Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}a>=0\\a\ne25\end{matrix}\right.\)

\(A=\left(3+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(3-\dfrac{a-5\sqrt{a}}{\sqrt{a}-5}\right)\)

\(=\left(3+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\left(3-\sqrt{a}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{a}-5\right)}{\sqrt{a}-5}\right)\)

\(=\left(3+\sqrt{a}\right)\left(3-\sqrt{a}\right)=9-a\)

b: ĐKXĐ: x>=0 và x<>1

\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}}{x-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x+\sqrt{x}-3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

c: ĐKXĐ: a>=0 và a<>1

\(P=\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}\right)\)

\(=\left(1+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)=a+2\sqrt{a}+1\)

ĐK: \(x\ne\pm4;x\ne0\)

Biểu thức trở thành:

\(\left(\dfrac{4\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{x-4}-\dfrac{8x}{x-4}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\\ =\dfrac{4x-8\sqrt{x}-8x}{x-4}:\dfrac{x-1-2\sqrt{x}+4}{x-2\sqrt{x}}\\ =\dfrac{\left(-4x-8\sqrt{x}\right).\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-2\sqrt{x}+3\right)}\\ =\dfrac{-4\sqrt{x}\left(x+2\right).\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-2\sqrt{x}+3\right)}\\ =\dfrac{-4x}{x-2\sqrt{x}+3}\)

\(\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{8\sqrt{x}+8}{x+2\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{x+\sqrt{x}+3}{x+2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(x>0;x\ne2\right)\\ =\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{8\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{x+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\\ =\left(\dfrac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{8\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\right):\left(\dfrac{x+\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\right)\)

\(=\dfrac{x+8\sqrt{x}+8-x-\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}:\dfrac{x+\sqrt{x}+3+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ =\dfrac{7\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x+2}\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{x+2\sqrt{x}+5}\\ =\dfrac{7\sqrt{x}+4}{x+2\sqrt{x}+5}\)

a) \(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=-\left(x+3+x-1-6\right)\)\(\left(Đk:x\ge1\right)\)

\(\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}\right)^2+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3}-6=0\)

\(\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+3\right)\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}-2\right)=0\)

Đến đây em xét các trường hợp rồi bình phương lên là được nha

b) \(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=3x-2+x-1-6+2\sqrt{\left(3x-2\right)\left(x-1\right)}\left(Đk:x\ge1\right)\)

\(\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}\right)^2-\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}\right)-6=0\)

\(\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3\right)\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}+2\right)=0\)

Đến đây em xét các trường hợp rồi bình phương lên là được nha

a/ ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{x-1}=a; \sqrt{x+3}=b$ thì pt trở thành:

$a+b+2ab=6-(a^2+b^2)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab+a+b-6=0$

$\Leftrightarrow (a+b)^2+(a+b)-6=0$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a+b+3)=0$

Hiển nhiên do $a\geq 0; b\geq 0$ nên $a+b+3>0$. Do đó $a+b-2=0$

$\Leftrightarrow a+b=2$

Mà $b^2-a^2=(x+3)-(x-1)=4$

$\Leftrightarrow (b-a)(b+a)=4\Leftrightarrow (b-a).2=4\Leftrightarrow b-a=2$

$\Rightarrow \sqrt{x+3}=b=(a+b+b-a):2=(2+2):2=2$

$\Leftrightarrow x=1$ (tm)

b/

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Đặt $\sqrt{3x-2}=a; \sqrt{x-1}=b(a,b\geq 0)$. Khi đó pt đã cho trở thành:

$a+b=a^2+b^2-6+2ab$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab-(a+b)-6=0$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-(a+b)-6=0$

$\Leftrightarrow (a+b+2)(a+b-3)=0$

Hiển nhiên $a+b+2>0$ với mọi $a,b\geq 0$

Do đó $a+b-3=0\Leftrightarrow a+b=3$

$\Leftrightarrow b=3-a$.

Ta thấy $a^2-3b^2=1$. Thay $b=3-a$ vô thì:

$a^2-3(3-a)^2=1$

$\Leftrightarrow (a-2)(a-7)=0$

$\Leftrightarrow a=2$ hoặc $a=7$

Vì $a+b=3$ mà $a,b>0$ nên $a,b<3$. Do đó $a=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x-2}=2$ 

$\Leftrightarrow x=2$ 

\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{2x-\sqrt{x}-3}{x-9}\) (ĐK: \(x\ge0;x\ne9\))

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\dfrac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\dfrac{2x-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{\text{x}-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-\sqrt{x}-3-2x+\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ

=> \(\sqrt{7}=\dfrac{m}{n}\)(Tối giản)

=> 7=\(\dfrac{m^2}{n^2}\)hay 7n²=m²(1)

Đẳng thức này chứng tỏ m²\(⋮7\)mà 7 là số nguyên tố nên \(m⋮7\).

Đặt m=7k (\(k\in Z\)), ta có m²=49k²(2)

Từ (1) và (2) suy ra 7n²=49k² nên n²=7k²(3)

Từ (3) ta lại có \(n^2⋮7\)và vì 7 là số nguyên tố nên n⋮7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số \(\dfrac{m}{n}\)không tối giản, trái giả thiết.

Vậy \(\sqrt{7}\) không phải số hữu tỉ; do đó \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ.

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ được viết dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\left(b\ne0\right)\) 

\(\Rightarrow\sqrt{7}=\dfrac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{7}\right)^2=\left(\dfrac{a}{b}\right)^2\)

\(\Rightarrow7=\dfrac{a^2}{b^2}\)

\(\Rightarrow a^2=7b^2\)  

Nên: \(a^2\) ⋮ 7

\(\Rightarrow a\) ⋮ 7 (1)

Và: \(7b^2\) ⋮ 49

\(\Rightarrow b^2\) ⋮ 7

\(\Rightarrow b\) ⋮ 7 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a;b\right)\ne1\) 

Theo giả sử thì: \(\left(a;b\right)=1\)

Điều giả sử là sai 

\(\Rightarrow\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ (đpcm) 

Bất đẳng thức Cauchy \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) viết lại dưới dạng \(ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\) (*) (a, b ≥ 0)

Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta được :

\(2x.xy\le\left(\dfrac{2x+xy}{2}\right)^2=4\)

Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2=> max A = 2 <=> x = 2, y = 2.

a: ĐKXĐ: x+2>=0 và x-3>=0

=>x>=-2 và x>=3

=>x>=3

b: ĐKXĐ: 5-x>=0 và x-2>=0

=>x<=5 và x>=2

=>2<=x<=5

c: ĐKXĐ: -2x+6>=0 và -4x+3>=0

=>-2x>=-6 và -4x>=-3

=>x<=3 và x<=3/4

=>x<=3/4

d: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x^2}{9-4x}>=0\\x+1>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9-4x>0\\x+1>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>=-1\\x< =\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

e: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{5}{2x+5}>=0\\x-3< >0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+5< 0\\x< >3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x< -\dfrac{5}{2}\)

f: ĐKXĐ: \(-1+\dfrac{2}{x-1}>=0\)

=>\(\dfrac{-x+1+2}{x-1}>=0\)

=>\(\dfrac{x-3}{x-1}< =0\)

=>1<x<=3

a) \(A=\left(\dfrac{2+x}{2-x}-\dfrac{2-x}{2+x}-\dfrac{4x^2}{x^2-4}\right):\dfrac{x-3}{2x-x^2}\) (ĐK: \(x\ne0;x\ne\pm2;x\ne3\))

\(A=\left[-\dfrac{x+2}{x-2}+\dfrac{x-2}{x+2}-\dfrac{4x^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right]:\dfrac{x-3}{2x-x^2}\)

\(A=\left[\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\dfrac{\left(x+2\right)^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\dfrac{4x^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right]\cdot\dfrac{2x-x^2}{x-3}\)

\(A=\dfrac{x^2-4x+4-x^2-4x-4-4x^2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{2x-x^2}{x-3}\)

\(A=\dfrac{-4x^2-8x}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{x\left(2-x\right)}{x-3}\)

\(A=\dfrac{-4x\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{-x\left(x-2\right)}{x-3}\)

\(A=\dfrac{4x^2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\)

\(A=\dfrac{4x^2}{x-3}\)

b) Ta có: 

\(\left|x\right|=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

TH1: x=1

\(A=\dfrac{4\cdot1^2}{1-3}=\dfrac{4}{-2}=-2\)

TH2: x=-1

\(A=\dfrac{4\cdot\left(-1\right)^2}{-1-3}=\dfrac{4}{-4}=-1\)

a) \(A=\left(\dfrac{2+x}{2-x}-\dfrac{2-x}{2+x}-\dfrac{4x^2}{x^2-4}\right):\dfrac{x-3}{2x-x^2}\left(x\ne0;\pm2\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\left[\dfrac{\left(2+x\right)^2-\left(2-x\right)^2+4x^2}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}\right]-:\dfrac{x-3}{x\left(2-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\left[\dfrac{4+4x+x^2-\left(4-4x+x^2\right)+4x^2}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}\right]-:\dfrac{x-3}{x\left(2-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\left[\dfrac{4x^2+8x}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}\right]:\dfrac{x-3}{x\left(2-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\left[\dfrac{4\left(x+2\right)}{\left(2-x\right)\left(2+x\right)}\right]:\dfrac{x-3}{x\left(2-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{4}{2-x}.\dfrac{x\left(2-x\right)}{x-3}=\dfrac{4x}{x-3}\)

b) \(\left|x\right|=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=1:\)

\(A=\dfrac{4x}{x-3}=\dfrac{4.1}{1-3}=-2\)

- Với \(x=-1:\)

\(A=\dfrac{4x}{x-3}=\dfrac{4.\left(-1\right)}{-1-3}=1\)