Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên Hôm kia lúc 7:46

Hàm là \(f\left(x\right)=\left(x^2-3x+3\right).e^2\)  hay \(\left(x^2-3x+3\right)e^x\) bạn?

Nếu hàm là \(f\left(x\right)=\left(x^2-3x+3\right)e^2\) thì đơn giản là bạn khảo sát như khảo sát hàm \(g\left(x\right)=x^2-3x+3\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 14 tháng 1 lúc 7:13

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x^3}-4x\) hay \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x^3-4x}\) bạn?

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên Hôm kia lúc 7:43

Trước hết ta xét: \(g\left(x\right)=\dfrac{1}{x+a}=\left(x+a\right)^{-1}\) với a là hằng số bất kì

\(g'\left(x\right)=-1.\left(x+a\right)^{-2}=\left(-1\right)^1.1!.\left(x+a\right)^{-\left(1+1\right)}\) 

\(g''\left(x\right)=-1.\left(-2\right).\left(x+a\right)^{-3}=\left(-1\right)^2.2!.\left(x+a\right)^{-\left(2+1\right)}\)

Từ đó ta dễ dàng tổng quát được:

 \(g^{\left(n\right)}\left(x\right)=\left(-1\right)^n.n!.\left(x+a\right)^{-\left(n+1\right)}=\dfrac{\left(-1\right)^n.n!}{\left(x+a\right)^{n+1}}\)

Xét: \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+1}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=-\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x+2}\right)+\dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x-2}\right)\)

Áp dụng công thức trên ta được:

\(f^{\left(30\right)}\left(1\right)=\dfrac{1}{4}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{1^{31}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{\left(1+2\right)^{31}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{\left(-1\right)^{30}.30!}{\left(1-2\right)^{31}}\)

Bạn tự rút gọn kết quả nhé

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 2 tháng 12 2020 lúc 16:14

\(I_1=\int\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)^2dx=\frac{1}{4}\int\left(1-2cos2x+cos^22x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\int\left(1-2cos2x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos4x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\int\left(\frac{3}{2}-2cos2x+\frac{1}{2}cos4x\right)dx\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}x-sin2x+\frac{1}{8}sin4x\right)+C\)

\(I_2=\int\left(\frac{1+cos6x}{2}\right)dx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}sin6x+C\)

\(I_3=\int sin^2x.cos^2x.sinxdx=-\int\left(1-cos^2x\right)cos^2x.d\left(cosx\right)\)

\(=\int\left(cos^4x-cos^2x\right)d\left(cosx\right)=\frac{1}{5}cos^5x-\frac{1}{3}cos^3x+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 2 tháng 12 2020 lúc 16:26

\(I_7=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{cos^4x}dx=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{cos^2x}.\frac{dx}{cos^2x}\)

Đặt \(tanx=t\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{cos^2x}dx=dt\\x=0\Rightarrow t=0\\x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow t=1\\\frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x=1+t^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_7=\int\limits^1_0\left(1+t^2\right)dt=\left(t+\frac{1}{3}t^3\right)|^1_0=\frac{4}{3}\)

\(I_8=\int\frac{cos^3x}{sin^3x}dx=\int\frac{cos^2x}{sin^3x}.cosxdx=\int\frac{1-sin^2x}{sin^3x}.cosxdx\)

Đặt \(sinx=t\Rightarrow cosx.dx=dt\)

\(I_8=\int\frac{1-t^2}{t^3}dt=\int\left(t^{-3}-\frac{1}{t}\right)dt=-\frac{1}{2t^2}-ln\left|t\right|+C\)

\(=-\frac{1}{2sin^2x}-ln\left|sinx\right|+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 2 tháng 12 2020 lúc 16:47

\(I_9=\int\frac{\left(4x+3\right)dx}{\left(x^2-2x+2\right)^{\frac{3}{2}}}=4\int\frac{\left(x-1\right)dx}{\left(x^2-2x+2\right)^{\frac{3}{2}}}+7\int\frac{dx}{\left(x^2-2x+2\right)^{\frac{3}{2}}}=4I+7J\)

Đặt \(\sqrt{x^2-2x+2}=t\Rightarrow x^2-2x+2=t^2\)

\(\Rightarrow\left(2x-2\right)dx=2t.dt\Rightarrow\left(x-1\right)dx=t.dt\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{tdt}{t^3}=\int\frac{1}{t^2}dt=-\frac{1}{t}+C=-\frac{1}{\sqrt{x^2-2x+2}}+C\)

Xét \(J=\int\frac{dx}{\left[\left(x-1\right)^2+1\right]^{\frac{3}{2}}}\)

Đặt \(x-1=tant\Rightarrow dx=\frac{1}{cos^2t}dt\)

\(J=\int\frac{dt}{cos^2t.\left(tan^2t+1\right)^{\frac{3}{2}}}=\int\frac{dt}{cos^2t.\left(\frac{1}{cos^2t}\right)^{\frac{3}{2}}}=\int\frac{dt}{cos^2t.\frac{1}{cos^3t}}=\int cost.dt\)

\(=sint+C\)

Mặt khác \(\left(x-1\right)^2=tan^2t=\frac{sin^2t}{1-sin^2t}\Rightarrow\frac{1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{1}{sin^2t}-1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{sin^2t}=\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+1=\frac{x^2-2x+2}{\left(x-1\right)^2}\Rightarrow\frac{1}{sint}=\frac{\sqrt{x^2-2x+2}}{x-1}\)

\(\Rightarrow sint=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}\)

\(\Rightarrow J=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}+C\)

\(\Rightarrow I_9=-\frac{4}{\sqrt{x^2-2x+2}}+\frac{7\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2-2x+2}}+C=\frac{7x-11}{\sqrt{x^2-2x+2}}+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 2 tháng 12 2020 lúc 17:30

\(\Leftrightarrow\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\frac{1}{x^3}\)

\(\Leftrightarrow\left[f'\left(x\right).f\left(x\right)\right]'=\frac{1}{x^3}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(f'\left(x\right).f\left(x\right)=\int\frac{1}{x^3}dx=-\frac{1}{2x^2}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{4}\Rightarrow-8=-8+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)f\left(x\right)=-\frac{1}{2x^2}\)

Tiếp tục lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int f\left(x\right).f'\left(x\right)dx=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2}dx\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}f^2\left(x\right)=\frac{1}{2x}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{4}\Rightarrow2=2+C\Rightarrow C=0\Rightarrow f^2\left(x\right)=\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f'\left(x\right)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow m=\int\limits^{16}_1-\frac{1}{\frac{2x}{4}\sqrt{\frac{x}{4}}}dx=-6\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 3 tháng 12 2020 lúc 23:34

Không có cách nào nhanh được cả, chỉ có kiên nhẫn nguyên hàm từng phần thôi bạn

Sẽ tách ra và nguyên hàm từng phần lần lượt từ mũ to đến mũ nhỏ:

\(I=\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx=\int\frac{-2ln^3x}{x^2}dx+\int\frac{3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=-2ln^3x\\dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{-6ln^2x}{x}dx\\v=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\frac{2ln^3x}{x}-\int\frac{6ln^2x}{x^2}dx+\int\frac{3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx\)

Tiếp tục tính cho bậc 2 cụm \(-\frac{6ln^2x}{x^2}+\frac{3ln^2x}{x^2}=-\frac{3ln^2x}{x^2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=-3ln^2x\\dv=\frac{1}{x^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\frac{6lnx}{x}dx\\v=-\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{3ln^2x}{x}-\int\frac{6lnx}{x^2}\)

Lại gom và tính tiếp phần \(\frac{lnx}{x^2}\) ...

Sau 4 lần tính như vậy sẽ ra kết quả thôi

Bình luận (0)
Nguyễn Huỳnh Bá Lộc
Nguyễn Huỳnh Bá Lộc 3 tháng 12 2020 lúc 21:28

Chỗ lấy nguyên hàm của \(\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx\) bạn giải rõ giúp mình được không

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 2 tháng 12 2020 lúc 17:42

\(\left[f'\left(x\right)\right]^2+f\left(x\right).f''\left(x\right)=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow\left[f\left(x\right).f'\left(x\right)\right]'=\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(f\left(x\right).f'\left(x\right)=\int\frac{-2ln^3x+3ln^2x+11lnx-2}{x^2}dx=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}+C\)

Thay \(x=\frac{1}{e}\Rightarrow3e=3e+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right).f'\left(x\right)=\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}\)

Tiếp tục lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}f^2\left(x\right)=\int\frac{2ln^3x+3ln^2x-5lnx-3}{x}dx=\frac{1}{2}\left(ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx\right)+C\)

Thay \(x=\frac{1}{e}\Rightarrow\frac{9}{2}=C\Rightarrow C=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow f^2\left(x\right)=ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\sqrt{ln^4x+2ln^3x-5ln^2x-6lnx+9}\)

\(\Rightarrow m=f\left(e\right)-f\left(\frac{1}{e}\right)=1-3=-2\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 11 2020 lúc 21:30

\(I_1=\int\left(\frac{6}{2\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\right)dx=6\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt{x^3}+C\)

\(I_2=\int\frac{xdx}{\sqrt{5-4x^2}}\)

Đặt \(\sqrt{5-4x^2}=t\Rightarrow5-4x^2=t^2\)

\(\Rightarrow-8xdx=2tdt\Rightarrow xdx=-\frac{1}{4}tdt\)

\(\Rightarrow I_2=\int\frac{-\frac{1}{4}t.dt}{t}=-\frac{1}{4}\int dt=-\frac{1}{4}t+C=-\frac{1}{4}\sqrt{5-4x^2}+C\)

\(I_3=\int\frac{dx}{\left(2x-3\right)^2}=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(2x-3\right)}{\left(2x-3\right)^2}=-\frac{1}{2\left(2x-3\right)}+C\)

\(I_4=\int\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{x}}dx\)

Đặt \(\left(1+\sqrt{x}\right)^{\frac{1}{4}}=t\Rightarrow\sqrt{x}=t^4-1\)

\(\Rightarrow x=t^8-2t^4+1\Rightarrow dx=\left(8t^7-8t^3\right)dt\)

\(\Rightarrow I_4=\int\frac{t\left(8t^7-8t^3\right)}{t^4-1}dt=\int\frac{8t^4\left(t^4-1\right)}{t^4-1}dt=\int8t^4dt\)

\(=\frac{8}{5}t^5+C=\frac{8}{5}\left(1+\sqrt{x}\right)^{\frac{5}{4}}+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 11 2020 lúc 21:34

\(I_5=\frac{2+3x}{\sqrt{1+4x+3x^2}}dx\)

Đặt \(\sqrt{1+4x+3x^2}=t\Rightarrow1+4x+3x^2=t^2\)

\(\Leftrightarrow\left(4+6x\right)dx=2tdt\Rightarrow\left(2+3x\right)dx=t.dt\)

\(\Rightarrow I_5=\int\frac{t.dt}{t}=\int dt=t+C=\sqrt{1+4x+3x^2}+C\)

\(I_6=\int\frac{lnx.dx}{x\left(1+ln^2x\right)}\)

Đặt \(1+ln^2x=t\Rightarrow\frac{2lnx}{x}dx=dt\Rightarrow\frac{lnxdx}{x}=\frac{dt}{2}\)

\(\Rightarrow I_6=\int\frac{dt}{2t}=\frac{1}{2}ln\left|t\right|+C=\frac{1}{2}ln\left(1+ln^2x\right)+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 11 2020 lúc 21:38

\(I_7=\int\frac{e^{tan^{-1}x}dx}{1+x^2}\)

Đặt \(tan^{-1}x=t\Rightarrow\frac{dx}{1+x^2}=dt\)

\(\Rightarrow I_7=\int e^tdt=e^t+C=e^{tan^{-1}x}+C\)

\(I_8=\int\frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx\)

Đặt \(\sqrt{x}=t\Rightarrow\frac{dx}{2\sqrt{x}}=dt\Rightarrow\frac{dx}{\sqrt{x}}=2dt\)

\(\Rightarrow I_8=\int2sint.dt=-2cost+C=-2cos\left(\sqrt{x}\right)+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 27 tháng 11 2020 lúc 11:54

\(\left[\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1\right]f'\left(x\right)=\left(64x^3+96x^2+32x\right)f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{64x^3+96x^2+32x}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}=\frac{32x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\int\frac{32x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}dx\)

\(\Leftrightarrow ln\left|f\left(x\right)\right|=\int\frac{32x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}dx\)

Xét \(I=\int\frac{32x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}dx=\int\frac{4\left(2x+1-1\right)\left(2x+1+1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1}d\left(2x+1\right)\)

Đặt \(t=2x+1\Rightarrow I=\int\frac{4\left(t-1\right)\left(t+1\right)t}{t^4-2t^2-1}dt=\int\frac{4t^3-4t}{t^4-2t^2-1}dt\)

\(=\int\frac{d\left(t^4-2t^2-1\right)}{t^4-2t^2-1}=ln\left|t^4-2t^2-1\right|+C\)

\(=ln\left|\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1\right|+C\)

\(\Rightarrow ln\left|f\left(x\right)\right|=ln\left|\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1\right|+C\)

Thay \(x=1\Rightarrow ln\left(62\right)=ln\left(62\right)+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow ln\left|f\left(x\right)\right|=ln\left[\left(2x+1\right)^4-2\left(2x+1\right)^2-1\right]\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=-\left(2x+1\right)^4+2\left(2x+1\right)^2+1\)

\(f\left(2\right)=-574\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 11 2020 lúc 21:49

Đề đúng chứ bạn?

Biểu thức \(-\left(2x+1\right)^4+2\left(2x+1\right)^2+1\) chắc chắn đúng chứ?

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 11 2020 lúc 13:16

\(\Leftrightarrow\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế: \(\int\frac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\int\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}dx\)

\(\Leftrightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=\int\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}dx\)

Xét \(I=\int\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}}.\frac{1}{\left(\sqrt{x+4}+x+5\right)}dx\)

Đặt \(\sqrt{x+4}+x+5=t\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2\sqrt{x+4}}+1\right)dx=dt\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x+4}+1}{2\sqrt{x+4}}dx=dt\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{dt}{t}=lnt+C=ln\left(x+5+\sqrt{x+4}\right)+C\)

\(\Rightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=ln\left(x+5+\sqrt{x+4}\right)+C\)

Thế \(x=-3\) vào biểu thức trên:

\(ln\left(3\right)=ln\left(2+1\right)+C\Leftrightarrow C=0\)

\(\Leftrightarrow ln\left(f\left(x\right)\right)=ln\left(x+5+\sqrt{x+4}\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x+5+\sqrt{x+4}\)

\(\Rightarrow f\left(5\right)=13\)

Bình luận (0)
Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN