Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Ziinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 3 lúc 11:42

a.

Số hạng tổng quát trong khai triển:

\(C_{15}^k.\left(2x\right)^k.\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{15-k}=C_{15}^k.2^k.\left(-1\right)^{15-k}.x^{2k-15}\) 

Số hạng ko chứa x \(\Rightarrow2k-15=0\Rightarrow\) ko tồn tại k nguyên thỏa mãn

Vậy khai triển đã cho ko có số hạng ko chứa x

b.

SHTTQ trong khai triển: \(C_{14}^k.\left(3x\right)^k.\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{14-k}=C_{14}^k.3^k.\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{14-k}.x^k\)

Số hạng ko chứa x thỏa mãn: \(k=0\)

\(\Rightarrow\) Số hạng đó là: \(C_{14}^0.3^0.\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{14}=\dfrac{1}{2^{14}}\)

Bình luận (0)
Chiêm Hoàng Duy Khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Phước Thịnh
31 tháng 12 2023 lúc 20:51

\(\left(2x-3y\right)^{10}\)

\(=\left(2x\right)^{10}-C^1_{10}\cdot\left(2x\right)^9\cdot3y+C^2_{10}\cdot\left(2x\right)^8\cdot\left(3y\right)^2+...+\left(3y\right)^{10}\)

\(=1024x^{10}-1536x^9y+...+59049y^{10}\)

Bình luận (0)
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
meme
10 tháng 9 2023 lúc 14:16

S = C₀₂₀₂₄ + 12.C₂₀₂₄ + 13.C₂₀₂₄ + 14.C₂₀₂₄ + ... + 11013.C₂₀₂₄

= (C₀₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + ... + C₂₀₂₄) + (C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + C₂₀₂₄ + ... + C₂₀₂₄) + ... + (C₂₀₂₄)

= 11014.C₂₀₂₄

= 11014.

Bình luận (0)
Big City Boy
Xem chi tiết
meme
10 tháng 9 2023 lúc 14:33

Để tính giá trị của biểu thức S, chúng ta có thể sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton. Công thức này cho phép chúng ta tính toán các hệ số a0, a1, a2,..., a11 trong biểu thức (1+x+x^2+...+x^10)^11.

Công thức khai triển nhị thức Newton: (a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a^1b^(n-1) + C(n,n)a^0b^n

Trong đó, C(n,k) là tổ hợp chập k của n (n choose k), được tính bằng công thức C(n,k) = n! / (k!*(n-k)!).

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton vào biểu thức (1+x+x^2+...+x^10)^11, ta có:

S = C(11,0)*a0 - C(11,1)*a1 + C(11,2)*a2 - C(11,3)*a3 + ... + C(11,10)*a10 - C(11,11)*a11

Bây giờ, để tính giá trị của S, chúng ta cần tính các hệ số a0, a1, a2,..., a11. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức C(n,k) để tính các hệ số từng phần tử trong biểu thức (1+x+x^2+...+x^10)^11.

Tuy nhiên, để viết bài giải ngắn nhất có thể, ta có thể sử dụng một số tính chất của tổ hợp chập để rút gọn công thức. Chẳng hạn, ta có các quy tắc sau:

C(n,k) = C(n,n-k) (đối xứng)C(n,0) = C(n,n) = 1C(n,1) = C(n,n-1) = n

Áp dụng các quy tắc trên vào công thức của S, ta có:

S = a0 - 11a1 + 55a2 - 165a3 + ... + 330a10 - a11

Với công thức trên, ta chỉ cần tính 11 hệ số a0, a1, a2,..., a10, a11 và thực hiện các phép tính nhân và cộng trừ để tính giá trị của S.

Bình luận (0)
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Trí
10 tháng 9 2023 lúc 7:34

\(S=C^0_{2024}+\dfrac{1}{2}C^2_{2024}+\dfrac{1}{3}C^4_{2024}+\dfrac{1}{4}C^6_{2024}+...+\dfrac{1}{1013}C^{2024}_{2024}\)

Ta có :

\(\dfrac{1}{k+1}C^{2k-1}_n=\dfrac{1}{k+1}.\dfrac{n!}{\left(2k-1\right)!\left(n-2k+1\right)!}\)

\(=\dfrac{1}{n+1}.\dfrac{\left(n+1\right)!}{2k!\left[\left(n+1\right)-2k\right]!}\)

\(=\dfrac{1}{n+1}C^{2k}_{n+1}\)

\(\Rightarrow S_n=\dfrac{1}{n+1}\Sigma^{2k}_{k=0}C^{2k}_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}\left(\Sigma^{2k}_{k=0}C^{2k-1}_{n+1}-C^0_{n+1}\right)=\dfrac{2^{2n-1}-1}{n+1}\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{2^{2025}-1}{1013}\)

Bình luận (0)
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết