Ôn tập chương III - Hỏi đáp

xin lỗi mn đây là roán lớp 6

Lời giải:

Đặt biểu thức đã cho là \(A\)

Ta có:

\(6a^2+8ab+11b^2=2a^2+(2a+2b)^2+7b^2\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\([2a^2+(2a+2b)^2+7b^2](2+4^2+7)\geq (2a+8a+8b+7b)^2\)

\(\Leftrightarrow 25(6a^2+8ab+11b^2)\geq (10a+15b)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{6a^2+8ab+11b^2}\geq 2a+3b\)

\(\Rightarrow \frac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{6a^2+8ab+11b^2}}\leq \frac{a^2+3ab+b^2}{2a+3b}\)

Thực hiện tương tự với các biểu thức còn lại và cộng theo vế:

\(A\leq \frac{a^2+3ab+b^2}{2a+3b}+\frac{a^2+3ac+c^2}{2c+3a}+\frac{b^2+3bc+c^2}{2b+3c}\)

\(6A\leq \frac{3a(2a+3b)+2b(2a+3b)+5ab}{2a+3b}+\frac{3c(2c+3a)+2a(2c+3a)+5ac}{2c+3a}+\frac{3b(2b+3c)+2c(2b+3c)+5bc}{2b+3c}\)

\(\Leftrightarrow 6A\leq 3a+2b+\frac{5ab}{2a+3b}+3c+2a+\frac{5ac}{2c+3a}+3b+2c+\frac{5bc}{2b+3c}\)

\(\Leftrightarrow 6A\leq 5(a+b+c)+5\left(\frac{ab}{2a+3b}+\frac{bc}{2b+3c}+\frac{ac}{2c+3a}\right)\)

Theo hệ quả của BĐT AM-GM:
\((a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)=9\Rightarrow a+b+c\leq 3(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng ngược:

\(\frac{ab}{2a+3b}\leq \frac{ab}{25}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\frac{bc}{2b+3c}\leq \frac{bc}{25}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\frac{ca}{2c+3a}\leq \frac{ca}{25}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\right)\)

\(\Rightarrow \frac{ab}{2a+3b}+\frac{bc}{2b+3c}+\frac{ac}{2c+3a}\leq \frac{1}{5}(a+b+c)(2)\)

Từ (1); (2) suy ra:

\(6A\leq 5(a+b+c)+5.\frac{1}{5}(a+b+c)=6(a+b+c)\leq 18\)

\(\Rightarrow A\leq 3\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

ĐK:\(x^2-x-2\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge2\end{matrix}\right.\)

\(PT\Leftrightarrow\sqrt{x^2-x-2}-1+2x^2-2x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-x-3}{\sqrt{x^2-x-2}+1}+2\left(x^2-x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-3\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-x-2}+1}+2\right)=0\)

Vì \(\frac{1}{\sqrt{x^2-x-2}+1}+2>0\) \(\Leftrightarrow x^2-x-3=0\)\(\Leftrightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\) (tm)

Vậy...

---đề thiếu: độ dài 2 cạnh góc "vuông"---

Gọi độ dài cạnh góc vuông bé là a cm(a>0)

=>độ dài cạnh còn lại là:a+7(cm)

Độ dài cạnh huyền là:\(\sqrt{a^2+\left(a+7\right)^2}=\sqrt{2a^2+14a+49}\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác là:

a+a+7+\(\sqrt{2a^2+14a+49}\)=30

<=>2a-23=-\(\sqrt{2a^2+14a+49}\)

ĐK có nghiệm:a\(\le\dfrac{23}{2}\)

=>4a²-92a+529=2a²+14a+49

<=>2a²-106a+480=0

<=>a=48(L) hoặc a=5(TM)

=>độ dài cạnh góc vuông là 5 cm và 12 cm

Độ dài cạnh huyền:

\(\sqrt{2.5^2+14.5+49}=13\left(cm\right)\)

x^2+y^2=1=>xy≤1/2

A=2/(1+xy)-2

1+xy≤1/2+1=3/2

x,y>0=>1/(1+xy)≥2/3

A≥2.2/3-2=-2/3

khi x=y=√2/2

ĐKXĐ: \(x\ge1;y\ge\frac{1}{2}\)

\(x^3-y^3+\sqrt{x+y-1}-\sqrt{2y-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\frac{x-y}{\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2y-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+\frac{1}{\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2y-1}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thay xuống dưới:

\(5=x^2+\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4+\sqrt{x-1}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)+\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=2\Rightarrow y=2\)

Hệ pt có nghiệm nguyên khi \(2m-3\inƯ\left(6\right)=\left\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\right\}\)
Bạn giải tìm m rồi thế m vô tìm nghiệm

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+x^2-6x+9< x^2+x^2-8x+16\)

\(\Leftrightarrow10< 16\) (luôn đúng)

Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là R

\(x\ge-3;y\ge-2\)

Từ pt đầu: \(x^2-y^2+3\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+3\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=-3-y\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x=y\Rightarrow x\ge-2\) thay vào pt dưới:

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}=2\Leftrightarrow2x+5+2\sqrt{x^2+5x+6}=4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+5x+6}=-2x-1\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x-1\ge0\\4\left(x^2+5x+6\right)=\left(-2x-1\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{-1}{2}\\16x=-23\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=\dfrac{-23}{16}\)

TH2: \(x=-3-y\Rightarrow y\le0\) thay vào pt dưới:

\(\sqrt{-y}+\sqrt{y+2}=2\) \(\Leftrightarrow-y+y+2+2\sqrt{-y^2-2y}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-y^2-2y}=1\Leftrightarrow y^2+2y+1=0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=-2\end{matrix}\right.\)