Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

\(ax^3=by^3=cz^3\Rightarrow\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)

=> \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)

\(=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)

Vay \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\)\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)

Câu a)

ĐK: \(x\geq \frac{1}{2}\)

Ta có:

\(\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow \sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}=2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)-2\sqrt{2x-1}+1}=2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow |\sqrt{2x-1}-1|=2\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{2x-1}-1=2\\ \sqrt{2x-1}-1=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{2x-1}=3\rightarrow 5(t/m)\\ \sqrt{2x-1}=-1(\text{vô lý})\end{matrix}\right.\)

Vậy $x=5$

Câu b)

ĐK: \(x\geq \frac{5}{2}\)

Nhân cả 2 vế với \(\sqrt{2}\) ta có:

\(\sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-6\sqrt{2x-5}}=4\)

Đặt \(\sqrt{2x-5}=a(a\geq 0)\Rightarrow 2x-5=a^2\Rightarrow 2x=a^2+5\)

PT trở thành:
\(\sqrt{a^2+5+4+6a}+\sqrt{a^2+5-4-6a}=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{a^2+6a+9}+\sqrt{a^2-6a+1}=4\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(a+3)^2}+\sqrt{a^2-6a+1}=4\)

\(\Leftrightarrow a+3+\sqrt{a^2-6a+1}=4\)

\(\Rightarrow \sqrt{a^2-6a+1}=1-a\)

\(\Rightarrow a^2-6a+1=(1-a)^2=a^2-2a+1\) (bình phương 2 vế)

\(\Rightarrow -6a=-2a\Rightarrow a=0\)

$a=0$ kéo theo $x=\frac{5}{2}$ (thử lại thấy t/m)

Vậy..........

@Võ Hồng Phúc

Lời giải:
Ta có:

\((x+\sqrt{x^2+2007})(y+\sqrt{y^2+2007})=2007\)

Nhân \(x-\sqrt{x^2+2007}\) vào 2 vế:

\(\Rightarrow (x-\sqrt{x^2+2007})(x+\sqrt{x^2+2007})(y+\sqrt{y^2+2007})=2007(x-\sqrt{x^2+2007})\)

\(\Leftrightarrow [x^2-(x^2+2007)](y+\sqrt{y^2+2007})=2007(x-\sqrt{x^2+2007})\)

\(\Leftrightarrow -2007(y+\sqrt{y^2+2007})=2007(x-\sqrt{x^2+2007})\)

\(\Leftrightarrow -(y+\sqrt{y^2+2007})=x-\sqrt{x^2+2007}\)

\(\Leftrightarrow x+y+\sqrt{y^2+2007}-\sqrt{x^2+2007}=0(1)\)

Hoàn toàn tương tự, nhân \(y-\sqrt{y^2+2007}\) vào 2 vế:

\(x+y+\sqrt{x^2+2007}-\sqrt{y^2+2007}=0(2)\)

Từ (1);(2) suy ra: \(2(x+y)=0+0=0\Rightarrow S=x+y=0\)

\(P=\dfrac{x}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}-\dfrac{y}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{xy}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{y}\right)}\)

\(=\sqrt{xy}+\sqrt{x}-\sqrt{y}\)

Ta có: \(P=\sqrt{xy}+\sqrt{x}-\sqrt{y}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)=3\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1,\sqrt{y}+1\right)=\left(1,3;3,1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(4,4;16,0\right)\)

Lời giải:

ĐKXĐ: \(y\in \mathbb{R}\)

Ta có: \(\sqrt{y^2+12}+5=3y+\sqrt{y^2+5}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{y^2+12}-2y=(y-2)+(\sqrt{y^2+5}-3)\)

\(\Leftrightarrow \frac{y^2+12-4y^2}{\sqrt{y^2+12}+2y}=(y-2)+\frac{y^2+5-9}{\sqrt{y^2+5}+3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{-3(y-2)(y+2)}{\sqrt{y^2+12}+2y}=(y-2)+\frac{(y-2)(y+2)}{\sqrt{y^2+5}+3}\)

\(\Leftrightarrow (y-2)\left[1+\frac{y+2}{\sqrt{y^2+5}+3}+\frac{3(y+2)}{\sqrt{y^2+12}+2y}\right]=0\)

Ta thấy: \(3y+\sqrt{y^2+5}=\sqrt{y^2+12}+5>\sqrt{y^2+5}+5\)

\(\Rightarrow 3y>5>0\Rightarrow y>0\)

Với $y>0$ thì biểu thức trong ngoặc lớn luôn lớn hơn $0$

Do đó \(y-2=0\Leftrightarrow y=2\)

Thử lại thấy thỏa mãn.

Bài 2:

PT hoành độ giao điểm:

\(x^2-(-x+2)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow (x-1)(x+2)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\rightarrow y=1\\ x=-2\rightarrow y=4\end{matrix}\right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị là \((1,1); (-2,4)\)

c) Vì $(D')$ song song với $(D)$ nên gọi phương trình biểu diễn đồ thị $(D')$ là \(y=-x+k\)

PT hoành độ giao điểm của $(D')$ và $(P)$:

\(x^2-(-x+k)=x^2+x-k=0\)

Vì hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng $-1$ nên \((-1)^2+(-1)-k=0\Leftrightarrow k=0\)

Vậy pt đường thẳng $(D')$ là \(y=-x\)

Bài 3:

a) Với $m=1$ pt trở thành:

\(x^2-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=1\end{matrix}\right.\)

b) Để pt có một nghiệm $x=2$ thì:

\(2^2+(m-2).2-m+1=0\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)

Khi đó pt trở thành:

\(x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(x-1)=0\Rightarrow x=1\) là nghiệm còn lại.

c)

Ta thấy \(\Delta=(m-2)^2-4(1-m)=m^2\geq 0, \forall m\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có nghiệm với mọi giá trị thực của $m$

d)

Áp dụng định lý Viete, nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm (không tính phân biệt) thì: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2-m\\ x_1x_2=1-m\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(A=x_1^2+x_2^2-6x_1x_2=(x_1+x_2)^2-8x_1x_2\)

\(=(2-m)^2-8(1-m)=m^2+4m-4\)

\(=(m+2)^2-8\geq 0-8=-8\)

Vậy \(A_{\min}=-8\Leftrightarrow m=-2\)

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+\dfrac{1}{2.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=4+2=6\)

Đặt \(t=\sqrt{x}-1\) ta có \(t>0,\left(\forall x>1\right)\) và \(\sqrt{x}=t+1;x=t^2+2t+1\) từ đó

\(P=\dfrac{t^2+3t+3}{t}=3+\left(t+\dfrac{3}{t}\right)\ge3+2\sqrt{t.\dfrac{3}{t}}=3+2\sqrt{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}t>0\\t=\dfrac{3}{t}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow t=\sqrt{3}\) \(\Leftrightarrow x=4+2\sqrt{3}\)

Vậy \(minP=3+2\sqrt{3}\)

\(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-1+\sqrt{x}-1+1+2}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\sqrt{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}+3\)

với x >1 => \(\sqrt{x}-1>0;\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}>0\)

áp cô si cho 2 số dươg

\(P\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right).\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}}+3=2\sqrt{3}+3\)

đẳng thức khi \(\sqrt{x}-1=\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}\)

\(\sqrt{x}-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=4+2\sqrt{3}\)thỏa mãn đk của x

kết luận

GTNN \(3+2\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT=\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}}{4yz+1}\ge\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}}{\left(y+z\right)^2+1}=\sum\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)^2+1}\)

Set \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\z+x=c\end{matrix}\right.\)thì giả thiết trở thành \(a+b+c=3\) và cần chứng minh \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)( đến đây quen thuộc rồi)

Ta có:\(\sum\dfrac{a}{b^2+1}=\sum a-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge3-\sum\dfrac{ab^2}{2b}\)(AM-GM)

\(VT\ge3-\sum\dfrac{ab}{2}\ge3-\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)( AM-GM)

Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

Ta co : (x+y)²≤2(x²+y²)

=> x+y≤\(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

=> \(\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)

Tuong tu: \(\dfrac{x^2}{y+z}\ge\dfrac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)

\(\dfrac{y^2}{x+z}\ge\dfrac{y^2}{\sqrt{2\left(x+z\right)}}\)

VT≥\(\dfrac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)

Dat : \(\sqrt{y^2+z^2}=a\)

\(\sqrt{x^2+z^2}=b\)

\(\sqrt{x^2+y^2}=c\)

=> a+b+c=2015 , a²=y²+z² , b²=x²+z² , c²=x²+y²

=> VT≥ \(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2\sqrt{2}.a}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}.b}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2\sqrt{2}c}\)

≥ \(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[\dfrac{\left(b+c\right)^2}{2a}+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2c}+\dfrac{\left(a+c\right)^2}{2b}-2015\right]\)

≥\(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[2\left(a+b+c\right)-2015\right]\)

= \(\dfrac{2015}{2\sqrt{2}}\)