Bài 2: Nhân đa thức với đa thức

cho x>0,y>0,x+y=2018

\(B=\dfrac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{2x^2+4xy+4xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}\\ =\dfrac{\left(2x^2+4xy+2y^2\right)+4xy}{x^2+2xy+y^2}\\ =\dfrac{2\left(x^2+2xy+y^2\right)}{x^2+2xy+y^2}+\dfrac{4xy}{x^2+2xy+y^2}\\ =2+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}\)

Áp dụng BDT Cô-si : \(4xy\le\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow B=2+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}\le2+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\le2+1\le3\)

Dấu \("="\) xảy ra khi: \(x=y\)

Vậy \(B_{\left(Max\right)}=3\) khi \(x=y\)

M góp ý tí: Bác Akai Haruma muốn dùng cái cosi dạng engel thì trước hết phải chứng minh \(\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}>0\) đã nhé. Không thì không được dùng đâu.

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 9abc\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 9abc\)

\(\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{9}{ab+bc+ac}\)

\(\Rightarrow M\geq \frac{1}{1-2(ab+bc+ac)}+\frac{9}{ab+bc+ac}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{1-2(ab+bc+ac)}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{1-2(ab+bc+ac)+ab+bc+ac+ab+bc+ac}=9(1)\)

Theo hệ quả của BĐT Cauchy: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{7}{ab+bc+ac}\geq 21(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow M\geq 9+21=30\) hay \(M_{\min}=30\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Đặt 111...11 (n chữ số 1) =a thì 9a+1=100...00 (n chữ số 0) \(=10^n\)

Ta có: \(U_n=111...11555...55\) (n chữ số 1 và n chữ số 5)

=111...11 (n chữ số 1) . 100...00 (n chữ số 0) + 555...55 (n chữ số 5)

\(=a.10^n+5a=a\left(9a+1\right)+5a=9a^2+a+5a=9a^2+6a\)

\(\Rightarrow U_n+1=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2=\left(333...33+1\right)^2\) (n chữ số 3)

\(=333...334^2\) (n-1 chữ số 3) => \(U_n+1\) là 1 số chính phương

=> đpcm

thay x = y + 5 vào biểu thức, ta được:

\(\left(y+5\right)\left(y+7\right)+y\left(y-2\right)-2\left(y+5\right)y+64\\ =y^2+12y+35+y^2-2y-2y^2-10y+64\\ =35+64=99\)

a: \(=\dfrac{\left(2\cdot547+1\right)\cdot3}{547\cdot211}-\dfrac{546}{547\cdot211}-\dfrac{4}{547\cdot211}\)

\(=\dfrac{2735}{547\cdot211}=\dfrac{5}{211}\)

b: x=7 nên x+1=8

\(x^{15}-8x^{14}+8x^{13}-8x^{12}+...-8x^2+8x-5\)

\(=x^{15}-x^{14}\left(x+1\right)+x^{13}\left(x+1\right)-x^{12}\left(x+1\right)+...-x^2\left(x+1\right)+x\left(x+1\right)-5\)

\(=x^{15}-x^{15}-x^{14}+x^{14}-...-x^3-x^2+x^2+x-5\)

=x-5=7-5=2

a. \(\left(xy+1\right)^2-\left(x+y\right)^2=\left(xy+1+x+y\right)\left(xy+1-x-y\right)=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)

b.

thêm bớt 16x^2y^2

\(64x^4+y^4=64x^4+16x^2y^2+y^4-16x^2y^2\)

\(=\left(8x^2+y^2\right)^2-\left(4xy\right)^2\)

\(=\left(8x^2+y^2+4xy\right)\left(8x^2+y^2-4xy\right)\)

Đổi: 11giờ 30 phút = 11,5 h

thời gian ca nô đi cả đi lẫn về là :

11,5 -7 =4,5h

Gọi vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x (km/h)

=> Vận tốc ca nô khi ngược dòng là x-6 ( km/h)

=> thời gian ca nô khi xuôi dòng là \(\dfrac{36}{x}\) ( h)

thời gian ca nô khi ngược dòng là \(\dfrac{36}{x-6}\)(h)

=> ta có phương trình:

\(\dfrac{36}{x}+\dfrac{36}{x-6}=4,5\) (x\(\ne\) 6)

giải ra ta được: x\(\approx\) 19,544 (km/h)

vậy vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là 19,544 km/h

A= \(\left(\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{2}{2-x}+\dfrac{1}{x+2}\right):\left(x-2+\dfrac{10-x^2}{x+2}\right)\)

\(=\dfrac{-6}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}:\dfrac{6}{x+2}\)

\(=\dfrac{-1}{x-2}\)

b) \(\left|x\right|=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{2};x=\dfrac{-1}{2}\)

Thay \(x=\dfrac{1}{2}\) (Thỏa mãn ĐKXĐ \(x\ne2;x\ne-2\) )

\(A=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}-2}=\dfrac{2}{3}\)

Thay \(x=\dfrac{-1}{2}\) (Thỏa mãn ĐKXĐ \(x\ne2;x\ne-2\) )

\(A=\dfrac{-1}{\dfrac{-1}{2}-2}=\dfrac{2}{5}\)

c) \(\dfrac{-1}{x-2}< 0\)

\(\Rightarrow x-2>0\)

\(\Leftrightarrow x>2\)

Vậy x > 2 để A < 0

a, Ta có a(a-1)-(a+3)(a+2)

= a²-a-a²-5a-6

= -6a-6

= -6(a+1) chia hết cho 6 (đpcm)

b,Ta có a(a+2)-(a-7)(a-5)

= a²+2a-a²+12a+35

= 14a+35

= 7(a+5) chia hết cho 7 (đpcm0

\(\dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8\Rightarrow\dfrac{2^{2x}}{2^{x+y}}=2^3\\ \Rightarrow2^{2x-x-y}=2^3\Rightarrow x-y=3\left(1\right)\)

\(\dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243\Rightarrow\dfrac{3^{2x+2y}}{3^{5y}}=3^5\\ \Rightarrow3^{2x+2y-5y}=3^5\Rightarrow2x-3y=5\left(2\right)\)

từ (1) và (2) ta có hpt:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=3\\2x-3y=5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=1\end{matrix}\right.\)

vậy cặp số nguyên x,y là 4 và 1