Bài 1: Nguyên hàm

17. Nguyễn Hồng My
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 2 2022 lúc 23:04

a. \(\int cosx.sin^3xdx=\int sin^3x.d\left(sinx\right)=\dfrac{sin^4x}{4}+C\)

b. \(\int sinx.cos^5xdx=-\int cos^5x.d\left(cosx\right)=-\dfrac{cos^6x}{6}+C\)

c. \(\int x\left(x^2+1\right)^{10}dx=\dfrac{1}{2}\int\left(x^2+1\right)^{10}d\left(x^2+1\right)=\dfrac{\left(x^2+1\right)^{11}}{22}+C\)

d. \(\int x\left(2-x\right)^5dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=\left(2-x\right)^5dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-\dfrac{1}{6}\left(2-x\right)^6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\dfrac{x\left(2-x\right)^6}{6}+\dfrac{1}{6}\int\limits\left(2-x\right)^6dx=-\dfrac{x\left(2-x\right)^6}{6}+\dfrac{1}{42}\left(x-2\right)^7+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 2 2022 lúc 23:14

e.

\(I=\int\dfrac{2x+1}{\left(x-3\right)^3}dx=\int\dfrac{2\left(x-3\right)+6}{\left(x-3\right)^3}dx=2\int\dfrac{dx}{\left(x-3\right)^2}+6\int\dfrac{dx}{\left(x-3\right)^3}\)

\(=-\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{3}{\left(x-3\right)^2}+C\)

f.

\(I=\int\dfrac{\left(2x-1\right)^4}{\left(x+3\right)^6}dx=\int\dfrac{\left[2\left(x+3\right)-7\right]^4}{\left(x+3\right)^6}dx=\int\left(2-\dfrac{7}{x+3}\right)^4.\dfrac{1}{\left(x+3\right)^2}dx\)

Đặt \(2-\dfrac{7}{x+3}=u\Rightarrow du=\dfrac{7}{\left(x+3\right)^2}dx\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x+3\right)^2}dx=\dfrac{1}{7}du\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{7}\int u^4du==\dfrac{1}{35}.u^5+C=\dfrac{1}{35}\left(2-\dfrac{7}{x+3}\right)^5+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 2 2022 lúc 23:19

g.

\(I=\int x\sqrt{1-x}dx\)

Đặt \(\sqrt{1-x}=u\Rightarrow x=1-u^2\Rightarrow dx=-2u.du\)

\(I=\int\left(1-u^2\right).u.\left(-2u.du\right)=\int\left(2u^4-2u^2\right)du=\dfrac{2}{5}u^5-\dfrac{2}{3}u^3+C\)

\(=\dfrac{2}{5}\sqrt{\left(1-x\right)^5}-\dfrac{2}{3}\sqrt{\left(1-x\right)^3}+C\)

h.

\(I=\int\dfrac{\left(1-2e^x\right)e^x}{e^x+1}dx\)

Đặt \(e^x+1=u\Rightarrow e^xdx=du\)

\(I=\int\dfrac{\left(1-2\left(u-1\right)\right)}{u}du=\int\dfrac{3-2u}{u}du=\int\left(\dfrac{3}{u}-2\right)du=3lnu-2u+C\)

\(=3ln\left(e^x+1\right)-2\left(e^x+1\right)+C=3ln\left(e^x+1\right)-2e^x+C\)

i.

Đặt \(lnx=u\Rightarrow\dfrac{dx}{x}=du\)

\(I=\int\left(u^2-3u\right)du=\dfrac{u^3}{3}-\dfrac{3u^2}{2}+C=\dfrac{ln^3x}{3}=\dfrac{3ln^2x}{2}+C\)

Bình luận (0)
Dương Xuân Bách
Xem chi tiết
Nguyễn Ngân Hòa
12 tháng 2 2022 lúc 7:49

Ta có: \(F\left(x\right)=\dfrac{1}{x}=\int x^2f\left(x\right)dx\)
Hay \(F'\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}=x^2f\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{-1}{x^4}\)

Có: \(f'\left(x\right)=\dfrac{4}{x^3}\) \(\Rightarrow I=\int f'\left(x\right)x^3lnxdx=\int\dfrac{4}{x^3}x^3lnxdx=4\int lnxdx\)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{1}{x}dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\text{4}(xlnx-\int x\dfrac{1}{x}dx)=4x\left(lnx-1\right)\)

 

Bình luận (0)
Alayna
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 1 2022 lúc 21:36

\(\int e^x\left(2+\dfrac{e^{-x}}{x}\right)dx=\int\left(2e^x+\dfrac{1}{x}\right)dx=2e^x+ln\left|x\right|+C\)

Bình luận (0)
Alayna
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 1 2022 lúc 21:06

\(I=\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos4x\right)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{8}sin4x+C\)

Bình luận (2)
Đăng Trần
21 tháng 1 2022 lúc 21:07

I=∫(12+12cos4x)=12x+18sin4x+C

Bình luận (0)
Chí Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 1 2022 lúc 20:34

\(\int\dfrac{dx}{x^2+4}=\dfrac{1}{2}arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)+C\)

Bình luận (0)
Alayna
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 1 2022 lúc 19:21

\(=-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(4-2x\right)}{\left(4-2x\right)^5}=\dfrac{1}{8.\left(4-2x\right)^4}+C\)

Bình luận (0)
Thảo Phương
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 1 2022 lúc 17:04

Chỉ thấy bài 5 với 6:

5.

\(f'\left(x\right)+2f\left(x\right)=0\Leftrightarrow f'\left(x\right)=-2f\left(x\right)\Leftrightarrow\dfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=-2\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\dfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\int-2dx\Rightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=-2x+C\)

Thay \(x=1\Rightarrow0=-2+C\Rightarrow C=2\)

\(\Rightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=-2x+2\Rightarrow f\left(x\right)=e^{-2x+2}\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right)=e^4\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 1 2022 lúc 17:06

6.

\(f\left(x\right)+x.f'\left(x\right)=2x+1\)

\(\Leftrightarrow x'.f\left(x\right)+x.f'\left(x\right)=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\left[x.f\left(x\right)\right]'=2x+1\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\left[x.f\left(x\right)\right]'dx=\int\left(2x+1\right)dx\)

\(\Rightarrow x.f\left(x\right)=x^2+x+C\)

Thay \(x=1\Rightarrow1.f\left(1\right)=1+1+C\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2+x+1}{x}\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=\dfrac{7}{2}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 1 2022 lúc 17:09

Ủa sao đề khác rồi:

3.

\(f'\left(x\right)=-e^x.f^2\left(x\right)\Leftrightarrow\dfrac{f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=-e^x\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\dfrac{f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}dx=\int-e^xdx\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=e^x+C\)

Thay \(x=0\Rightarrow2=1+C\Rightarrow C=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=e^x+1\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{e^x+1}\)

\(\Rightarrow f\left(ln2\right)=\dfrac{1}{3}\)

Bình luận (0)
Trường Nguyễn Công
13 tháng 1 2022 lúc 16:51

?

Bình luận (0)
Đặng Lê Phúc Hân
13 tháng 1 2022 lúc 16:54

ko hỉu

Bình luận (0)
Sugar Coffee
Xem chi tiết
Sugar Coffee
11 tháng 1 2022 lúc 15:54

Anh em giúp mình câu này với :'((

 

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 1 2022 lúc 16:06

Nguyên hàm này có thể coi là không tính được (cách tính duy nhất là khai triển nhị thức Newton của \(\left(2-3x^2\right)^8\) ra thành dạng đa thức sau đó tính nguyên hàm, nhưng chắc ko ai cho đề như vậy cả)

Bình luận (3)
Đỗ Tuệ Lâm
11 tháng 1 2022 lúc 16:19

I=\(\int x^2\left(2-3x^2\right)^8dx\)

đặt y = \(2-3x^2\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}dy=-6xdx\\x^2=\dfrac{2-y}{3}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x^2\left(2-3x^2\right)^8=\left(\dfrac{2-y}{3}\right).y^8=\dfrac{1}{3}\left(2y^8-y^9\right)\)

vậy thì :

\(I=\int x^2\left(2-3x^2\right)^8dx=\dfrac{1}{3}\left(2\int y^8dy-\int y^9dy\right)\)

\(=\dfrac{2}{27}y^9-\dfrac{1}{30}y^{10}+C\)

\(=\dfrac{2}{27}\left(2-3x^2\right)^9-\dfrac{1}{30}\left(2-3x^2\right)^{10}+C\)

Bình luận (2)
Vang Anh Nguyen
Xem chi tiết