4x=sin4x\left(2sin2x+1\right)\)
\(B=sinx-sin2x+sin5x+sin8x\)
\(=\left(sin5x+sinx\right)+\left(sin8x-sin2x\right)\)
\(=2.sin3x.cos2x+2.sin3x.cos5x\)
\(=2sin3x\left(cos2x+cos5x\right)\)
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(x^2-5x+1=m-2\sqrt{6+5x-x^2}\) có đúng 2 nghiệm phân biệt :
\(A,\left[{}\begin{matrix}\dfrac{7}{4}< m< 7\\m=8\end{matrix}\right.\)
\(B,\left[{}\begin{matrix}\dfrac{3}{4}< m< 6\\m=7\end{matrix}\right.\)
\(C,\left[{}\begin{matrix}\dfrac{7}{4}\le m\le7\\m=8\end{matrix}\right.\)
\(D,m=8\)
\(x^2-5x+1=m-2\sqrt{6+5x-x^2}\) (đk: \(x\in\left[-1;6\right]\))
\(\Leftrightarrow7-\left(6+5x-x^2\right)=m-2\sqrt{6+5x-x^2}\)
\(Đặt \) \(a=\sqrt{6+5x-x^2}\left(a\ge0\right)\)
(bình phương cái vừa đặt lên, tìm được \(\Delta_x=49-4a^2\) nên với mỗi \(a\in\left[0;\dfrac{7}{2}\right]\backslash\left\{\dfrac{7}{2}\right\}\) sẽ có 2 nghiệm x phân biệt)
pttt: \(7-a^2=m-2a\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a-7=-m\) (*)
BBT \(f\left(x\right)=a^2-2a-7\) với \(a\in\left[0;\dfrac{7}{2}\right]\backslash\left\{\dfrac{7}{2}\right\}\)
nên để pt ban đầu có 2 nghiệm x phân biệt <=>pt (*) có 1 nghiệm <=> \(\left[{}\begin{matrix}-m=-8\\-7< -m< \dfrac{7}{4}\end{matrix}\right.\) hay \(\left[{}\begin{matrix}m=8\\\dfrac{7}{4}< m< 7\end{matrix}\right.\)
Ý A
Cho phương trình \(x^4-mx^2+m+3=0.\) Giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng của hai nghiệm nhỏ nhất là một số nhỏ hơn -3 là:
A,\(6< m\le9\)
\(B,m>6\)
\(C,6< m\le11+\sqrt{42}\)
\(D,11-\sqrt{42}< m\le11+\sqrt{42}\)
Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)
pttt:\(t^2-mt+m+3=0\) (*)
Để pt ban đầu có 4 nghiệm pb <=> pt (*) có hai nghiệm t dương
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m-12>0\\m>0\\m+3>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m>6\) (1)
Hai nghiệm nhỏ nhất của phương trình ban đầu có dạng \(-\sqrt{t_1},-\sqrt{t_2}\)
Có \(-\sqrt{t_1}-\sqrt{t_2}< -3\)
\(\Leftrightarrow t_1+t_2+2\sqrt{t_1t_2}>9\)
\(\Leftrightarrow m+2\sqrt{m+3}>9\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{m+3}>9-m\)
TH1: \(9-m< 0\Leftrightarrow m>9\) (2)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}9-m\ge0\\4\left(m+3\right)>81-18m+m^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le9\\m\in\left(11-2\sqrt{13};11+2\sqrt{13}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m\in\left[11-2\sqrt{13};9\right]\backslash\left\{11-2\sqrt{13}\right\}\) (3)
Từ (1) (2) (3) => m>6
Ý B
I = \(\dfrac{1+cotx}{1-cotx}.tan^2\dfrac{x}{2}-cos^2x\)
chứng minh đẳng thức: (1+sinx)(cotx - cosx)=cos^3x
Lời giải:
\((1+\sin x)(\cot x-\cos x)=(1+\sin x)(\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x)=\cos x(1+\sin x).\frac{1-\sin x}{\sin x}\)
\(=\frac{\cos x(1-\sin ^2x)}{\sin x}=\frac{\cos x.\cos ^2x}{\sin x}=\frac{\cos ^3x}{\sin x}\)
\(\left(1+sinx\right)\left(cotx-cosx\right)=\left(1+sinx\right)\left(\dfrac{cosx}{sinx}-cosx\right)\)
\(=cosx\left(1+sinx\right)\left(\dfrac{1-sinx}{sinx}\right)=\dfrac{cosx\left(1-sin^2x\right)}{sinx}=\dfrac{cos^3x}{sinx}\)
Đề bài ko chính xác
\(\dfrac{sina}{sin^3a+\cos^3a}\)
Cho\(\pi< a< \dfrac{3\pi}{2}\).Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A sin(\(\dfrac{7\pi}{2}+a\))>0
B sin(\(\dfrac{7\pi}{2}+a\))≥0
C sin(\(\dfrac{7\pi}{2}+a\))<0
D sin(\(\dfrac{7\pi}{2}+a\))≤0
\(\pi< a< \dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sina< 0\\cosa< 0\end{matrix}\right.\)
\(sin\left(\dfrac{7\pi}{2}+a\right)=sin\left(4\pi-\dfrac{\pi}{2}+a\right)=sin\left(-\dfrac{\pi}{2}+a\right)=-sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)=-cosa>0\)
Đáp án A