\(\int\left(\dfrac{2x+1}{x+1}\right)dx=\int\left(2-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=2x-ln\left|x+1\right|+C.\)
\(I=\int\dfrac{dx}{cosx}=\int\dfrac{cosx.dx}{cos^2x}=\int\dfrac{d\left(sinx\right)}{\left(1-sinx\right)\left(1+sinx\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{1+sinx}{1-sinx}\right|+C=\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{\left(1+sinx\right)^2}{cos^2x}\right|+C\)
\(=ln\left|\dfrac{1+sinx}{cosx}\right|+C=ln\left|\dfrac{\left(sin\dfrac{x}{2}+cos\dfrac{x}{2}\right)^2}{cos^2\dfrac{x}{2}-sin^2\dfrac{x}{2}}\right|+C=ln\left|\dfrac{sin\dfrac{x}{2}+cos\dfrac{x}{2}}{cos\dfrac{x}{2}-sin\dfrac{x}{2}}\right|+C\)
\(=ln\left|\dfrac{\sqrt{2}sin\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2}cos\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)}\right|+C=ln\left|tan\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|+C\)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(\int\left(6x-\dfrac{1}{sin^2x}+1\right)dx\)
b) \(\int\dfrac{x^3+2x^2-1}{x^2}dx\)
1.\(\int\dfrac{\sin2x}{\cos^4x-4}dx\)
2.\(\int\sqrt{1-x^2}dx\)
3.\(\int\dfrac{xdx}{\sqrt{1+x^4}}dx\)
giúp mình với mn
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(2xf''\left(x\right)+f\left(x\right)=3x^2\sqrt{x}\) biết \(f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}\) . Tính f(4)
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right)f''\left(x\right)=15x^4+12x\) ∀x∈R biết
f(0)=f'(0)=1. Tính \(f^2\left(1\right)\)
Vẫn là đạo hàm của tích
Dễ dàng viết được:
\(\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\left[f\left(x\right)\right]'.f'\left(x\right)+f\left(x\right).\left[f'\left(x\right)\right]'=\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'\)
Do đó giả thiết biến đổi thành:
\(\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=15x^4+12x\)
Nguyên hàm 2 vế:
\(f'\left(x\right).f\left(x\right)=\int\left(15x^4+12x\right)dx=3x^5+6x^2+C\)
Thay \(x=0\)
\(\Rightarrow f'\left(0\right).f\left(0\right)=C\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right).f\left(x\right)=3x^5+6x^2+1\)
Tiếp tục nguyên hàm 2 vế:
\(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int\left(3x^5+6x^2+1\right)dx\) với chú ý \(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int f\left(x\right).d\left[f\left(x\right)\right]=\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)+C\)
Nên:
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+C\)
Thay \(x=0\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}f^2\left(x\right)=\dfrac{1}{2}x^6+2x^3+x+\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f^2\left(1\right)\)
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R\ {0; -1} thỏa mãn f(1) =-2ln2 và
\(x\left(x+1\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\) . Tính f(2)
Dạng: \(....f'\left(x\right)+...f\left(x\right)=...\)
Ý tưởng luôn là đưa về đạo hàm của tổng sau đó lấy nguyên hàm 2 vế.
Thêm bớt sao cho vế trái biến thành: \(u\left(x\right).f'\left(x\right)+u'\left(x\right).f\left(x\right)\) là được
So sánh nó với vế trái đề bài, dư ra \(u'\left(x\right)\) ở trước \(f\left(x\right)\) nên ta chia nó (vế kia vẫn ko quan tâm)
Được: \(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}.f'\left(x\right)+f\left(x\right)\)
So sánh nó với đề bài, vậy ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) sao cho:
\(\dfrac{u\left(x\right)}{u'\left(x\right)}=x\left(x+1\right)\)
Nhưng để thế này ko lấy nguyên hàm được, phải nghịch đảo 2 vế:
\(\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}=\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Giờ thì lấy nguyên hàm: \(\int\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}dx=\int\dfrac{dx}{x\left(x+1\right)}\Leftrightarrow ln\left|u\left(x\right)\right|=ln\left|\dfrac{x}{x+1}\right|+C\)
Tới đây suy được \(u\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\) \(\Rightarrow\) vế trái cần có dạng:
\(\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)\)
Nhìn vào đây là xong rồi. Bài toán sẽ được giải như sau:
Chia 2 vế giả thiết cho \(\left(x+1\right)^2\):
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}f'\left(x\right)+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\dfrac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)\right)'=\dfrac{x}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+1}+f\left(x\right)=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x-\dfrac{x}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=\dfrac{1}{2}-ln2+C\Rightarrow-2ln2=\dfrac{1}{2}-ln2+C\)
\(\Rightarrow C=-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{x+1}-ln\left|x+1\right|-ln2-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=...\)
Tính nguyên hàm của 3x^2.cos2xdx
Lời giải:
Áp dụng nguyên hàm từng phần:
\(\int 3x^2\cos 2xdx=\frac{3}{2}\int x^2d(\sin 2x)=\frac{3}{2}[x^2\sin 2x-\int \sin 2xd(x^2)]\)
\(=\frac{3}{2}[x^2\sin 2x-2\int x\sin 2xdx]\)
\(=\frac{3}{2}[x^2\sin 2x+\int xd(\cos 2x)]=\frac{3}{2}[x^2\sin 2x+x\cos 2x-\int \cos 2xdx]\)
\(=\frac{3}{2}[x^2\sin 2x+x\cos 2x-\frac{\sin 2x}{2}+c]\)
\(=\frac{3}{4}(2x^2\sin 2x-\sin 2x+2x\cos 2x)+C\)
\(\int\dfrac{x^2}{x+2}dx\)
Đặt t=x+2 \(\Rightarrow\) dt=dx.
\(\int\dfrac{x^2}{x+2}dx=\int\dfrac{\left(t-2\right)^2}{t}dt=\int\left(t-4+\dfrac{4}{t}\right)dt\)=\(\dfrac{t^2}{2}-4t+4ln\left|t\right|+C=\dfrac{x^2}{2}-2x+4ln\left|x+2\right|+C\).
Nguyên hàm của dx/x(x^3+1)
Nguyên hàm của \(\dfrac{1}{x\left(x^3+1\right)}\):
Đặt t=x3+1 \(\Rightarrow\) dt=3x2dx.
\(\int\dfrac{dx}{x\left(x^3+1\right)}=\int\dfrac{x^2dx}{x^3\left(x^3+1\right)}=\int\dfrac{dt}{t\left(t-1\right)}\)=\(\dfrac{1}{3}\int\left(\dfrac{dt}{t-1}-\dfrac{dt}{t}\right)=\dfrac{1}{3}\left(ln\left|t-1\right|-ln\left|t\right|\right)\)=\(\dfrac{1}{3}ln\left|\dfrac{x^3}{x^3+1}\right|+C\).