Cho x, y, z >0 thỏa mãn: xy +y +z =3; yz +y +z =8; xz +x +z =15. Tính: P =x +y +z
Cho x, y, z >0 thỏa mãn: xy +y +z =3; yz +y +z =8; xz +x +z =15. Tính: P =x +y +z
Lời giải:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} xy+x+y=3\\ yz+y+z=8\\ zx+z+x=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)(y+1)=4\\ (y+1)(z+1)=9\\ (z+1)(x+1)=16\end{matrix}\right.(1)\)
Nhân 3 vế với nhau:
\(\Rightarrow [(x+1)(y+1)(z+1)]^2=4.9.16\)
\(\Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=\pm 24\)
Nếu \((x+1)(y+1)(z+1)=24(2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z+1=6\\ x+1=\frac{8}{3}\\ y+1=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{5}{3}\\ y=\frac{1}{2}\\ z=5\end{matrix}\right.\)
Do đó, \(P=x+y+z=\frac{43}{6}\)
Nếu
\((x+1)(y+1)(z+1)=-24(3)\)
Từ $(1);(3)$ suy ra \(\left\{\begin{matrix} z+1=-6\\ x+1=\frac{-8}{3}\\ y+1=\frac{-3}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} z=-7\\ x=-\frac{11}{3}\\ y=\frac{-5}{2}\end{matrix}\right.\)
Do đó, \(P=x+y+z=-\frac{79}{6}\)
Đề sai.Sửa đề: \(xy+x+y=3\)
\(\left\{{}\begin{matrix}xy+x+y=3\\yz+y+z=8\\xz+x+z=15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+x+y+1=4\\yz+y+z+1=9\\xz+x+z+1=16\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(x+1\right)+1\left(x+1\right)=4\\y\left(z+1\right)+1\left(z+1\right)=9\\x\left(z+1\right)+1\left(z+1\right)=16\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=9\\\left(x+1\right)\left(z+1\right)=16\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left(x+1\right)\left(z+1\right)=576\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2=576\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=24\)
Đến đây chịu :v
Ta có:
xy+y+z=3
yz+y+z=8
xz+x+z=15
=> xy+y+z+yz+y+z+xz+x+z = 3+8+15= 26
=>xy+yz+xz + 2(y+z+x) = 26
Vì x,y,z >0 => xy>0;yz>0;xz>0 và xy+yz+xz > y+x+z
=> xy+yz+xz =3 thì y+x+z =11,5 (không hợp lý)
=> xy+yz+xz >3 thì y+z+x <11,5
Mà xy +yz +xz > y+x+z. Do đó y+z+x <3 hoặc =3
=> y+z+x =1;2;3
Không có trường hợp x+z+y =0
chứng minh hiệu các bình phương của 2 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 16
câu này tương đương với \(\left(2k\right)^2-\left(2k+2\right)^2⋮16\) thế \(k=1\) vào thì không thỏa mãn \(\Rightarrow\) đề sai
cho x=by+cz; y=ax+cz; z=ax+by và x+y+z \(\ne\)0; xyz\(\ne\)0
chứng minh: \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=2\)
Lời giải:
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=by-ax\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x-y+z=2by\Rightarrow b=\frac{x+z-y}{2y}\)
Hoàn toàn tương tự ta nhận được:
\(a=\frac{y+z-x}{2x};c=\frac{x+y-z}{2z}\)
Suy ra:
\(\left\{\begin{matrix} a+1=\frac{x+y+z}{2x}\\ b+1=\frac{x+y+z}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2\) (ĐPCM)