Bài 1: Nguyên hàm

minh trinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 3 2023 lúc 21:35

\(\int e^2dx=e^2.x+C\)

Bình luận (0)
anh quang
5 tháng 3 2023 lúc 21:37

C. f(x) = \(e^2\)x+C

Bình luận (0)
Huyền anh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 3 2023 lúc 16:25

Đề là cho \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0sin2x.f\left(cos^2x\right)dx=1\)

Tính \(\int\limits^1_0\left[2f\left(1-x\right)-3x^2+5\right]dx\) 

Đúng ko nhỉ?

Xét \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0sin2x.f\left(cos^2x\right)dx\)

Đặt \(cos^2x=1-u\Rightarrow-2sinx.cosxdx=-du\) \(\Rightarrow sin2xdx=du\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=0\\x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow u=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I=\int\limits^1_0f\left(1-u\right)du=\int\limits^1_0f\left(1-x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(1-x\right)dx=1\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[2f\left(1-x\right)-3x^2+5\right]dx=2\int\limits^1_0f\left(1-x\right)dx-\int\limits^1_0\left(3x^2-5\right)dx\)

\(=2.1-\left(-4\right)=6\)

Bình luận (2)
Nguyễn Hàn Nhi
Xem chi tiết
hnamyuh
23 tháng 2 2023 lúc 22:19

Bình luận (0)
Dung Thùy
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 2 2023 lúc 8:14

\(\int\left(4x+1\right)e^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=4x+1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=4dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\left(4x+1\right)e^x-\int4e^xdx=\left(4x+1\right)e^x-4e^x+C\)

\(=\left(4x-3\right)e^x+C\)

Bình luận (0)
Lalisa Manobal
Xem chi tiết
Nguyễn Mỹ Linh
Xem chi tiết
Kim Ricard
31 tháng 1 2023 lúc 14:19

 \(A=\int \frac{x}{\sqrt{x+2}}dx \\ = \int \frac{x+2-2}{\sqrt{x+2}}dx \\ = \int \sqrt{x+2}-2\frac{1}{\sqrt{x+2}}dx \\ = \frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}-4\sqrt{x+2}+C\)

\(B=\int \frac{sinx+cosx}{\sqrt[3]{1-sin2x}}dx \\ x=\frac{\pi}{4}-u, dx=-du \\ =- \int \frac{sin(\frac{\pi}{4}-u)+cos(\frac{\pi}{4}-u)}{\sqrt[3]{1-sin(\frac{\pi}{2}-2u)}}du \\ = - \int \frac{\frac{1}{\sqrt2}cosu+\frac{1}{\sqrt2}sinu+\frac{1}{\sqrt2}cosu-\frac{1}{\sqrt2}sinu}{\sqrt[3]{1-cos2u}}du \\ = -\int \frac{\frac{2}{\sqrt2}cosu}{\sqrt[3]{1-cos2u}}du \\ = -\sqrt2 \int \frac{cosu}{\sqrt[3]{1-cos^2u+sin^2u}}du \\ = -\sqrt2 \int \frac{cosu}{\sqrt[3]{2sin^2u}}du \\ v=sinu, dv=cosudu \\ = -\sqrt2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{2v^2}}dv \\ = -\frac{\sqrt2}{\sqrt[3]2} \int v^{-\frac{2}{3}}dv \\ = -\frac{\sqrt2}{\sqrt[3]2} 3v^\frac{1}{3}+C \\ = -\frac{\sqrt2}{\sqrt[3]2} 3\sqrt[3]{sin(\frac{\pi}{4}-x)}+C \)

Bình luận (0)
Thanh Hương
Xem chi tiết
Kim Ricard
28 tháng 1 2023 lúc 18:44

\(I=\int\dfrac{2}{2+5sinxcosx}dx=\int\dfrac{2sec^2x}{2sec^2x+5tanx}dx\\ =\int\dfrac{2sec^2x}{2tan^2x+5tanx+2}dx\)

 

We substitute :

\(u=tanx,du=sec^2xdx\\ I=\int\dfrac{2}{2u^2+5u+2}du\\ =\int\dfrac{2}{2\left(u+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}}du\\ =\int\dfrac{1}{\left(u+\dfrac{5}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}}du\\ \)

Then, 

\(t=u+\dfrac{5}{4}\\I=\int\dfrac{1}{t^2-\dfrac{9}{16}}dt\\ =\int\dfrac{\dfrac{2}{3}}{t-\dfrac{3}{4}}-\dfrac{\dfrac{2}{3}}{t+\dfrac{3}{4}}dt\)

 

Finally,

\(I=\dfrac{2}{3}ln\left(\left|\dfrac{t-\dfrac{3}{4}}{t+\dfrac{3}{4}}\right|\right)+C=\dfrac{2}{3}ln\left(\left|\dfrac{tanx+\dfrac{1}{2}}{tanx+2}\right|\right)+C\)

 

Bình luận (0)
Sonyeondan Bangtan
Xem chi tiết
Thầy Đức Anh
30 tháng 11 2022 lúc 8:27

\(f\left(1\right)-f\left(0\right)=\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}dx\)

\(=\int_0^1\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)dx\)

\(=\left(\dfrac{2}{3}.\left(x+1\right)^{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{2}{3}.\left(x\right)^{\dfrac{3}{2}}\right)|_0^1\)

\(=\dfrac{2}{3}\left(2^{\dfrac{3}{2}}+1\right)-\dfrac{2}{3}\)

\(=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{8}+1\right)-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Ngân Hòa
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
15 tháng 11 2022 lúc 22:04

\(I=\int\dfrac{x^2+4-x^2}{4\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx-\dfrac{1}{4}\int\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx\)

 

Xét \(J=\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}dx\)

 

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\dfrac{x}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx\\v=x\end{matrix}\right.\)

 

\(\Rightarrow J=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}+\int\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx\)

 

\(\Rightarrow I=\dfrac{x}{4\sqrt{x^2+4}}+\dfrac{1}{4}\int\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx-\dfrac{1}{4}\int\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}dx=\dfrac{x}{4\sqrt{x^2+4}}+C\)

Bình luận (0)