Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác . các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \(\sqrt{\dfrac{AM}{MD}}+\sqrt{\dfrac{BM}{ME}}+\sqrt{\dfrac{CM}{MF}}\)
Ôn tập chương II - Đa giác. Diện tích đa giác
• Đặt \(S_{MBC}=S_1;S_{MAC}=S_2;S_{MAB}=S_3\)
• Dựng \(AH\perp BC\text{ và }MK\perp BC\)
⇒ AH // MK
\(\Rightarrow\dfrac{AD}{MD}=\dfrac{AH}{MK}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times AH\times BC}{\dfrac{1}{2}\times MK\times BC}=\dfrac{S_{ABC}}{S_1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{AD}{MD}-1=\dfrac{S_{ABC}}{S_1}-1=\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{AM}{MD}}=\sqrt{\dfrac{S_2+S_3}{S_1}}\)
• Tương tự, ta cũng có: \(\sqrt{\dfrac{BM}{ME}}=\sqrt{\dfrac{S_1+S_3}{S_2}};\sqrt{\dfrac{CM}{MF}}=\sqrt{\dfrac{S_1+S_2}{S_3}}\)
• Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\(P=\sqrt{\dfrac{S_2+S_3}{S_1}}+\sqrt{\dfrac{S_1+S_3}{S_2}}+\sqrt{\dfrac{S_2+S_1}{S_3}}\)
\(\ge3\sqrt[6]{\dfrac{S_2+S_3}{S_1}\times\dfrac{S_1+S_3}{S_2}\times\dfrac{S_2+S_1}{S_3}}\)
\(\ge3\sqrt[6]{\dfrac{2\sqrt{S_2S_3}}{S_1}\times\dfrac{2\sqrt{S_1S_3}}{S_2}\times\dfrac{2\sqrt{S_2S_1}}{S_3}}=3\sqrt{2}\)
• Dấu "=" xảy ra khi \(S_1=S_2=S_3\)
⇔ M là trọng tâm của ΔABC.
Đúng 0
Bình luận (2)
Cho tam giác ABC đều. Cạnh bằng a, trên tia đối tia AB lấy D sao cho AD=\(\dfrac{AB}{2}\). Trên tia đối tia CA lấy E sao cho CE = \(\dfrac{AC}{2}\)
TRên Bc lấy E sao cho BC=2BE.
a) Tính Diện tích tam giác ABC theo a
b) Tính tỉ số diện tích tam giác DEF và ABC
