Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

`(5+cos x)(5-cos x)-sin^2 x-24cot^2 x.sin^2 x`

`=25-cos^2 x-sin^2 x-24[cos^2 x]/[sin^2 x].sin^2 x`

`=25-(sin^2 x+cos^2 x)-24cos^2 x`

`=25-1-24cos^2 x`

`=24-24cos^2 x`

\(=25-cos^2x-sin^2x-24.cot^2x.sin^2x\\ =25-\left(cos^2x+sin^2x\right)-24.\left(\dfrac{cos^2x}{sin^2x}\right).sin^2x\\ =25-1-24.cos^2x\\ =24-24.cos^2x\\ =24\left(1-cos^2x\right)\\ =24.\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)\)

Cx//AB

a: cos BAC=(13^2+13^2-10^2)/(2*13*13)

=>góc BAC=45 độ

=>góc ABC=góc ACB=67,5 độ

b: Gọi giao của BI với AC là M

=>M là trung điểm của AC

Xét ΔMCK và ΔMAB có

góc MCK=góc MAB

MC=MA

góc CMK=góc AMB

=>ΔMCK=ΔMAB

=>CK=AB

mà CK//AB

nên ABCK là hình bình hành

S ABCK=13*10=130cm²

Không đăng lại ạ!!

BH=3/8x16=6cm

CH=16-6=10cm

b: \(AH=\sqrt{6\cdot10}=2\sqrt{15}\left(cm\right)\)

Xét ΔAHB vuông tại H có \(tanB=\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\)

nên góc B=52 độ

=>góc C=38 độ

Ta có

\(\dfrac{BH}{3}=\dfrac{CH}{5}=\dfrac{bH+CH}{3+5}=\dfrac{BC}{8}=\dfrac{16}{8}=2\\ =>\left\{{}\begin{matrix}BH=2.3=6\left(cm\right)\\CH=2.5=10\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét tam giác ABC vuông tại A có

\(AH^2=BH.CH\\ =>AH=\sqrt{6.10}=2\sqrt{15}\)

Xét tam giác AHC vuông tại H có

\(tanC=\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{2\sqrt{15}}{10}\\ =>\widehat{C}=37^o46'\)

Xét tam giác AHB vuông tại H có

\(tanB=\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{2\sqrt{15}}{6}\\ =>\widehat{B}=52^o14'\)

Ta có: \(\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{3}{5}\) \(\Rightarrow5BH-3HC=0\) (2)

\(BC=BH+CH=16\) (1)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=6\\CH=10\end{matrix}\right.\)

Xét tam giác ABC vuông A, đcao AH:

\(AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{6.10}=2\sqrt{15}\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{\left(2\sqrt{15}\right)^2+6^2}=4\sqrt{6}\left(cm\right)\)

\(\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4\sqrt{6}}{16}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}\simeq52,23^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=180^o-52,23^o-90^o=37,77^o\)

\(cos30=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(cos30=cos\left(2\cdot15\right)=2cos^215^0-1\)

=>\(2cos^215^0=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}\)

=>\(cos^215=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{8}\)

=>\(cos15=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

\(sin15=\sqrt{1-cos^215}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

=>\(tan15=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}\)

a: góc B=(180-50)/2=65 độ

AC/sinB=BC/sinA

=>BC/sin50=14/sin65

=>BC=11,83cm

BH=CH=11,83/2=5,915cm

=>AH=12,68cm

BK=2*S ABC/AC

=2*(AH*BC)/2/AC

=AH*BC/AC

=12,68*11,83:14

=10,71(cm)

b: CK=căn BC^2-BK^2=5,02cm

AK=14-5,02=8,98(cm)

a: \(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

=>a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b: \(cosB=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)

=>b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

c: \(cosC=\dfrac{CA^2+BC^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}\)

=>c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a: b*cosC+c*cosB

\(=AC\cdot\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\cdot CA\cdot CB}+AB\cdot\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}\)

\(=\dfrac{CA^2+CB^2-AB^2+BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot CB}=\dfrac{2BC^2}{2CB}=a\)

b: \(BC=8\sqrt{3}\cdot cos60+2\sqrt{2}\cdot cos45=4\sqrt{3}+2\left(cm\right)\)