Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+bc}\le\dfrac{1}{2\sqrt{a^2bc}}=\dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}=\dfrac{\sqrt{bc}}{2abc}\)

Tương tự:

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}\)

Dấu "=" khi a=b=c

Lời giải:
Biến đổi tương đương:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\geq ab+ac+ad\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2+2d^2\geq 2ab+2ac+2ad\)

\(\Leftrightarrow (\frac{a^2}{2}+2b^2-2ab)+(\frac{a^2}{2}+2c^2-2ac)+(\frac{a^2}{2}+d^2-2ad)+\frac{a^2}{2}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2+4b^2-4ab}{2}+\frac{a^2+4c^2-4ac}{2}+\frac{a^2+4d^2-4ad}{2}+\frac{a^2}{2}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a-2b)^2}{2}+\frac{(a-2c)^2}{2}+\frac{(a-2d)^2}{2}+\frac{a^2}{2}\geq 0\)

(luôn đúng)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=0$

a.

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+a^3b\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(*)

Mà \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\dfrac{b^2}{4}\right)+\dfrac{3b^2}{4}=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\)

Suy ra (*) đúng => đpcm

Dấu "=" xảy ra khi a = b

b.

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+ab^3+ac^3+a^3b+b^4+bc^3+a^3c+b^3c+c^4\)

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4\ge ab^3+a^3b+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+ca^3\right)\)

Theo câu a. thì điều này đúng

Dấu "=" khi a=b=c

c. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a}=a+b+c\left(dpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\Leftrightarrow a=b=c\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(a^{1995}+1994=a^{1995}+\underbrace{1+1+...+1}_{1994}\geq 1995\sqrt[5]{a^{1995}}=1995a\)

\(\Rightarrow a^{1995}+1995>1995a\)

\(\Rightarrow a^{1995}>1995(a-1)\) (đpcm)

\(\dfrac{x^2}{1+16x^4}\le\dfrac{x^2}{2\sqrt{16x^4}}=\dfrac{x^2}{2.4x^2}=\dfrac{1}{8}\)

\(\dfrac{y^2}{1+16y^4}\le\dfrac{y^2}{2\sqrt{16y^4}}=\dfrac{y^2}{2.4y^2}=\dfrac{1}{8}\)

Cộng theo vế suy ra đpcm

ta có : \(\dfrac{1-2x}{1-x}+\dfrac{1-2y}{1-y}=1\Leftrightarrow3xy-2x-2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

phương trình này hình như chỉ có 2 nghiệm này là hữu tỉ thôi phải không , nếu ai phát hiện còn nữa nói cho mk bt nha .