Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Hỏi đáp

Số chữ số cần dùng khi đánh dấu trang sách từ trang 1 đến trang 9 là:

(9-1)+1=9 (chữ số)

Số chữ số cần dùng khi đánh dấu trang sách từ trang 10 đến trang 99 là:

[(99-10)+1].2=180 (chữ số)

Số chữ số cần dùng khi đánh dấu trang sách từ trang 100 đến trang 132 là:

[(132-100)+1].3=99 (chữ số)

Số chữ số cần dùng để đánh dấu sách từ trang 1 đến trang 132 là:

9+180+99=288 (chữ số)

Vậy...

mổi trang \(1\) số \(\Rightarrow\) \(132\) trang phải cần \(132\) con số

Lời giải:

Đặt \(I=\int \frac{\sqrt{x^2-1}dx}{x^3}\)

Nguyên hàm từng phần:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\sqrt{x^2-1}\\ dv=\frac{1}{x^3}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx\\ v=\frac{-1}{2x^2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\frac{-\sqrt{x^2-1}}{2x^2}+\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}\)

Xét \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int \frac{d(x^2)}{2x^2\sqrt{x^2-1}}\). Đặt \(\sqrt{x^2-1}=t\rightarrow x^2=t^2+1\)

Khi đó, \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int \frac{d(t^2+1)}{2t(t^2+1)}=\int \frac{dt}{t^2+1}\)

Đặt \(t=\tan m\), đây là một dạng toán đặt quen thuộc, ta thu

được \(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int \frac{dt}{t^2+1}=m=\tan ^{-1}t=\tan ^{-1}(\sqrt{x^2-1})\)

Do đó, \(\int \frac{\sqrt{x^2-1}dx}{x^3}=\frac{-\sqrt{x^2-1}}{2x^2}+\frac{1}{2}\tan ^{-1}(\sqrt{x^2-1})\)

\(\Rightarrow \int ^{\sqrt{2}}_{1}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^3}dx=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\)

g)

Có \(\int x\cos x\sin^2xdx=\frac{1}{2}\int x\sin 2x\sin xdx=\frac{1}{4}\int x(\cos x-\cos 3x)dx\)

Xét \( \int x\cos xdx\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\sin x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x\)

Tương tự, \(\int x\cos 3xdx=\frac{x\sin 3x}{3}+\frac{\cos 3x}{9}\)

Do đó, \(\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}x\cos x\sin^2xdx=\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{1}{4}x(\cos x-\cos 3x)dx\)

\(=\frac{1}{4}\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ 0\end{matrix}\right|(x\sin x+\cos x-\frac{x\sin 3x}{3}-\frac{\cos 3x}{9})=\frac{3\pi-4}{18}\)

h)

\(\left\{\begin{matrix} u=xe^x\\ dv=\frac{1}{(x+1)^2}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=e^x(x+1)dx\\ v=\frac{-1}{x+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int \frac{xe^x}{(x+1)^2}dx=\frac{-xe^x}{x+1}+\int e^xdx=\frac{-xe^x}{x+1}+e^x=\frac{e^x}{x+1}\)

Do đó \(\int ^{1}_{0}\frac{xe^x}{(x+1)^2}dx=\frac{e}{2}-1\)

i)

Có \(\int \frac{1+x\ln x}{x}e^xdx=\int \frac{e^x}{x}dx+\int \ln xe^xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=e^xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=e^x\end{matrix}\right.\Rightarrow \int \ln xe^xdx=\ln xe^x-\int \frac{e^x}{x}dx\)

\(\Rightarrow \int ^{e}_{1}\frac{1+x\ln x}{x}e^xdx=\left.\begin{matrix} e\\ 1\end{matrix}\right|\ln xe^x=e^e\)

c)

\(\int ^{1}_{0}\ln (2x+1)dx=\frac{1}{2}\int ^{1}_{0}\ln (2x+1)d(2x+1)=\frac{1}{2}\int ^{3}_{1}\ln tdt\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=t\end{matrix}\right.\Rightarrow \int \ln tdt=t\ln t-\int dt=t\ln t-t\)

Do đó \(\frac{1}{2}\int ^{3}_{1}\ln tdt=\left.\begin{matrix} 3\\ 1\end{matrix}\right|\left(\frac{t\ln t-t}{2}\right)=\frac{3\ln 3}{2}-1\)

d)

Ta có \(\int ^{3}_{2}(\ln (x-1)-\ln (x+1))dx=\int ^{3}_{2}\ln (x-1)d(x-1)-\int ^{3}_{2}\ln (x+1)d(x+1)\)

\(=\int ^{2}_{1}\ln tdt-\int ^{4}_{3}\ln tdt\)

Theo phần c, ta đã chỉ ra được \(\int \ln tdt=t\ln t-t\), do đó:

\(\int ^{2}_{1}\ln tdt-\int ^{4}_{3}\ln tdt=\left.\begin{matrix} 2\\ 1\end{matrix}\right|(t\ln t-t)-\left.\begin{matrix} 4\\ 3\end{matrix}\right|(t\ln t-t)=\ln \left(\frac{27}{64}\right)\)

e)

Xét \(\int (x+1-\frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}dx=\int e^{x+\frac{1}{x}}dx+\int \left (x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=e^{x+\frac{1}{x}}\\ dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx\\ v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int e^{x+\frac{1}{x}}dx=xe^{x+\frac{1}{x}}-\int \left(x-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx\)

Do đó \(\int \left(x+1-\frac{1}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx=xe^{x+\frac{1}{x}}\)

\(\int ^{2}_{\frac{1}{2}}\left(x+1-\frac{x}{x}\right)e^{x+\frac{1}{x}}dx=\left.\begin{matrix} 2\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|xe^{x+\frac{1}{x}}=\frac{3e^{\frac{5}{2}}}{2}\)

Bài 3.10

c) Đặt \(t=\sqrt[3]{1-x}\Rightarrow x=1-t^3\)

\(\int ^{9}_{1}x\sqrt[3]{1-x}dx=\int ^{-2}_{0}(1-t^3)td(1-t^3)=\int ^{0}_{-2}3t^2.t(1-t^3)dt\)

\(\left.\begin{matrix} 0\\ -2\end{matrix}\right|\left ( \frac{3t^4}{4}-\frac{3t^7}{7} \right )=\frac{-468}{7}\)

e) Đặt \(t=\frac{1}{x}\) suy ra:

\(\int ^{2}_{1}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^4}dx=\int ^{\frac{1}{2}}_{1}t^4\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}d\left(\frac{1}{t}\right)\)

\(=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\frac{t^4\sqrt{t^2+1}}{t}.\frac{1}{t^2}dt=\int ^{1}_{\frac{1}{2}}t\sqrt{t^2+1}dt=\frac{1}{2}\int ^{1}_{\frac{1}{2}}\sqrt{t^2+1}d(t^2+1)\)

\(=\left.\begin{matrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{matrix}\right|\left(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\sqrt{(t^2+1)^3}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{5\sqrt{5}}{24}\)

Bài 3.10:

a)

Đặt \(t=1-x\) thì:

\(\int ^{2}_{1}x(1-x)^5dx=\int ^{-1}_{0}t^5(1-t)d(1-t)=\int ^{0}_{-1}t^5(1-t)dt\)

\(=\left.\begin{matrix} 0\\ -1\end{matrix}\right|\left ( \frac{t^6}{6}-\frac{t^7}{7} \right )=\frac{-13}{42}\)

b) Đặt \(\sqrt{e^x-1}=t\) \(\Rightarrow x=\ln (t^2+1)\)

Khi đó

\(\int ^{\ln 2}_{0}\sqrt{e^x-1}dx=\int ^{1}_{0}td(\ln (t^2+1))=\int ^{1}_{0}t.\frac{2t}{t^2+1}dt\)

\(=\int ^{1}_{0}\frac{2t^2}{t^2+1}dt=\int ^{1}_{0}2dt-\int ^{1}_{0}\frac{2}{t^2+1}dt=\left.\begin{matrix} 1\\ 0\end{matrix}\right|2t-\int ^{1}_{0}\frac{2dt}{t^2+1}=2-\int ^{1}_{0}\frac{2dt}{t^2+1}\)

Với \(\int ^{1}_{0}\frac{2dt}{t^2+1}\), đặt \(t=\tan m\)

\(\Rightarrow \int ^{1}_{0}\frac{2dt}{t^2+1}=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}\frac{2d(\tan m)}{\tan ^2m+1}=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}2\cos ^2md(\tan m)\)

\(=\int ^{\frac{\pi}{4}}_{0}2dm=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ 0\end{matrix}\right|2m=\frac{\pi}{2}\)

Do đó \(\int ^{\ln 2}_{0}\sqrt{e^x-1}dx=2-\frac{\pi}{2}\)

3.6 h)

Đặt \(\sqrt{x}=t\) suy ra \(\int \frac{1}{1-\sqrt{x}}dx=\int \frac{d(t^2)}{1-t}=\int \frac{2tdt}{1-t}\)

\(=2\int \frac{t-1+1}{1-t}dt=-2\int (1+\frac{1}{t-1})dt=-2(t+\ln |t-1|)+c\)

3.6 k)

Ta có \(\int \frac{\sin^3x}{\cos^2x}dx=-\int \frac{\sin^2x}{\cos^2x}d(\cos x)\)

\(=\int \frac{\cos^2x-1}{\cos^2x}d(\cos x)=\int d(\cos x )-\int \frac{d(\cos x)}{\cos ^2x}=\cos x+\frac{1}{\cos x}+c\)

3.6c)

Đặt \(\sqrt{2-5x}=t\Rightarrow x=\frac{2-t^2}{5}\)

Khi đó \(\int x\sqrt{2-5x}dx=\int \frac{t(2-t^2)}{5}d\left (\frac{2-t^2}{5}\right)=\frac{2}{25}\int t^2(t^2-2)dt\)

\(=\frac{2}{25}\left (\frac{t^5}{5}-\frac{2t^3}{3}\right)+c\)

3.6 d)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln (\sin x)\\ dv=\frac{dx}{\cos ^2x}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{\cos x}{\sin x}dx=\frac{dx}{\tan x}\\ v=\tan x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int \frac{\ln(\sin x)}{\cos^2x}dx=\tan x\ln (\sin x)-\int dx+c=\tan x\ln (\sin x)-x+c\)

\(\left(3x+1\right)^2=3x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2-\left(3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)\left(3x+1-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=0\\3x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\)

Mi học cô #T rồi à

đáp án là:

\(\dfrac{3√2-ln(1+√2)}{8}\)

Nhưng cách tính thì em ko biết! Mong mọi người giúp đỡ ạ!

áp án:

Với 3 số ​3, cách làm rất đơn giản: ​3 ​x ​3 - 3 = 6.

Sử dụng phép 6 + 6 - 6 = 6 đối với 3 số 6.

Đối với 3 số 4, ta có thể sử dụng phép căn bậc hai từng số rồi tính tổng của chúng.

Với 3 số 9, ta sử dụng phép căn bậc hai của 9 thành 3 rồi tính như trong trường hợp 3 số 3.

Cách làm đối với 3 số 5 và 3 số 7 tương tự nhau:

5 + 5 : 5 = 6

7 - 7 : 7 = 6

3 số 8 là trường hợp dễ gây nhầm lẫn nhất vì nhiều người sẽ sử dụng phép căn bậc ba của 8 bằng 2 rồi tính tổng của chúng. Tuy nhiên, người ra đề quy định, người giải không được thêm bất kỳ số tự nhiên nào trong khi ký hiệu căn bậc ba có số 3.

Trong trường hợp này, Ty Yann dùng hai lần căn bậc hai của 8 + 8 (tương đương căn bậc 4 của 16) bằng 2. Sau đó, ông dùng phép tính 8 - 2 = 6.

Với 3 số 1, tác giả dùng phép giai thừa:

(1 + 1 + 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6.

Toán 12 đây chắc vội thế cơ à?

Em giúp cho

Câu hỏi của Kaitou Kid - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

^{_{\(\left\{{}\begin{matrix}u=1+x\\dv=c\Leftrightarrow os\left(2x\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{1}{2}sin\left(2x\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sin\left(2x\right)\left(1+x\right)|^{\dfrac{\pi}{4}}_0-\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_0\dfrac{1}{2}sin\left(2x\right)dx\)}}

tới đây bạn tự giải được chứ

Lời giải:

Ta có \(F(x)=\int \sin xe^{\cos x}dx=-\int e^{\cos x}d(\cos x)\)

\(\Leftrightarrow F(x)=-e^{\cos x}+c\)

Mà \(F(0)=e+c=e\Rightarrow c=0\)

\(\Rightarrow F(\pi)=-e^{\cos \pi}=\frac{-1}{e}\). Đáp án B

Lời giải:

Gọi \(SH\) là đường cao của hình chóp

Từ \(H\) kẻ \(HK\perp AB\). Áp dụng định lý Thales cho tam giác $ABC$ suy ra \(\frac{HK}{BC}=\frac{AH}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow HK=\frac{3}{4}a\)

Có: \(((SAB),(ABCD))=\angle HKS=60^0\Rightarrow \frac{HS}{HK}=\tan 60\Rightarrow SH=\frac{3\sqrt{3}}{4}a\)

Do đó mà \(V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^3\)