Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

\(5^2=25=6\) [19]

\(\Rightarrow A=7.6^n+12.6^n=19.6^n\) [19]

Do đó: \(A⋮19\)

7.5²ⁿ + 12.6ⁿ

= 7.5²ⁿ + ( 19 - 7 ). 6ⁿ

= 7.5²ⁿ + 19. 6ⁿ - 7.6ⁿ

= 7.5²ⁿ - 7.6ⁿ + 19. 6ⁿ

= 7(5²ⁿ - 6ⁿ ) + 19.6ⁿ

= 7(25ⁿ - 6ⁿ ) + 19.6ⁿ

Xét 7(25ⁿ - 6ⁿ ) \(⋮\) 19; 19.6^{n \(⋮\)}19

=> đpcm

Trả lời:

Bài 1:

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow ay-bx=0\)

\(\Leftrightarrow ay=bx\)

Vì \(x,y\ne0\)

Nên \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

\(\Rightarrow\text{đ}pcm\)

Chúc bạn học tốt!

Trả lời:

Bài 2:

\(\left(a+b+c\right)^2=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(ab^2c+bc^2a+ca^2b\right)\right]\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+8abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\) (Vì \(a+b+c=0\)) (1)

Có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2\left(a^2b^2+b^2c^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2\right)\\2\left(a^4+b^4+c^4\right)=a^4+b^4+c^4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^3\left(2\right)\\a^4+b^4+c^4=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1); (2) và (3) ta có đpcm.

Chúc bạn học tốt!

==" h chắc nhìu người onl nhwos họ đi

Lời giải:

Ta có:

\(3x^2+2x+3=3(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3^2})+\frac{8}{3}\)

\(=3(x+\frac{1}{3})^2+\frac{8}{3}\geq 3.0+\frac{8}{3}=\frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow C=\frac{5}{3x^2+2x+3}\leq \frac{5}{\frac{8}{3}}=\frac{15}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \((x+\frac{1}{3})^2=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{3}\)

Vậy \(C_{\max}=\frac{15}{8}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}\)

Ta có: 3x²+2x+3=

=\(\left(\sqrt{3}x\right)^2+2.\sqrt{3}x.\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+3\)

=\(\left(\sqrt{3}x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}\)

Vì \(\left(\sqrt{3}x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\ge0\) với mọi x

nên \(\left(\sqrt{3}x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow\dfrac{5}{\left(\sqrt{3}x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}}\le\dfrac{5}{\dfrac{8}{3}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{\left(\sqrt{3}x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}}\le\dfrac{15}{8}\)

\(\Rightarrow\dfrac{5}{3x^2+2x+3}\le\dfrac{15}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(\sqrt{3}x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=0\Rightarrow\sqrt{3}x+\dfrac{\sqrt{3}}{3}=0\Rightarrow x=\dfrac{-1}{3}\)

Vậy GTLN của C là \(\dfrac{15}{8}\)khi \(x=\dfrac{-1}{3}\)

!!!!Chúc học tốt!!

Ta có: \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{a}{3}\)

b) Áp dụng BĐT Bunyakovsky,ta có:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)3\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{a}{3}\)

cộng 3 vế lại cùng 1 lúc ta sẽ có (x+1)² +(y+1)²+(z+1)² = 0.

dấu bằng xảy ra khi cả 3 biểu thức bằng 0, suy ra x=y=z= -1

thế vào A thì A= -3